卞世博，張 熠

（上海財經(jīng)大學(xué)a.統(tǒng)計與管理學(xué)院；b.公共經(jīng)濟與管理學(xué)院，上海 200433）

信用債券是債券的一大類，是依靠債券發(fā)行者的信用為基礎(chǔ)發(fā)行的、除國債和中央銀行票據(jù)之外的、非國家信用的固定收益類金融工具，主要包括：企業(yè)債、公司債、中期票據(jù)、短期融資券、可轉(zhuǎn)債、可分離債及資產(chǎn)支持證券等。信用債券是企業(yè)融資和金融市場投資的重要工具，其特殊的地位與性質(zhì)已經(jīng)逐步引起政府的高度重視。在相關(guān)政策的支持下，信用債券在中國正步入快速發(fā)展的黃金時期，市場規(guī)模己經(jīng)從2000年底的不足500億擴展到2014 年底的超過10 萬億。隨著信用債券市場的迅猛發(fā)展，國內(nèi)相繼出現(xiàn)了20 多個以信用債券為主要投資對象的信用債券型基金，如博時信用債券型基金、銀華信用債券型基金、招商信用債券型基金、國泰信用債券型基金以及匯添富信用債券型基金等。

目前，關(guān)于信用債券的理論研究主要集中在定價領(lǐng)域，對于信用債券最優(yōu)投資策略的研究尚屬于起步階段。Korn等［1］以及Kraft等［2］率先研究了信用債券的最優(yōu)投資策略，他們采用Morton［3］的結(jié)構(gòu)化模型對信用債券進行定價，以彈性和久期作為控制變量，通過求解HJB方程，得到了最優(yōu)投資策略。在文獻［1］的基礎(chǔ)上，Wise等［4］在投資組合中引入了違約相關(guān)性，在離散時間下得到了最優(yōu)動態(tài)投資策略；Zagst等［5］研究了投資者如何對不同國家的主權(quán)債券（存在違約風(fēng)險）進行最優(yōu)配置的問題；Jobst等［6］考慮了投資者存在負債的情形，利用多情景下的隨機規(guī)劃方法來求解優(yōu)化問題。

還有學(xué)者在Jarrow 等［7］的簡約化模型框架下，對此問題進行研究。Bielecki等［8］利用隨機控制方法，研究了投資者對單個信用債券、股票及銀行存款的最優(yōu)配置問題，分析了信用債券的跳躍風(fēng)險溢價與最優(yōu)投資策略之間的關(guān)系。在此基礎(chǔ)上，文獻［9-12］中從隨機跳躍風(fēng)險溢價、隨機利率、隨機違約強度以及隨機回收率等方面對文獻［8］中的研究進行了拓展。文獻［13-14］中則利用鞅方法分別研究了固定利率和隨機利率下投資者對單個信用債券的最優(yōu)投資問題。文獻［15-18］中放棄了各信用債券之間的違約相互獨立的假設(shè)，分析了投資者投資于信用債券組合時，信用債券之間的聯(lián)合違約及違約傳染對最優(yōu)動態(tài)投資策略的影響。

此外，Meindl等［19］在投資模型中引入了交易費用，利用滾動時域控制方法和蒙特卡洛模擬求解出投資者對信用債券的最優(yōu)持有。Biagin等［20-21］采用局部風(fēng)險最小化方法，求解出了可違約權(quán)益的最優(yōu)動態(tài)投資策略。Capponi等［22-23］在信用債券定價模型中引入了機制轉(zhuǎn)換，在此基礎(chǔ)上，利用隨機控制方法研究了信用債券的最優(yōu)動態(tài)投資策略。

目前，國內(nèi)的信用債券型基金多以開放式運作［24］。但上述有關(guān)信用債券最優(yōu)投資策略的研究，均是以投資者的投資策略為自融資策略展開的，即假設(shè)投資者在投資期限內(nèi)，除了初始財富外并無額外的資金進出。這一關(guān)鍵性的假設(shè)顯然不適合開放式信用債券型基金的投資策略。鑒于此，本文放松自融資策略的假設(shè)，研究開放式信用債券型基金的最優(yōu)投資問題，為開放式信用債券型基金的投資管理提供指導(dǎo)，同時豐富和完善信用債券最優(yōu)投資策略的理論研究。

1 市場投資環(huán)境

假設(shè)金融市場是一個無摩擦、無套利的完全競爭市場，金融資產(chǎn)可以被連續(xù)性交易。在市場上，所有投資者都是價格接受者，即單個投資者的投資決策并不能改變金融資產(chǎn)的價格。假設(shè)存在一個完備的概率空間（Ω，G，Q）。Q是真實概率P的等價鞅概率測度（風(fēng)險中性概率測度）。令τ為概率空間上的一個非負隨機變量，表示信用債券的違約時間。假設(shè)Q（τ=0）=0，Q（τ＞0）＞0。定義一個右連續(xù)過程H，H（t）=1｛τ≤t｝，其中，1｛τ≤t｝為示性函數(shù)。

假設(shè)開放式信用債券型基金的投資集為信用債券和銀行存款。下面將對這兩類資產(chǎn)價格的動態(tài)過程以及基金的財富動態(tài)過程進行描述。

1.1 各資產(chǎn)價格的動態(tài)過程

設(shè)一個信用債券的到期日為T1，票面價值為1，違約時間為τ。當(dāng)τ∈（T1，∞）時，債券不發(fā)生違約，投資者于到期日收回債券的票面價值。當(dāng)τ∈（0，T1）時，債券違約，債券的市場價值將變?yōu)?，但投資者可以按照債券違約前的市場價值收回部分投資［25］。由此可得概率Q下信用債券的價格為

式中：r為無風(fēng)險短期利率；h Q為過程τ的風(fēng)險中性違約強度；ι為違約損失率，假設(shè)它們均為常數(shù)。

對式（1）利用伊藤定理，可得概率Q下信用債券價格的動態(tài)過程：

式中，補償跳躍鞅過程MQ（t）滿足

假設(shè)在概率Q下銀行存款滿足如下動態(tài)過程：

1.2 財富的動態(tài)過程

假設(shè)開放式信用債券型基金的資金凈流入為一個隨機過程，并滿足

式中：κ為期望凈流入率；在固定利率條件下，資金凈流入的隨機性主要受信用債券收益的波動影響，波動率為σ。

基金的初始金額x＞0，投資期限為［0，T］，T＜T1；投 資 策 略π（t）=（πp（t），1-πp（t））′，πp（t）為基金投資于信用債券的份額，1-πp（t）為投資于銀行存款的份額。令Xπ（t）表示該投資組合，則Xπ（t）應(yīng)滿足如下動態(tài)過程：

將式（2）、（3）代入式（5），可得

式中，Xπ（0）=x?？梢园l(fā)現(xiàn)，由于C（t）dt的存在，使得開放式信用債券型基金的投資策略不再是自融資策略。此時，未來資金凈流入的現(xiàn)值期望將會對開放式信用債券型基金的投資策略產(chǎn)生重要的影響［26］。

定義1參照卞世博［27］，定義資金凈流入的現(xiàn)值期望為

假設(shè)D（0）=d，其中EQ為風(fēng)險中性概率Q的期望。則D（t）可以表示為C（t）的函數(shù)，即

式中，θ=κ-r。

證明見附錄A。

對式（7）進行微分，并利用式（4），可得

定義2參照卞世博［27］，定義開放式信用債券型基金的財富過程為

對式（9）進行微分，并利用式（6）、（8），可得

可以發(fā)現(xiàn)，折現(xiàn)的財富動態(tài)過程是一個鞅過程：

由此可知，

由于開放式信用債券型基金是在真實概率P下進行投資決策的，故需要將概率測度從風(fēng)險中性概率測度Q轉(zhuǎn)化為真實概率測度P。在無套利市場假設(shè)下，由Girsanov定理1）具體證明詳見Kusuoka［28］可知，存在一個Radon-Nikodym 密度鞅過程Z（t）=dQ/dP，使得

式中：EP為真實概率P的期望；Z（t）則應(yīng)滿足條件EP（Z（T*））=1。

同時，

其中：μ=h P/h Q，μ為跳躍風(fēng)險的市場價格；h P為真實概率P的違約強度；

是真實概率P的鞅。

2 最優(yōu)投資策略

開放式信用債券型基金通過動態(tài)調(diào)整投資策略，以實現(xiàn)基于最終財富的期望效用最大化。令U（v）為開放式信用債券型基金的效用函數(shù)，J（v）為實施最優(yōu)投資策略π*后的最大化效用，則開放式信用債券型基金所面臨的最優(yōu)化問題為：

下面利用鞅方法來求解此問題。

假設(shè)效用函數(shù)U是嚴格遞增且凹的函數(shù)，則效用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)U′是嚴格遞減且連續(xù)的，因而存在一個嚴格遞減且連續(xù)的反函數(shù)I（Y），使得

定義U的對偶函數(shù)

則當(dāng)V=I（Y）時，取最大值，即

當(dāng)且僅當(dāng)V=I（Y）時，上式為等式。

將Y（v）看作最優(yōu)化問題約束條件的拉格朗日乘數(shù)，可以將帶約束條件的最優(yōu)化問題式（13）轉(zhuǎn)化為無約束條件的最優(yōu)化問題，即

對式（15）利用式（14）的結(jié)果，可得

當(dāng)且僅當(dāng)

上式為等式。此時V（T）為最優(yōu)的最終財富。

進一步，假設(shè)開放式信用債券型基金的效用函數(shù)為冪效用函數(shù)，滿足U（V）=lnV。

此時，U′的反函數(shù)為

利用式（12）、（16）和式（17），可得

從而可得

將式（20）代入式（17），并利用式（18），可得最優(yōu)的最終財富：

對式（20）進一步整理，可得

命題1令v為開放式信用債券型基金的初始財富，V（T）為T時刻的最終財富，在冪效用函數(shù)下，開放式信用債券型基金的最優(yōu)投資策略為

證明見附錄B。

由式（22）可以直觀地發(fā)現(xiàn)，開放式信用債券型基金對信用債券的最優(yōu)投資策略為跳躍風(fēng)險溢價μ的增函數(shù)，違約損失率ι的減函數(shù)。該策略還受資金凈流入的波動率σ的影響，σ越大，說明資金凈流入的波動就越大，基金為了避險會減少對信用債券的持有。開放式信用債券型基金對信用債券的最優(yōu)投資策略與投資時刻密切相關(guān)，但無法直接看出，其隨時間的變化趨勢，將在下一節(jié)通過數(shù)值模擬的方式對此進行分析。

3 數(shù)值模擬

為了使結(jié)果更加直觀，本節(jié)用數(shù)值模擬的方式，來討論開放式信用債券型基金最優(yōu)投資策略的一些性質(zhì)，重點考察最優(yōu)投資策略與信用債券的跳躍風(fēng)險溢價、違約損失率以及剩余投資期限之間的關(guān)系。數(shù)值分析中的具體參數(shù)2）有關(guān)信用債券相關(guān)參數(shù)的取值參照了Driessen［29］：

μ—跳躍風(fēng)險溢價，取值1～3

ι—違約損失率，取值0.1～1

r—無風(fēng)險利率，取值0.03

κ—期望凈流入率，取值0.06

σ—資金凈流入波動率，取值0.01

T-t—剩余投資期限，取值0～20

由圖1可以直觀地發(fā)現(xiàn)，開放式信用債券型基金對信用債券的最優(yōu)投資策略是跳躍風(fēng)險溢價μ的增函數(shù)。在保持其他變量不變的情況下，隨著跳躍風(fēng)險溢價μ的加大，基金將持有更多的信用債券。這從直覺上也不難理解，跳躍風(fēng)險μ越大，說明市場對違約風(fēng)險的補償也就越大，信用債券的收益也就越高，對基金越具吸引力，因而會增加對其的持有。開放式信用債券型基金對信用債券的最優(yōu)投資策略是違約損失率ι的減函數(shù)。在其他變量不變時，信用債券的違約損失率ι越高，信用債券違約后基金能收回的投資成本就越低，為了避險，基金會減少對信用債券的持有。還可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)違約損失率ι較高時，基金對信用債券的持有對跳躍風(fēng)險溢價μ不是很敏感；但是當(dāng)違約損失率ι較低時，信用債券的最優(yōu)持有對跳躍風(fēng)險溢價μ的變化就變得較為敏感，跳躍風(fēng)險溢價μ一個很小的擴大，會大幅增加基金對信用債券的持倉比重。這可能是因為當(dāng)違約損失率ι較高時，基金主要考慮的是信用債券所蘊含的投資風(fēng)險；而當(dāng)違約損失率ι較低時，基金主要考慮的是信用債券的投資收益。

圖1 信用債券的最優(yōu)投資策略與跳躍風(fēng)險溢價、違約損失率

圖2 信用債券的最優(yōu)投資策略與跳躍風(fēng)險溢價、剩余投資期限

圖2說明了跳躍風(fēng)險溢價μ、剩余投資期限與信用債券最優(yōu)投資策略的關(guān)系。由圖2可以清楚地發(fā)現(xiàn)，開放式信用債券型基金對信用債券的最優(yōu)投資策略是剩余投資期限的增函數(shù)，隨著剩余投資期限的增長，基金會增加對信用債券的持有。還可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)剩余投資期限較短時，基金對信用債券的持有對跳躍風(fēng)險溢價μ不是很敏感；但是當(dāng)剩余投資期限較長時，信用債券的最優(yōu)持有對跳躍風(fēng)險溢價μ的變化就變得較為敏感。這可能是因為當(dāng)剩余投資期限較長時，基金會選擇更積極的投資策略，對信用債券的收益更為看重；而隨著投資期限的臨近，基金會選擇相對保守的投資策略，更多地會考慮信用債券所蘊含的風(fēng)險。

4 結(jié)語

以往對信用債券最優(yōu)投資策略的研究，均是基于投資者的自融資策略展開的。本文放松了這一假設(shè)，研究了開放式信用債券型基金的最優(yōu)投資問題。假設(shè)開放式信用債券型基金的資金凈流入為一個隨機過程，基金的投資目標(biāo)為基于最終財富的期望效用最大化，研究了基金如何對信用債券以及銀行存款進行最優(yōu)投資。通過假設(shè)基金的效用函數(shù)為冪效用函數(shù)，利用鞅方法得到了最優(yōu)投資策略的解析解。結(jié)果表明：開放式信用債券型基金對信用債券的最優(yōu)投資策略是跳躍風(fēng)險溢價以及剩余投資期限的增函數(shù)；是違約損失率以及資金凈流入波動率的減函數(shù)。

附錄A

式（7）的證明

證明由定義1可知，

由Shreve［30］可知，獨立于Ft，條件期望可以轉(zhuǎn)化為無條件期望，故可得

由式（4）可知，

對式（A4）求期望，可得

式中，θ≡κ-r。

由Fubini定理可得

將式（A6）代入式（A2），則可得到式（7）。

附錄B

命題1的證明

證明由式（21）可知，

由Girsanov定理可知，

對式（B1）利用伊藤定理，可得

將式（B3）～（B5）代入式（B2），可得

將式（B6）與式（11）比較即可得到命題1。