黃金平,張正炳

(長(zhǎng)江大學(xué)電子信息學(xué)院，湖北 荊州 434023)

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卷積定理與傅里葉變換性質(zhì)及其應(yīng)用的關(guān)系探討

黃金平,張正炳

(長(zhǎng)江大學(xué)電子信息學(xué)院，湖北 荊州 434023)

為解決學(xué)生學(xué)習(xí)傅里葉變換這部分內(nèi)容感覺(jué)困難的問(wèn)題，深入研究了傅里葉變換性質(zhì)之間的內(nèi)在聯(lián)系。傅里葉變換的時(shí)移性質(zhì)、時(shí)域微分性質(zhì)、時(shí)域積分性質(zhì)、頻移性質(zhì)、頻域微分性質(zhì)等許多性質(zhì)只是時(shí)域卷積定理和頻域卷積定理的特例，而傅里葉變換的獨(dú)立性質(zhì)只有線性性質(zhì)、尺度性質(zhì)、對(duì)偶性質(zhì)和卷積定理。這一發(fā)現(xiàn)對(duì)傅里葉變換一章的教學(xué)具有重要參考價(jià)值，結(jié)合傅里葉變換性質(zhì)內(nèi)在聯(lián)系的新教學(xué)方案將使得學(xué)生學(xué)習(xí)傅里葉變換的內(nèi)容不僅易于理解，而且條理清晰，便于記憶，從而解決“傅里葉變換難”的問(wèn)題。

卷積定理；傅里葉變換；性質(zhì)；應(yīng)用

在教學(xué)與教研活動(dòng)中，筆者發(fā)現(xiàn)傅里葉變換的性質(zhì)并非如現(xiàn)存各版本的《信號(hào)與系統(tǒng)》[1,2]教材上所編寫(xiě)的看似彼此孤立，而是有著嚴(yán)密數(shù)學(xué)聯(lián)系的統(tǒng)一、有機(jī)整體。在傅里葉變換的眾多性質(zhì)中，卷積定理有著特別的作用：透過(guò)卷積定理不僅能揭示這些性質(zhì)之間的相互關(guān)系，而且可以推導(dǎo)出傅里葉變換在電子技術(shù)中的諸多重要應(yīng)用。為此，筆者試著從卷積定理出發(fā)，探討卷積定理與傅里葉變換性質(zhì)以及傅里葉變換的幾個(gè)典型應(yīng)用之間的關(guān)系。

1　卷積定理

卷積定理包括時(shí)域卷積定理和頻域卷積定理。

定理1(時(shí)域卷積定理)若f1(t)?F1(jω)，f2(t)?F1(jω)，則f1(t)與f2(t)的卷積f1(t)*f2(t)的傅里葉變換為F1(jω)F2(jω)。

關(guān)于這2個(gè)定理，可以利用卷積的定義和傅里葉變換的定義[3]很容易得到證明。

2　時(shí)域卷積定理與傅里葉變換性質(zhì)及應(yīng)用的關(guān)系

2.1時(shí)域卷積定理與時(shí)移性質(zhì)

在時(shí)域中，設(shè)f1(t)=f(t)，f2(t)=δ(t-t0)，由于f1(t)*f2(t)=f(t)*δ(t-t0)=f(t-t0)，即時(shí)移。

在頻域中，設(shè)f1(t)=f(t)?F(jω)，由于f2(t)=δ(t-t0) ?ejωt0，據(jù)時(shí)域卷積定理得：

f(t-t0)?F1(jω)F2(jω)=F(jω)ejωt0

(1)

式(1)就是傅里葉變換的時(shí)移性質(zhì)。

2.2時(shí)域卷積定理與微分性質(zhì)

在時(shí)域中，設(shè)f1(t)=f(t)，f2(t)=δ′(t)，由于f1(t)*f2(t)=f(t)*δ′(t)=f′(t)，即時(shí)域微分。

在頻域中，設(shè)f1(t)=f(t)?F(jω)，由于f2(t)=δ′(t)?(jω)，據(jù)時(shí)域卷積定理得：

f′(t)?F1(jω)F2(jω)=jωF(jω)

(2)

式(2)就是傅里葉變換的時(shí)域微分性質(zhì)。

2.3時(shí)域卷積定理與積分性質(zhì)

(3)

式(3)就是傅里葉變換的時(shí)域積分性質(zhì)。

2.4時(shí)域卷積定理與系統(tǒng)函數(shù)

在時(shí)域中，設(shè)f1(t)=δ(t)，f2(t)=h(t)，由于f1(t)*f2(t)=δ(t)*h(t)=h(t)，即系統(tǒng)沖激響應(yīng)。

在頻域中，由于f1(t)=δ(t)?1，由于f2(t)=h(t)?H(jω)，據(jù)時(shí)域卷積定理得：

h(t)?F1(jω)F2(jω)=H(jω)

(4)

式(4)就是系統(tǒng)函數(shù)[4]。

2.5時(shí)域卷積定理與系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)

在時(shí)域中，設(shè)f1(t)=f(t)，f2(t)=h(t)，由于f1(t)*f2(t)=f(t)*h(t)=yzs(t)，即系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)。

在頻域中，設(shè)f1(t)=f(t)?F(jω)，f2(t)=h(t)?H(jω)，據(jù)時(shí)域卷積定理得：

yzs(t)=h(t)*f(t)?F1(jω)F2(jω)=H(jω)F(jω)

(5)

式(5)就是零狀態(tài)響應(yīng)的頻域分析法[5]。

2.6時(shí)域卷積定理與系統(tǒng)的無(wú)失真?zhèn)鬏敆l件

在時(shí)域中，設(shè)f1(t)=f(t)，f2(t)=Kδ(t-t0)，由于f1(t)*f2(t)=f(t)*Kδ(t-t0)=Kf(t-t0)，即系統(tǒng)無(wú)失真?zhèn)鬏敗?/p>

在頻域中，設(shè)f1(t)=f(t)?f(jω)，f2(t)=Kδ(t-t0)?Kejωt0，據(jù)時(shí)域卷積定理得：

Kf(t-t0)=Kδ(t-t0)*f(t)?F1(jω)F2(jω)=KF(jω)ejωt0

(6)

式(6)就是系統(tǒng)的無(wú)失真?zhèn)鬏敆l件。

2.7時(shí)域卷積定理與正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)

在時(shí)域中，設(shè)f1(t)=ejω0t，f2(t)=h(t)，由于f1(t)*f2(t)=ejω0t*h(t)=H(jω)ejω0t，即系統(tǒng)正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。

在頻域中，設(shè)f1(t)=ejω0t?2πδ(ω-ω0)，f2(t)=h(t)?H(jω)，據(jù)時(shí)域卷積定理得：

yss(t)=h(t)*f(t)=H(jω)ejω0t?F1(jω)F2(jω)=2πδ(ω-ω0)H(jω)

=2πH(jω0)δ(ω-ω0)

(7)

式(7)就是系統(tǒng)正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的頻域分析法[5]。

由以上分析可見(jiàn)，根據(jù)傅里葉變換的時(shí)域卷積定理可推導(dǎo)出如式(1)～(7)所示的傅里葉變換的時(shí)移性質(zhì)、微分性質(zhì)、積分性質(zhì)，并能得出系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)沖激響應(yīng)的關(guān)系、系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的求法、解釋系統(tǒng)無(wú)失真?zhèn)鬏敆l件、系統(tǒng)正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的求法等。這些性質(zhì)實(shí)際上只是時(shí)域卷積定理的特例，總結(jié)歸納于表1中。

3　頻域卷積定理與傅里葉變換性質(zhì)及應(yīng)用的關(guān)系

3.1頻域卷積定理與頻移性質(zhì)

在時(shí)域中，設(shè)f1(t)=f(t)，f2(t)=e±jω0t，則f1(t)f2(t)=f(t)e±jω0t。

在頻域中，設(shè)f1(t)=f(t)?F(jω)，由于f2(t)=e±jω0t?2πδ(ω?ω0) ，據(jù)頻域卷積定理得：

(8)

式(8)就是傅里葉變換的頻移性質(zhì)。

表1　時(shí)域卷積定理與傅里葉變換其他性質(zhì)關(guān)系和幾個(gè)典型應(yīng)用

3.2頻域卷積定理與頻域微分性質(zhì)

在時(shí)域中，設(shè)f1(t)=f(t)，f2(t)=-jt，則f1(t)f2(t)=-jtf(t)。

在頻域中，設(shè)f1(t)=f(t)?F(jω)，由于f2(t)=-jt?2πδ′(ω)，據(jù)頻域卷積定理得：

(9)

式(9)就是傅里葉變換的頻域微分性質(zhì)。

3.3頻域卷積定理與調(diào)制

在時(shí)域中，設(shè)f1(t)=f(t)，f2(t)=cosω0t，則f1(t)f2(t)=f(t)cosω0t，即振幅調(diào)制。

在頻域中，設(shè)f1(t)=f(t)?F(jω)，由于f2(t)=cosω0t?π[δ(ω-ω0)+δ(ω+ω0)]，據(jù)頻域卷積定理得：

(10)

式(10)就是振幅調(diào)制定理[3]。

由以上分析可見(jiàn)，據(jù)傅里葉變換的頻域卷積定理可推導(dǎo)出如式(8)～(10)所示的傅里葉變換的頻移性質(zhì)、頻域微分性質(zhì)，并能得出指導(dǎo)通信實(shí)踐的振幅調(diào)制定理。這些性質(zhì)歸納于表2。

4　結(jié)語(yǔ)

在多年的教學(xué)實(shí)踐和長(zhǎng)江大學(xué)省級(jí)精品資源共享課程《信號(hào)與系統(tǒng)分析》的建設(shè)實(shí)踐中，為解決學(xué)生對(duì)傅里葉變換這一章內(nèi)容學(xué)習(xí)困難的問(wèn)題，筆者所在教學(xué)團(tuán)隊(duì)積極開(kāi)展研究和探索，結(jié)合傅里葉變換性質(zhì)之間的內(nèi)在聯(lián)系，摸索出了一套的新的講授方案，具體講授次序依次為：先提出傅里葉變換的定義，

[1]奧本海姆 (美).信號(hào)與系統(tǒng)[M].第3版.劉樹(shù)棠譯.北京：電子工業(yè)出版社，2013.

[2] 鄭君里.信號(hào)與系統(tǒng)[M].第3版.北京：高等教育出版社，2014.

[3] 金波,張正炳.信號(hào)與系統(tǒng)分析[M].北京：高等教育出版社，2011.

[4] 管致中,夏恭恪,孟橋.信號(hào)與線性系統(tǒng)[M].第5版.北京：高等教育出版社，2014.

[5] 張小虹.信號(hào)與系統(tǒng)[M].第2版.陜西：西安電子電子科技大學(xué)出版社，2012.

[6] 沈元隆,周井泉.信號(hào)與系統(tǒng)[M].北京：人民郵電出版社，2007.

[編輯]洪云飛

2016-04-23

湖北高校省級(jí)精品資源共享課程。

黃金平(1965-),男,副教授,現(xiàn)主要從事電子與信息方面的教學(xué)與研究工作；E-mail:1103934907@qq.com。

O441

A

1673-1409(2016)19-0029-03

[引著格式]黃金平,張正炳.卷積定理與傅里葉變換性質(zhì)及其應(yīng)用的關(guān)系探討[J].長(zhǎng)江大學(xué)學(xué)報(bào)(自科版)，2016,13(19)：29～31，41.