◇ 山東 彭慶柳張兆生

用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

◇ 山東 彭慶柳1張兆生2

用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間或判斷函數(shù)的單調(diào)性問題是本章的重點.解題時應(yīng)注意如下幾方面:

1)在利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時,首先要確定函數(shù)的定義域;

2)不能隨意將函數(shù)的2個獨立的單調(diào)遞增(或遞減)區(qū)間寫成并集形式;

3)利用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)的單調(diào)性問題時,一般將其轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題,解題過程中要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

下面就具體題型進(jìn)行剖析,希望對大家有所幫助.

1 利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小

例1 定義域為R的函數(shù)f(x)對任意x都有f(2＋x)＝f(2－x),其導(dǎo)函數(shù)f′(x)滿足則當(dāng)2＜a＜4,有( ).

A f(2a)＜f(log2a)＜f(2);

B f(log2a)＜f(2)＜f(2a);

C f(2a)＜f(2)＜f(log2a);

D f(log2a)＜f(2a)＜f(2)

先根據(jù)條件求出函數(shù)的對稱軸,再求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,然后判定2、log2a、2a的大小關(guān)系,根據(jù)單調(diào)性比較f(2)、f(log2a)、f(2a)的大小即可.因為函數(shù)f(x)對任意x都有f(2＋x)＝f(2－x),所以函數(shù)f(x)的對稱軸為x＝2.因為導(dǎo)函數(shù)f′(x)滿足所以函數(shù)f(x)在(2,＋∞)上單調(diào)遞減,(－∞,2)上單調(diào)遞增.因為2＜a＜4,所以1＜log2a＜2＜4＜2a.又函數(shù)f(x)的對稱軸為x＝2,所以f(2)＞f(log2a)＞f(2a),故選A.

本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的運算,以及奇、偶函數(shù)圖象的對稱性和比較大小.根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是解決此題的關(guān)鍵.最后利用函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值的大小,屬于基礎(chǔ)題.

2 借助導(dǎo)數(shù)研究不等式問題

由題意,要使對?x1∈(0,2],?x2∈[1,2],使得f(x1)≥g(x2)成立,只需fmin(x1)≥gmin(x2),且x1∈(0,2],x2∈[1,2],然后利用導(dǎo)數(shù)研究2個函數(shù)的最值即可.

易知當(dāng)x∈(0,1)時,f′(x)＜0,當(dāng)x∈(1,2)時, f′(x)＞0,所以f(x)在(0,1)上遞減,在[1,2]上遞增,故fmin(x)＝f(1)＝1/2.

對于二次函數(shù)g(x)＝－x2－2ax＋4,該函數(shù)開口向下,在區(qū)間[1,2]上的最小值在端點處取得,所以要使對?x1∈(0,2],?x2∈[1,2],使得f(x1)≥g(x2)成立,只需fmin(x1)≥gmin(x2),即g(1)≤1/2或g(2)≤1/2,所以－1－2a＋4≤1/2或－4－4a＋4≤1/2,解得a≥－1/8,故選A.

本題考查了不等式恒成立以及有解問題的綜合思路,概念性很強(qiáng),注意理解.

3 已知單調(diào)性求參數(shù)范圍

例3 已知函數(shù)f(x)＝x3－12x在區(qū)間(2m, m＋1)上單調(diào)遞減,則實數(shù)m的取值范圍是( ).

A －1≤m≤1; B －1＜m≤1;

C －1＜m＜1; D －1≤m＜1

由函數(shù)f(x)＝x3－12x在(2m,m＋1)內(nèi)單調(diào)遞減轉(zhuǎn)化成f′(x)≤0在(2m,m＋1)內(nèi)恒成立,得到關(guān)于m的關(guān)系式,即可求出m的范圍.

因為f(x)＝x3－12x在(2m,m＋1)上單調(diào)遞減,所以f′(x)＝3x2－12≤0在(2m,m＋1)上恒成立.所以即解得－1≤m＜1,故選項為D.

此題主要考查利用導(dǎo)函數(shù)的正、負(fù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性,屬于基礎(chǔ)題.

4 利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的圖象

例4 函數(shù)y＝xf′(x)的圖象如圖1所示,則函數(shù)y＝f(x)的圖象可能為( ).

圖1

由函數(shù)y＝xf′(x)的圖象可知:當(dāng)x＞1或x＜－1時,f′(x)＞0,f(x)在區(qū)間(－∞,－1)、(1,＋∞)上單調(diào)遞增.

當(dāng)－1＜x＜1時,f′(x)≤0,且只有x＝0時可能為0,f(x)在區(qū)間(－1,1)上單調(diào)遞減.

根據(jù)以上結(jié)論可知函數(shù)f(x)的圖象可能為C.

本題考查由導(dǎo)函數(shù)的圖象判斷原函數(shù)的單調(diào)性,充分利用圖象提供的信息得出導(dǎo)函數(shù)的正、負(fù)是解題的關(guān)鍵.

5 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

例5 已知函數(shù)f(x)＝(x＋1)lnx－a(x＋1) (a∈R)

(1)若當(dāng)x∈[1,＋∞)時,f′(x)＞0恒成立,求a的取值范圍;

(2)求函數(shù)g(x)＝f′(x)－a/x的單調(diào)區(qū)間.

(1)f′(x)＞0恒成立,即a＜lnx＋1/x＋1 (x≥1)恒成立.令h(x)＝lnx＋1/x＋1,則h′(x)＝所以h(x)在[1,＋∞)上是增函數(shù),所以當(dāng)x∈[1,＋∞)時,h(x)最小值＝h(1)＝2,故a＜2.

當(dāng)a≥1時,g′(x)＞0,g(x)在(0,＋∞)上遞增;

當(dāng)a＜1時,由g′(x)＝0,得x＝1－a,x∈(0,1－a)時,g′(x)＜0,函數(shù)g(x)遞減;x∈(1－a,＋∞)時,g′(x)＞0,函數(shù)g(x)遞增.

熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的步驟、原理是解題的關(guān)鍵.解題中須注意含參數(shù)問題討論.

1.山東省平邑第二中學(xué)2.山東省平邑曾子中學(xué))