蔣再富，張定梅

(荊楚理工學(xué)院數(shù)理學(xué)院， 湖北 荊門 448000)

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轉(zhuǎn)子定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)軸上附加壓力計(jì)算的研究

蔣再富，張定梅

(荊楚理工學(xué)院數(shù)理學(xué)院， 湖北 荊門 448000)

利用動(dòng)量定理和角動(dòng)量定理推導(dǎo)出了剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的軸上附加壓力的一般表達(dá)式，并對(duì)正方板和正三角板的軸上附加壓力作了計(jì)算，給出了參數(shù)表達(dá)式，針對(duì)具體實(shí)際情況進(jìn)行了分析討論，得出轉(zhuǎn)子在高速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)作用在軸上的附加壓力相對(duì)于重力產(chǎn)生的壓力要大很多，并且同質(zhì)量的三角形轉(zhuǎn)子比正方形轉(zhuǎn)子產(chǎn)生的附加壓力要大。所得的結(jié)果為轉(zhuǎn)子的設(shè)計(jì)、安裝提供一定的理論參考。

定軸轉(zhuǎn)動(dòng)；轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；附加壓力；三角形轉(zhuǎn)子；正方形轉(zhuǎn)子

在機(jī)械工程技術(shù)中，很多機(jī)械的轉(zhuǎn)子都為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體，如發(fā)電機(jī)的線圈為正方形轉(zhuǎn)子、電站渦輪機(jī)組多為圓盤狀轉(zhuǎn)子、新式內(nèi)燃機(jī)為三角形轉(zhuǎn)子等。在轉(zhuǎn)子的安裝過程中，經(jīng)常需要高精度調(diào)試，一般轉(zhuǎn)子的質(zhì)心應(yīng)該在轉(zhuǎn)軸上，轉(zhuǎn)子的對(duì)稱軸應(yīng)該與轉(zhuǎn)軸重合，這樣轉(zhuǎn)子在高速轉(zhuǎn)動(dòng)過程中對(duì)軸承沒有附加壓力。但在安裝過程中，由于多方因素導(dǎo)致轉(zhuǎn)子對(duì)稱軸與轉(zhuǎn)軸可能偏離一定角度，通常在1°左右，這時(shí)轉(zhuǎn)軸上將會(huì)有附加壓力出現(xiàn)，如果附加壓力超過了轉(zhuǎn)軸的承受能力，將會(huì)使轉(zhuǎn)軸折斷，導(dǎo)致嚴(yán)重的后果。因此在轉(zhuǎn)子及轉(zhuǎn)軸的設(shè)計(jì)過程中一定要考慮由于安裝不善而出現(xiàn)的附加壓力，一些文獻(xiàn)針對(duì)圓盤狀轉(zhuǎn)子的附加壓力作了1°計(jì)算[1～5]，但三角形轉(zhuǎn)子及正方形轉(zhuǎn)子的附加壓力的計(jì)算鮮有提及。下面，筆者利用剛體的動(dòng)量定理和角動(dòng)量定理針對(duì)三角形轉(zhuǎn)子及正方形轉(zhuǎn)子的附加壓力進(jìn)行計(jì)算，給出參數(shù)表達(dá)式，并對(duì)實(shí)際情況進(jìn)行討論。

1　基本理論

圖1　任意形狀轉(zhuǎn)子定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

假如有一任意形狀剛體以角速度ω繞AB軸轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖1所示。A、B點(diǎn)為軸的固定點(diǎn)，NAX、NAY、NBX、NBY為軸上的約束反作用力，如果約束反作用力除了重力外還有附加項(xiàng)，則軸上將會(huì)有附加壓力出現(xiàn)[2]。

如果剛體受到合外力為F，則由動(dòng)量定理和動(dòng)量矩定理可以導(dǎo)出：

(1)

式中，F(xiàn)X、FY、FZ分別為合外力在3個(gè)坐標(biāo)軸上投影；MX、MY、MZ分別為合力對(duì)3個(gè)坐標(biāo)軸的合力矩；IYZ、IZX、IZZ為慣量積。

要求解軸上附加壓力的大小必須求出約束反作用力的大小，下面將利用此方法計(jì)算2種不同形狀的剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)軸上的附加壓力的大小。

2　正三角板定軸轉(zhuǎn)動(dòng)軸上附加壓力的計(jì)算

圖2　三角形轉(zhuǎn)子定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

由于安裝不善，導(dǎo)致正三角板的法線與轉(zhuǎn)軸成交角 α(α很小)，如圖2所示。O-XYZ是固定坐標(biāo)系，O-X′Y′Z′是固著在轉(zhuǎn)子上與轉(zhuǎn)子一起運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系，在圖2中Y′軸與Y軸剛好重合。a、b是轉(zhuǎn)子與固定點(diǎn)A、B的距離，轉(zhuǎn)子質(zhì)量為m，邊長(zhǎng)為l。由于OX′、OZ′、OZ這3線共面，且該面為正三角板的對(duì)稱面，三角板重心在轉(zhuǎn)軸上，故Xc=Yc=0，IY′Z′=IYZ=0。假設(shè)剛體勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，Z軸上無主動(dòng)力作用。則由式(1)可得：

(2)

將IX′X′、IZ′Z′、IX′Z′代入式(3)后可得出：

(4)

將式(4)代入式(2)可解出：

(5)

式中，F(xiàn)附加是由于安裝不善而導(dǎo)致的軸上附加壓力。

3　正方板定軸轉(zhuǎn)動(dòng)軸上附加壓力的計(jì)算

圖3　正方形轉(zhuǎn)子定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

假如正方板的法線與轉(zhuǎn)軸成交角α(α很小)，正方板的質(zhì)量為m，邊長(zhǎng)為d，同樣建立2個(gè)坐標(biāo)系O-XYZ,O-X′Y′Z′，如圖3所示。

(6)

4　結(jié)語

利用式(5)和式(6)可以算出任意質(zhì)量的正三角板和正方板在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的軸上附加壓力。如正三角板質(zhì)量為15kg,邊長(zhǎng)為0.2m,a=b=0.5m,α=1°，轉(zhuǎn)速為12000r/min，則軸上附加壓力的大小為F附加=16840N，而由于重力添加到軸上的作用力為150N。如正方板質(zhì)量為15kg,邊長(zhǎng)為0.2m, a=b=0.5m,α=1°，則軸上附加壓力的大小為F附加=1340N，而由于重力添加到軸上的靜力作用力為150N。

由上面計(jì)算可以看出，只要給定了正三角板和正方板的質(zhì)量，邊長(zhǎng)以及偏轉(zhuǎn)角，就可以很方便的計(jì)算出軸上的附加壓力，而且附加壓力相對(duì)于靜力作用力大很多，對(duì)軸承的危害是很大的。而且通過比較可以看出，同等質(zhì)量的三角板比正方板產(chǎn)生的軸上附加壓力要大很多，因此三角形轉(zhuǎn)子的安裝比正方板型轉(zhuǎn)子的安裝要求更高。

[1]楊春艷，吉恒，李開毅.三種分析定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體軸上附加壓力的教學(xué)方法對(duì)比研究[J].玉溪師范學(xué)院理學(xué)院學(xué)報(bào)，2015，31(4)：29～31.

[2]周衍柏.理論力學(xué)教程[M].第3版.北京：高等教育出版社，2014：129～137.

[3]韓眾.幾種形狀規(guī)則剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算[J].山西大同大學(xué)學(xué)報(bào)，2014，30(4)：25～26.

[4]周瑞雪.對(duì)幾種剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的研究[J].貴陽學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2011，6(3)：10～13.

[5]宋洪訓(xùn).淺談定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)量矩[J].大學(xué)物理，2009，18(6)：15～17.

[編輯]洪云飛

2016-04-19

湖北省教育廳科學(xué)研究計(jì)劃項(xiàng)目(B2014084)。

蔣再富(1981-)，男，碩士，講師，現(xiàn)主要從事理論物理方面的教學(xué)與研究工作；E-mail:jiangzaifu23003@163.com。

O313.3

A

1673-1409(2016)19-0069-03

[引著格式]蔣再富，張定梅.轉(zhuǎn)子定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)軸上附加壓力計(jì)算的研究[J].長(zhǎng)江大學(xué)學(xué)報(bào)(自科版)，2016,13(19)：69～71.