李　爽，樓京俊，劉樹勇（海軍工程大學(xué) 動力工程學(xué)院，湖北 武漢 430033）

雙層非線性隔振系統(tǒng)混沌特性分析

李爽，樓京俊，劉樹勇
（海軍工程大學(xué) 動力工程學(xué)院，湖北 武漢 430033）

以雙層非線性隔振系統(tǒng)為對象，建立兩自由度非線性隔振系統(tǒng)的動力學(xué)模型，研究在不同激勵條件下的動力學(xué)特性和隔振效果。分析激勵幅值一定的條件下系統(tǒng)響應(yīng)隨激勵頻率的全局分岔變化規(guī)律及其非線性動力學(xué)特征，采用優(yōu)勢頻率處的能量衰減評估隔振系統(tǒng)對強線譜的隔離效果。計算結(jié)果表明，處于混沌狀態(tài)時優(yōu)勢頻率處的線譜強度降低了 25.9 dB，驗證混沌隔振方法能有效降低結(jié)構(gòu)噪聲中的線譜成分。

雙層隔振；非線性；分岔；混沌；線譜

為抑制機械或結(jié)構(gòu)的振動傳遞到基礎(chǔ)，隔振技術(shù)在工程中已經(jīng)得到了廣泛應(yīng)用。如今，線譜已成為現(xiàn)代被動聲吶在水聲對抗中檢測、跟蹤和識別目標(biāo)的主要特征信號，因而降低機械設(shè)備輻射噪聲中的線譜成份已是目前隔振技術(shù)研究的熱點之一［1］。

常規(guī)減振方法大多是按線性理論設(shè)計［2］，而線性隔振技術(shù)只能降低輻射噪聲中特征線譜成分的幅值，而不能改變其頻譜特征，對低頻線譜的隔離能力也非常有限。近年來，各國學(xué)者在非線性隔振技術(shù)上進行了大量的研究工作，針對線譜是潛艇聲隱身性能的主要危害并難以消除的這一問題，樓京俊等［3］利用非線性隔振系統(tǒng)出現(xiàn)混沌狀態(tài)時功率譜呈現(xiàn)連續(xù)譜且強度下降這一特征，提出可應(yīng)用于潛艇結(jié)構(gòu)噪聲線譜控制的混沌隔振方法［4 -8］。研究表明，非線性隔振系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)時有很好的隔振效果，并且能夠明顯降低結(jié)構(gòu)噪聲中的線譜成分，因而應(yīng)用前景非常廣泛［9］。

由于混沌隔振基本理論已完全不同于線性隔振基本理論，要是能將混沌控制理論與機械隔振技術(shù)相結(jié)合，那么既能夠使現(xiàn)代隔振理論得到創(chuàng)新，又能夠推動國內(nèi)外潛艇機械噪聲控制技術(shù)全面發(fā)展。應(yīng)用混沌理論來控制噪聲源線譜成分，首先要了解什么樣的參數(shù)區(qū)域能使非線性隔振系統(tǒng)進入混沌運動、要知道如何判斷系統(tǒng)是否已進入混沌狀態(tài)、非線性隔振系統(tǒng)對線譜有多大的隔離能力等問題。本文基于上述問題做了一些基礎(chǔ)性研究。內(nèi)容主要包括非線性系統(tǒng)的基本性質(zhì)，混沌產(chǎn)生的機理，兩層非線性隔振系統(tǒng)的動力學(xué)特性分析，隔振效果評估等方面。較以往的研究，本系統(tǒng)考慮了基礎(chǔ)的柔性，并且采用特征頻率處線譜強度對系統(tǒng)隔振性能進行評估。

1　雙層非線性隔振系統(tǒng)模型

在傳統(tǒng)的隔振理論分析具體問題時往往假定：被隔振的設(shè)備是無彈性的，理想化的，并且隔振器只是由簡單理想的線性或非線性彈簧與理想化阻尼器并聯(lián)而成，而且也將系統(tǒng)基礎(chǔ)看成是質(zhì)量趨于無窮的絕對剛體。導(dǎo)致高頻區(qū)的隔振效果有所降低，在影響隔振效果的諸多因素中，基礎(chǔ)的柔性是最重要的因素［3］。特別是對于大多為板殼結(jié)構(gòu)的船體，其動力機械設(shè)備質(zhì)量往往較大，與基礎(chǔ)之間的動態(tài)耦合作用不能忽視，應(yīng)將其基座視為具有一定機械阻抗的柔性基礎(chǔ)。

假設(shè)只考慮基于柔性基礎(chǔ)的雙層隔振系統(tǒng)垂直方向的振動傳遞，則可將系統(tǒng)簡化為如下的兩自由度模型，如圖1 所示。M1，M2分別表示被隔振設(shè)備、基礎(chǔ)的質(zhì)量；X1，X2分別表示為被隔振系統(tǒng)、基礎(chǔ)的位移；假設(shè)基礎(chǔ)的彈性支撐為線性，K2，C2分別表示其剛度，阻尼系數(shù)；隔振材料具有非線性特征，K1，K3分別表示剛度的 1 次項、3 次項系數(shù)；F 為加在隔振系統(tǒng)上的激勵，假定

圖1　雙層非線性隔振系統(tǒng)Fig. 1　Double-layer nonlinear vibration isolation system

根據(jù)所建模型可得系統(tǒng)運動微分方程為：

將式（2）和式（3）代入式（1）可得到：

式中：

2　系統(tǒng)全局分岔變化規(guī)律分析

將方程（4）改寫成如下方程組形式：

當(dāng) f1= 4 時，被隔振設(shè)備響應(yīng)隨激勵頻率 ω 變化的分岔情況如圖2 所示。當(dāng)時，系統(tǒng)響應(yīng)只存在周期 1 和周期 2 運動，整個頻率范圍內(nèi)共存在4 段周期 1 運動和 2 段周期 2 運動，3 次跳躍現(xiàn)象和 2次分岔過程。

圖2　f1= 4 時系統(tǒng)響應(yīng)隨激勵頻率變化的分岔圖Fig. 2　Bifurcation diagram in term of excitation frequency when f1= 4

當(dāng) ω = 1.14 時，系統(tǒng)的軸心軌跡圖及時域波形圖如圖3 所示。從軸心軌跡圖中可看出，隔振系統(tǒng)呈現(xiàn)非線性特征，且時域波形圖為穩(wěn)定的周期信號，系統(tǒng)響應(yīng)相圖如圖4 所示，在相圖中相軌跡轉(zhuǎn)一圈就發(fā)生了閉合，且相軌跡上只存在一個 Poincaré 截點，非常直觀地看出此時系統(tǒng)只有一個穩(wěn)定的周期解。

圖3　ω = 1.14 時系統(tǒng)響應(yīng)的軸心軌跡圖和時域波形圖Fig. 3　Orbit and time-history diagrams of the system response at ω = 1.14

圖4　ω = 1.14 周期 1 運動時系統(tǒng)響應(yīng)相圖Fig. 4　Phase plot of P-1 motion when ω = 1.14

圖5　ω = 3 周期 2 運動時系統(tǒng)響應(yīng)的相圖、Poincaré 截面圖Fig. 5　Phase plot and Poincaré map of P-2 motion when ω = 3

圖6　ω = 3 周期 2 運動時系統(tǒng)響應(yīng)的時域圖、功率譜圖Fig. 6　Time-history and amplitude spectrum diagram of P-2 motion when ω = 3

圖7　f1= 12 時系統(tǒng)響應(yīng)隨激勵頻率變化的分岔圖Fig. 7　Bifurcation diagram in term of excitation frequency when f1= 12

當(dāng) ω = 1.07 時，系統(tǒng)出現(xiàn)了第 1 次跳躍現(xiàn)象，系統(tǒng)響應(yīng)由一個穩(wěn)定的周期 1 運動突變?yōu)榱硪粋€穩(wěn)定的周期 1 運動，當(dāng) ω = 2.36 時，系統(tǒng)又出現(xiàn)了第 2 次跳躍現(xiàn)象。

當(dāng) ω = 2.54 時，系統(tǒng)出現(xiàn)了第 1 次倍周期分岔過程，系統(tǒng)響應(yīng)由一個穩(wěn)定的周期 1 運動倍周期分岔為一個穩(wěn)定的周期 2 運動，在 ω = 3.55 之前，系統(tǒng)一直維持周期 2 運動，在此頻率范圍內(nèi)，當(dāng) ω = 3.26 時，系統(tǒng)出現(xiàn)了第 3 次跳躍現(xiàn)象，此次跳躍是由一個穩(wěn)定周期 2 運動變化為另外一個穩(wěn)定的周期 2 運動。

當(dāng) ω = 3 時，系統(tǒng)響應(yīng)相圖、Poincaré 截面圖、時域圖及功率譜圖如圖5 和圖6 所示。在相圖中，相軌跡旋轉(zhuǎn) 2 圈后才發(fā)生閉合，在 Poincaré 截面圖可以清楚地看到 2 個截點，由此判斷系統(tǒng)響應(yīng)為周期 2 運動，并且在功率譜圖上可以看到此時系統(tǒng)出現(xiàn)了很強烈的 1/2 次諧波分量，即經(jīng)過一次倍周期分岔過程后，系統(tǒng)響應(yīng)在 1/2 倍激勵頻率處出現(xiàn)了很強的線譜。

當(dāng) ω = 3.55 時，此時系統(tǒng)再次出現(xiàn)分岔現(xiàn)象，但此次分岔過程是周期 2 運動變?yōu)橹芷?1 運動，系統(tǒng)響應(yīng)只在激勵頻率處出現(xiàn)強烈的線譜。經(jīng)過此次倍周期分岔過程之后，系統(tǒng)一直保持周期 1 運動。

但在整個 ω 范圍內(nèi)，由于激勵幅值 f1較小，并未觀察到混沌現(xiàn)象。

當(dāng) f1= 12 時，被隔振系統(tǒng)響應(yīng)隨激勵頻率 ω 的分岔情況如圖7 所示。與 f1= 4 時的分岔圖相比，系統(tǒng)響應(yīng)不僅多次出現(xiàn)了倍周期分岔過程，而且還出現(xiàn)了混沌現(xiàn)象。由圖7 可知，在 ω = 1.14 附近，系統(tǒng)進入混沌狀態(tài)。此時 Poincaré 截面上也存在明顯的混沌吸引子，時域波形圖呈現(xiàn)無規(guī)則的現(xiàn)象，通過計算功率譜，觀察到除了出現(xiàn)超諧波之外，在 ω = 0.57 處還出現(xiàn)了較強 1/2 次諧波，并且還存在連續(xù)幅值較小的諧波分量，如圖8 所示。并且可以觀察到，每經(jīng)過一次倍周期分岔，新出現(xiàn)的譜線強度會明顯降低，這對降低輻射噪聲非常有利。由此可以得出，該隔振系統(tǒng)在ω = 1.14 附近存在著倍周期分岔和非常復(fù)雜的混沌運動。在設(shè)計非線性隔振器時，就是要在外界激勵幅值基本不變的情況下，想方設(shè)法保證隔振系統(tǒng)的固有頻率使整個隔振系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，這樣輻射噪聲中的線譜成分將會得到很好的隔離。

圖8　ω = 1.14 混沌狀態(tài)時系統(tǒng)響應(yīng)的相圖、Poincaré 圖、時域圖及功率譜圖Fig. 8　Phase， Poincaré map， time-history and amplitude spectrum diagrams of system response at different exciation frequency

當(dāng) ω ＞ 1.17 時，系統(tǒng)響應(yīng)由混沌運動→周期 8→周期 4→周期 2 不斷演變，當(dāng) ω = 1.26 時，系統(tǒng)再次進入周期 1 運動。在 1.87 ＜ ω ＜ 1.89 的頻率范圍內(nèi)系統(tǒng)響應(yīng)還出現(xiàn)了短暫的周期 3 運動。當(dāng) ω = 1.88 時，在 Poincaré截面上可以明顯地觀察到 3 個孤立的截點，如圖9 所示。隨著激勵頻率繼續(xù)增大，在 ω = 3.24 附近，系統(tǒng)響應(yīng)出現(xiàn)了跳躍現(xiàn)象，隨即出現(xiàn)了倍周期分岔過程，其演變過程為周期 1→周期 2→周期 4→周期 2運動，當(dāng) ω = 3.94 時，系統(tǒng)又進入了周期 1 運動。

3　系統(tǒng)強線譜處隔振效果評估

圖9　ω = 1.88 周期 3 運動時系統(tǒng)響應(yīng)的相圖、Poincaré 圖、時域圖及功率譜圖Fig. 9　Phase， Poincaré map， time-history and amplitude spectrum diagrams of system response of P-3 motion when ω = 1.88

對圖7 中優(yōu)勢頻率 ω = 1.14 處隔振性能進行研究。圖10 為被隔振設(shè)備的功率譜圖，最大為 42.47 dB，圖11 為通過隔振器后基礎(chǔ)響應(yīng)的功率譜強度，最大為16.53 dB，線譜強度共下降了 42.47-16.53 = 25.94 dB。因此可以看出系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)對優(yōu)勢頻率處線譜的隔離效果明顯。

圖10　ω = 1.14 時被隔振設(shè)備響應(yīng)的功率譜圖Fig. 10　Amplitude spectrum of the machinery when ω = 1.14

圖11　ω = 1.14 時基礎(chǔ)響應(yīng)的功率譜圖Fig. 11　Amplitude spectrum of the foundation when ω = 1.14

4　結(jié)　語

以上分析表明，雙層非線性隔振系統(tǒng)在外界激勵幅值一定的條件下，隨激勵幅值的變化呈現(xiàn)出非常復(fù)雜的動力學(xué)特性，激勵幅值越大，系統(tǒng)更容易出現(xiàn)混沌狀態(tài)，并且在混沌狀態(tài)時，能有效隔離機械設(shè)備輻射噪聲中的線譜成分，因而非線性系統(tǒng)運用到機械設(shè)備隔振裝置中非常有效可行。

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The chaotic characteristic analysis of a double-layer vibration isolation system

LI Shuang， LOU Jing-jun， LIU Shu-yong
（College of Power Engineering， Naval University of Engineering， Wuhan 430033， China）

In this article， a dynamic model of two-degree-of-freedom nonlinear vibration isolation will be established. Bifurcation diagrams of this system with different excitation amplitude will be gained and the dynamic behaviors of bifurcation with different frequencies also will be obtained. On the other way， the reduction of the strong line spectrum will be evaluated by the energy attenuation in the characteristic frequencies. The research reveals that energy of the line spectrum will be reduced 25.9 dB in the characteristic frequencies. By the analysis of isolation effectiveness of the system， we can see that the application of chaos method in line spectrum reduction is perfectly validated.

double-layer vibration isolation；nonlinear；bifurcation；chaos；line spectra 0引言

O328

A

1672-7619（2016）05-0064-05

10.3404/j.issn.1672-7619.2016.05.014

2015-09-06；

2015-09-16

國家自然科學(xué)基金資助項目（51179197）

李爽（1992-），男，碩士研究生，研究方向為振動與噪聲控制。