曾銀蓮，李軍

（1.香港中文大學 系統(tǒng)工程與工程管理系，沙田 香港；2.西南交通大學 經濟管理學院，成都 610031）

隨著人力資源成本的不斷增加，企業(yè)降低運輸成本的壓力越來越大。對于零擔貨物運輸，企業(yè)可以采用合并運輸策略將隨機到達的幾個小訂單合并為一次運輸，降低運輸成本，提高車輛的利用率，從而提高整體的競爭力[1]。例如，汽車組裝商可將隨機到達倉儲中心的不同供應商零部件進行合并運輸至組裝工廠[2]。當然，使用合并運輸策略會使運輸提前期延長，因此，并不是每種產品或每個承運人都適合使用合并運輸策略[1]。如對于易腐性產品及為just-in-time生產商運輸原材料的零擔運輸承運人，這種策略并不適合。這種策略適合于對運輸提前期要求不高及不具有易腐性的產品。對于這些產品，當隨著運輸量的增加單位運輸成本不會明顯增加時，通過合并運輸可為每筆訂單節(jié)約多達50%的運輸成本[3]。同時，通過合并運輸還能減少對環(huán)境的碳排放量，降低對環(huán)境的損害[4]。

雖然單個企業(yè)通過合并自己的運輸訂單可降低成本，但當單個企業(yè)的需求較小，即企業(yè)訂單的平均到達率較小時，合并運輸時運輸提前期會較大，此時客戶的服務水平會較低。為了能在降低成本的同時保證客戶服務水平，越來越多的企業(yè)尋求與其他企業(yè)進行合作運輸。國外已出現(xiàn)專門提供合作運輸平臺的 公 司，如 Nistevo（現(xiàn) 已 被IBM 收 購），Transplace等，企業(yè)通過在這些平臺上實現(xiàn)合作來提高車輛利用率及客戶服務水平[5]。文獻[6]中指出，零擔貨運人之間的合作可以更好地實現(xiàn)協(xié)同效益（如充分利用車輛資源、需求的規(guī)模經濟），降低運輸成本和運輸提前期，提高資源的利用率，提高總體的服務水平。

注意在這里提到了2個概念：合并運輸與合作運輸。合并運輸是指企業(yè)將隨機到達的幾個小訂單合并為一個大訂單的一種運輸策略，其對象是運輸訂單，可以理解為戰(zhàn)術層面上的概念；合作運輸則是指不同企業(yè)之間進行運輸合作，其對象是企業(yè)，可以理解為戰(zhàn)略層面上的概念。當企業(yè)單獨進行運輸時，合并運輸策略合并的只是自己的運輸訂單；當企業(yè)之間進行合作運輸時，合并運輸策略合并的是所有參與合作的企業(yè)的運輸訂單。使用合并運輸策略的企業(yè)可以通過合作運輸將自己的訂單與其他企業(yè)的訂單進行合并運輸，更好地發(fā)揮合并運輸?shù)膬?yōu)勢，達到需求的規(guī)模經濟效益，在降低成本的同時保證客戶的服務水平。如從同一供應商處購買標準零部件（如軸承、緊固件及連結件等）的不同汽車組裝商（在同一汽車工業(yè)園區(qū)或距離較近）之間可以進行合作運輸，將自己的運輸訂單與其他企業(yè)的運輸訂單進行合并運輸來降低成本。

與本文相關的研究主要包括兩方面：①關于合并運輸策略的研究；②關于合作運輸費用分配的研究。合并運輸策略方面，Cetinkaya等[2]利用更新理論對時間策略和數(shù)量策略下的合并運輸進行了研究，并分別給出了在這兩種策略下，訂單到達率及每筆訂單的需求量滿足泊松分布時的最優(yōu)時間周期T和最優(yōu)運輸量w的表現(xiàn)形式。Higgnson等[3]運用馬爾科夫決策過程對最優(yōu)合并運輸策略的存在性進行了分析，但沒有給出最優(yōu)策略的一般表達形式。另外，還有一部分文獻利用仿真方法來分析合并運輸?shù)淖顑?yōu)策略[7-8]。目前，關于合作運輸費用分配的研究對整車合作運輸關注較多[9-11]。對于零擔運輸合作，Dai等[12-13]分別研究了零擔運輸承運人通過拍賣機制進行合作和零擔運輸承運人合作優(yōu)化問題以及費用分配問題。Liu等[14]針對零擔運輸承運人合作提出了一種 WRSM （Weighted Relative Savings Model）費用分配機制。李軍等[15]對易腐品零擔運輸合作的設施選擇進行了研究。Hernández等[16]研究了在參與合作的資源是動態(tài)的情況下零擔運輸合作的優(yōu)化算法。Krajewska等[17]以夏普利值作為零擔運輸承運人合作的費用分配方案。Yilmaz等[18]分析了隨機需求環(huán)境下，零擔運輸托運人之間的合作，將該問題模型化為馬爾科夫決策過程，并討論了托運人合作的費用分配方案。但是，目前還很少有研究考慮合并運輸策略下的合作運輸費用分配問題，同時，目前關于合作運輸?shù)难芯恳矝]有考慮不完全信息情況下的費用分配機制設計。

合并運輸主要有3種策略：基于時間的合并運輸策略（以下簡稱時間策略）；基于數(shù)量的合并運輸策略（以下簡稱數(shù)量策略）以及基于時間和數(shù)量的合并運輸策略（以下簡稱時間數(shù)量策略）[19]。時間策略是指承運人預先設定一個時間運輸周期T，每隔時間T合并一次運輸訂單；數(shù)量策略是指承運人預先設定一個運輸量臨界點w，當隨機到達的訂單總運輸量首次超過該臨界點時合并訂單進行運輸；時間數(shù)量策略是指預先設定一個時間周期T和運輸量臨界點w，當訂單總運輸量超過臨界點或訂單最長等待時間達到T時，合并訂單進行運輸。本文基于時間策略考慮企業(yè)的合作運輸，分別討論在完全信息條件下和不完全信息條件下基于時間策略的合作運輸費用分配問題，對其他兩種策略下的合作運輸問題將在未來的研究中進行討論。

1 問題定義

考慮某個區(qū)域（如汽車工業(yè)園區(qū)）有N=｛1，2，…，n｝個企業(yè)，對于企業(yè)i∈N，設其運輸需求訂單滿足均值為λi的泊松分布，且每筆訂單的運輸量滿足均值為μi的泊松分布。運輸訂單到達滿足泊松分布的假設在文獻中很常見，如文獻[3，18]；訂單運輸量滿足泊松分布的假設見文獻[2]。

基于時間的合并運輸策略與運作管理中EOQ模型的周期補貨策略類似，關鍵問題就是要確定最優(yōu)運輸周期T，使得單位時間庫存持有成本與運輸成本之和最小。若企業(yè)進行單獨運輸，其在一個周期內的成本包括運輸成本和庫存持有成本。設KD和KO分別為每次運輸?shù)墓潭ǔ杀竞兔抗P運輸訂單的處理成本，c為每單位運輸量的變動成本，hi為企業(yè)i∈N單位時間單位運輸量貨物的庫存持有成本。企業(yè)i∈N的目標是決定運輸周期Ti，使得總期望成本最小。根據(jù)文獻[2]中的研究，利用更新理論可得在時間策略下，企業(yè)i∈N在一個周期內的期望總運輸成本為

其期望總庫存持有成本為

故企業(yè)i∈N單獨運輸時的單位時間總期望成本為

根據(jù)式（3）的一階條件，可得

將式（4）代入式（3），可得企業(yè)i∈N單獨運輸時的單位時間最優(yōu)總期望成本為

2 完全信息下零擔運輸合作費用分配

本節(jié)考慮完全信息情況下（即此時各企業(yè)的參數(shù)都是公共信息）基于時間策略的零擔運輸合作費用分配問題。在這種情況下主要關注2 個問題：①企業(yè)是否應該合作，即合作能否帶來好處？②如果合作是有益的，合作后產生的總費用應該如何分配才能保證聯(lián)盟的穩(wěn)定性？ 要回答這2 個問題，本文應用合作博弈理論，將時間策略下的零擔運輸合作問題構造為時間策略下的合作運輸博弈。首先介紹合作博弈的基本概念。

2.1 合作博弈基礎

一個合作博弈可以定義為一個二元組（N，c），其中，N=｛1，2，…，n｝為n個承運人的集合，稱為全聯(lián)盟。函數(shù)c：2N→R為分派給任意非空聯(lián)盟S?N的特征函數(shù)，且c（?）=0。如果對于博弈（N，c），對任意的S，R?N，S∩R=?，有c（S）+c（R）≥c（S∪R），則博弈（N，c）滿足次加性。博弈滿足次加性時表示合作是有益的，可以帶來成本的節(jié)約。博弈（N，c）的核心定義：

核心是所有滿足預算平衡性和穩(wěn)定性的費用分配方案的集合，它是合作博弈中最重要的解概念。當核心非空時，博弈滿足平衡性；在核心中的費用分配方案下，沒有參與者愿意脫離大聯(lián)盟單干或組成小聯(lián)盟，也即大聯(lián)盟是穩(wěn)定的[20]。博弈（N，c）是凹博弈，若其滿足對任意的

凹博弈具有一些好的性質，如核心非空、邊際向量是核心的極點、核心是邊際向量的凸組合及夏普利值是核心極點的重心；穩(wěn)定集、討價還價集與核心重合以及內核與核仁重合[20-21]。

2.2 時間策略下的零擔貨物運輸合作博弈

對于任意的企業(yè)集合S?N，當它們進行合作運輸時，由于泊松分布之和仍然是泊松分布，故合作后總訂單到達率滿足參數(shù)為Σi∈Sλi的泊松分布。在使用時間策略的情況下，它們共同決定服務周期TS，使得總期望成本最小。類似文獻[2]中的研究，利用更新理論可得在時間策略下，企業(yè)集合S在一個周期內的期望總運輸成本為

其期望總庫存持有成本為

故企業(yè)S合作運輸時的單位時間總期望成本為

將式（9）代入式（8），可得企業(yè)S合作運輸時的單位時間最優(yōu)總期望成本為

定義1時間策略下合作運輸博弈可以定義為二元組（N，c），其中，N=｛1，2，…，n｝為企業(yè)集合，特征函數(shù)c定義為c（?）=0，對任意的非空集合S?N，

命題1時間策略下合作運輸博弈（N，c）滿足次加性，即對任意的S，R?N，S∩R=?，有

c（S）+c（R）≥c（S∪R）

證明由式（11）知，

從而有

從而可得c（S）+c（R）-c（S∪R）≥0。 證畢

（N，c）具有次加性意味著“整體小于部分之和”，即合作是有益的，合作可以帶來成本的節(jié)約。由（N，c）的次可加性可知，對大聯(lián)盟的任意劃分｛S1，S2，…，Sk｝，有。特別地，，也即合作運輸時的聯(lián)盟總期望費用少于各企業(yè)獨立運輸時的期望費用之和，各企業(yè)之間應該合作。

命題2時間策略下合作運輸博弈（N，c）是凹博弈，即對任意的S?R?N｛l｝，有

證明由式（11）可知，

令函數(shù)

其一階導數(shù)

故f（x）為在（0，+∞）上的減函數(shù)。由于對任意的

時間策略下合作運輸博弈（N，c）的凹性意味著企業(yè)對某個聯(lián)盟的邊際費用隨著聯(lián)盟規(guī)模的增大而減小，即任意一個企業(yè)或聯(lián)盟加入另一不相連聯(lián)盟的動機隨著聯(lián)盟成員的增多而增大，對單個參與者具有滾雪球效應，對一個聯(lián)盟具有從眾效應[21]。另外，由命題2還可得如下推論：

推論1時間策略下的合作運輸博弈（N，c）滿足平衡性，其核心非空。

2.3 核心中的一個費用分配方案

核心非空說明存在使得大聯(lián)盟穩(wěn)定的費用分配方案。由于時間策略下的合作運輸博弈（N，c）是凹博弈，故其夏普利值、內核和核仁等經典的費用分配解都在核心中[21]。但是，當聯(lián)盟的參與人增加時，這些解的計算復雜度成指數(shù)增加。因此，本文提出一個即在核心中又直觀且便于計算的比例分配解。

命題3令

i∈N，則β=（β1，β2，…，βn）∈core（c），即該分配方案屬于時間策略下的合作運輸博弈（N，c）的核心。

證明首先，很顯然，Σi∈Nβi=c（N），其滿足預算平衡性。另外，對于任意的S?N，

故β又滿足穩(wěn)定性。 證畢

由于β在時間策略下的合作運輸博弈的核心中，故在該分配方案下，大聯(lián)盟是穩(wěn)定的，沒有企業(yè)愿意脫離大聯(lián)盟單干或組成小聯(lián)盟。而且該分配方案按照各企業(yè)單位時間的庫存成本比例進行成本分配，訂單到達率越大，或每筆訂單的運輸量越大以及單位庫存成本越大的企業(yè)，其分配的成本也越大，這樣不僅直觀、易于理解，又反映了公平性，因此，在實際應用中具有可行性。

3 不完全信息下零擔運輸合作的費用分配

本節(jié)考慮不完全信息情況下（即企業(yè)的某些信息為私有信息）基于時間策略的零擔運輸合作費用分配問題。具體地，假設各企業(yè)運輸訂單的平均到達率λi和每筆訂單的平均運輸量μi依然是公共信息，但其庫存成本hi為私有信息。該假設的合理性體現(xiàn)在企業(yè)訂單到達率以及每筆訂單的運輸量一般能被第三方驗證，因此可以視為公共信息；但其庫存成本一般不能夠被第三方驗證，因此可視為私有信息。在完全信息情況下，本文主要關注費用分配方案是否在其相應合作博弈的核心中；與完全信息情況下不同，在不完全信息情況下，本文主要關注能夠讓各企業(yè)“講真話”即滿足激勵相容性和個體理性的費用分配機制。

首先分析上節(jié)定義的費用分配方案β是否滿足激勵相容性。由β的定義可以看出，企業(yè)i所承擔的費用與其私有信息hi有關，且是關于hi的增函數(shù)。因此，在該費用分配方案下，各企業(yè)有動力提供虛假信息，從而其不滿足激勵相容性。

推論2給定費用分配方案β，各企業(yè)沒有動力“講真話”，即該費用分配方案不滿足激勵相容性。

下面設計能夠使各企業(yè)“講真話”即滿足激勵相容性的費用分配機制。首先假設存在一個第三方（可以是第三方物流供應商也可以是供應商，以下簡稱3P）對各企業(yè)的合作進行協(xié)調。符號介紹：令表示企業(yè)i∈N向3P提供的信息（有可能為虛假信息）；表示除企業(yè)i之外其他企業(yè)向3P提供的信息；3P根據(jù)各企業(yè)提供的信息確定最優(yōu)運輸周期；令表示3P優(yōu)化選擇后，企業(yè)i∈N表面上的單位時間庫存成本，即

合作過程的事件順序：

（3）3P在各企業(yè)之間進行成本轉移，轉移給托運人的成本為

命題4給定費用分配方案γ，對于任意的企業(yè)i∈N，“講真話”是其占優(yōu)策略，即

也即費用分配方案γ滿足激勵相容性。

證明由 于的取值與無關，故在γ費用分配方案下，企業(yè)i要使其所分配的費用γi最小即要向3P提供適當?shù)乃接行畔ⅲ?/p>

最小，由式（9）知，該式取最小值時，

而該最優(yōu)解只有在企業(yè)i講真話即時才有可能達到，因此，。 證畢

γ費用分配機制的思想是讓各企業(yè)分擔的費用與總費用正相關，使個體利益與集體利益一致，從而讓各企業(yè)有動力“講真話”，這類費用分配機制也被稱為Groves機制[22-23]。由于γ費用分配機制滿足激勵相容性，故其也可以寫為如下形式：

現(xiàn)考慮如何構造函數(shù)pi（h-i），使得γ滿足預算平衡性，即

由式（11）知，

式中，f＇、f″分別為的一階和二階導數(shù)。對于a點的選擇，在3P已知hi的分布或范圍時，如已知對于任意的i∈N，3P 可以選擇，此時式（16）的近似效果很好，即預算覆蓋率較高。通過對進行拆分得到如下命題：

命題5當n＞2時，存在函數(shù)pi（h-i），使得費用分配機制γ滿足近似預算平衡性，此時的費用分配方案稱為，即，且此時函數(shù)

當n=2時，不存在這種函數(shù)，使得γ滿足近似預算平衡性。

證明要構造函數(shù)pi（h-i），使其滿足

其他部分很顯然。

當n=2時，根據(jù)式（18）可知，構造函數(shù)需滿足

對式（19）兩邊對h1求導，可得

因此，由式（20）可以看出，函數(shù)

由式（21）可以看出，函數(shù)q2（h1）與h2有關，這與q2（h1）的定義相矛盾，因此，在n=2時不存在這種函數(shù)，使得費用分配方案γ滿足近似預算平衡性，即不存在同時滿足激勵相容性與近似預算平衡性的分配方案。當n＞2時，有

機制設計中另一個重要的性質是個體理性，即對于每一個參與者而言，其合作后所分擔的成本要小于其單獨運輸時的成本。要直接證明費用分配機制是否滿足個體理性比較困難，本文將在下節(jié)的仿真分析中對其該性質進行分析。

一個滿足個體理性的費用分配機制是令pi（h-i）=c（N-i），其中c（N-i）為除i之外其他企業(yè)合作時產生的最優(yōu)總成本，稱此時的費用分配方案為，即

命題6費用分配方案滿足激勵相容性與個體理性。

證明激勵相容性可以從命題4得到。因為博弈（N，c）滿足次加性，所以，有c（N）≤c（N-i）+c（｛i｝），即c（N）-c（N-i）≤c（｛i｝），故其滿足個體理性。 證畢

但該分配方案不一定滿足預算平衡性（如仿真分析中所示），事實上，在機制設計中，很多情況下都不存在同時滿足激勵相容性、預算平衡性和個體理性的費用分配機制[24-25]。

4 仿真分析

利用Matlab仿真來分析合作帶來的成本節(jié)約及費用分配機制（以下簡稱機制1）和費用分配機制（以下簡稱機制2）的效率。在仿真分析中，考慮企業(yè)個數(shù)n=3～10，對每一個n，隨機產生104個算例，其中，相關參數(shù)分別根據(jù)λi∈[0.2，0.8]（單位：個/天），hi∈[400，700]（單位：￥/（t˙d）），μi∈[2，6]（單位：t），KD∈[1 000，2 000]（單位：￥）的均勻分布產生，對于每個算例取在點a=700Σi∈Nλiμi，對進行泰勒展開并取前3項。仿真首先分析成本節(jié)約的平均比例即計算

的平均值；對于機制1，從兩方面來分析其效率：①是否滿足個體理性；②在多大程度上覆蓋了總預算。對于機制2，由于已經證明其滿足個體理性，故主要考察其在多大程度上覆蓋了預算。利用Matlab軟件進行仿真分析的結果如表1所示。

表1 仿真分析結果

通過表1可以發(fā)現(xiàn)：

（1）企業(yè)之間通過合作運輸可以節(jié)約高達將近70%的成本，因此合作是非常有利的，各企業(yè)應該積極尋求機會與其他企業(yè)進行合作運輸來降低運輸成本，從而提高競爭力。

5 結語

零擔合作運輸?shù)囊粋€核心問題就是產生的總費用應該如何在參與者之間進行公平地分配。本文分別考慮完全信息和不完全信息情況下基于時間策略的零擔運輸合作的費用分配問題。對于完全信息情況下的零擔運輸合作，利用合作博弈理論將其構造成時間策略下的零擔運輸合作博弈。首先證明了相應的合作博弈滿足次加性，說明合作是有益的；然后證明了相應的博弈滿足凹性，表明博弈的核心非空，并設計了屬于博弈核心中的分配方案。對于不完全信息情況下的零擔運輸合作，利用機制設計理論設計能夠使各企業(yè)“講真話”（即滿足激勵相容性）的費用分配機制，同時在激勵相容機制的基礎上，設計滿足個體理性和近似預算平衡性的費用分配機制。最后，本文通過仿真分析驗證了合作能夠帶來成本的節(jié)約，同時驗證了在不完全信息下本文提出的費用分配機制不僅滿足激勵相容性，同時滿足個體理性以及幾乎滿足預算平衡性，說明該機制在現(xiàn)實生活中具有參考價值。

另外，本文考慮的是時間策略下的零擔運輸合作費用分配問題，在未來的研究中可以進一步考慮數(shù)量策略下和時間-數(shù)量策略下零擔運輸合作的費用分配問題。同時，考慮具有價格折扣的零擔運輸合作費用分配也是未來進一步研究的方向。合作聯(lián)盟是一個復雜的系統(tǒng)，其狀態(tài)會動態(tài)演變[26]，更進一步，可以從動態(tài)的角度來分析合作聯(lián)明斬均衡狀態(tài)以及不同費用分配方案對聯(lián)盟均衡狀態(tài)的影響。