呂兵

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必考題型如何規(guī)范解答？
——以兩道平行四邊形證明題為例

呂兵

平行四邊形是中考必考的題型，常常與全等三角形、特殊三角形結(jié)合在一起作為基礎題考查，這類基礎考題如何做到“會而不錯”是十分關鍵的.下面選取2015年兩道中考題講解思路，給出規(guī)范解答，引導回顧，并講評注意事項.

圖1

例1（2015·常州）如圖1，在?ABCD中，∠BCD=120°，分別延長DC、BC到點E，F(xiàn)，使得△BCE和△CDF都是正三角形.

（1）求證：AE=AF；

（2）求∠EAF的度數(shù).

【思路講解】

（1）由平行四邊形的性質(zhì)得出∠BAD= ∠BCD=120°，∠ABC=∠ADC，AB=CD，BC= AD，由等邊三角形的性質(zhì)得出BE=BC，DF= CD，∠EBC=∠CDF=60°，從而證出∠ABE= ∠FDA，AB=DF，BE=AD，根據(jù)SAS證明△ABE≌△FDA，得出對應邊相等即可.

（2）由全等三角形的性質(zhì)得出∠AEB= ∠FAD，求出∠AEB+∠BAE=60°，得出∠FAD+∠BAE=60°，即可得出∠EAF的度數(shù).

【規(guī)范解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠BAD=∠BCD=120°，∠ABC=∠ADC，AB=CD，BC=AD.

∵△BCE和△CDF都是正三角形，

∴BE=BC，DF=CD，∠EBC=∠CDF=60°.

∴∠ABE=∠FDA，AB=DF，BE=AD.

在△ABE和△FDA中，

∴△ABE≌△FDA（SAS），

∴AE=AF.

（2）∵△ABE≌△FDA，

∴∠AEB=∠FAD.

∵∠ABE=60°+60°=120°，

∴∠AEB+∠BAE=60°，

∴∠FAD+∠BAE=60°，

∴∠EAF=120°-60°=60°.

【反思回顧】這道幾何考題主要考查對平行四邊形的邊角關系（對邊相等、對角相等、鄰角互補等性質(zhì)）、作圖語句的閱讀理解，并在此基礎上尋找和證明全等三角形（△ABE≌△FDA）.由于上述考點都是基礎題級別，所以解答時不能隨意跳步驟，要嚴謹規(guī)范，做到會而不錯.

例2（2015·南通）如圖2，在?ABCD中，點E，F(xiàn)分別在AB，DC上，且ED⊥DB，F(xiàn)B⊥BD.

圖2

（1）求證：△AED≌△CFB；

（2）若∠A=30°，∠DEB=45°，求證：DA= DF.

【思路講解】

（1）由四邊形ABCD為平行四邊形，利用平行四邊形的性質(zhì)得到對邊平行且相等，對角相等，再由垂直的定義得到直角相等，利用等式的性質(zhì)得到角相等，利用ASA即可得證.

（2）由特殊角45°的啟發(fā)，添加輔助線“如圖3，過點D作DH⊥AB，垂足為H”，一方面，在Rt△ADH中，利用30度所對的直角邊等于斜邊的一半得到AD=2DH，在Rt△DEB中，利用等腰直角三角形的性質(zhì)得到EB= 2DH，從而得到DA=EB.另一方面，由△AED≌△CFB得到AE=CF，由四邊形ABCD是平行四邊形得到AB=DC，從而證得EB=DF，再等量代換可證.

【規(guī)范解答】

證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD=CB，∠A=∠C，AD∥CB，

∴∠ADB=∠CBD.

∵ED⊥DB，F(xiàn)B⊥BD，

∴∠EDB=∠FBD=90°，

∴∠ADE=∠CBF.

∴△AED≌△CFB（ASA）.

（2）如圖3，過點D作DH⊥AB，垂足為H，在Rt△ADH中，∠A=30°，∴DA=2DH.

圖3

在Rt△DEB中，∠DEB=45°，

∴EB=2DH.∴DA=EB.

∵△AED≌△CFB，∴AE=CF.

∵AB=DC，∴EB=DF.

∴DA=DF.

【反思回顧】一般以平行四邊形為載體的證明問題是解答題中的必考題型，由于中考題追求一定的綜合性，所以往往這類證明題都會有2～3個小問，而除了第1小問是單一知識點的證明外，第2或3問都會出新的“強化條件”（如例題的第（2）問增加了特殊銳角30°、45°），這時受到這些特殊角度的啟發(fā)添加輔助線構(gòu)造特殊直角三角形成為破題的關鍵.如上面的證明步驟中，強調(diào)“在Rt△ADH中”是重要的，是一種聚焦圖形的語句，起著引導閱卷老師關注的作用，值得同學們重視.

（作者單位：江蘇省海安縣城南實驗中學）