◇ 江蘇 甘 泉

幾種情況下彈性球與平板碰撞分析

◇ 江蘇 甘 泉

空心球與平板彈性運(yùn)動(dòng)力學(xué)的問題,一直受到國內(nèi)外科學(xué)家和工程師們的重視,并基于此發(fā)表過許多相關(guān)的論著,時(shí)至今日,由于普遍受到各種客觀因素的影響和限制,再加上考慮到慣性項(xiàng)問題,在研究的過程中,無論是對(duì)于空心球與平板之間的彈性動(dòng)力還是對(duì)于球與球之間的碰撞關(guān)系,其計(jì)算難度無形之中都在增大.因此,有關(guān)這些新型材料的力學(xué)性能及其產(chǎn)生的相關(guān)動(dòng)力學(xué)問題也在進(jìn)一步研究之中,同時(shí)也給人們提出了許多極具挑戰(zhàn)趣味的研究課題.本文就基于徑向應(yīng)變情形的空心球與平板彈性運(yùn)行力學(xué)情景,利用碰撞知識(shí)來深度解決這一物理問題.

將一個(gè)具備高彈性的超級(jí)球扔進(jìn)2塊平板之間,扔擲的時(shí)候盡可能保證該超級(jí)球能夠彈跳起來;在反復(fù)實(shí)驗(yàn)過程中,超級(jí)球運(yùn)動(dòng)軌跡變化多端,甚至有的時(shí)候會(huì)彈回來砸到實(shí)驗(yàn)人員.本文基于這個(gè)實(shí)驗(yàn)裝置,進(jìn)一步分析在此次實(shí)驗(yàn)過程中可能會(huì)對(duì)超級(jí)球的彈跳和運(yùn)動(dòng)軌跡產(chǎn)生影響的相關(guān)參數(shù),探討在徑向應(yīng)變情形下,球與平板之間所發(fā)生的彈性碰撞及其關(guān)系,包括理想情況下的彈性碰撞和非彈性碰撞.

1 超級(jí)球問題的延伸

關(guān)于超級(jí)球彈跳運(yùn)動(dòng)的問題,在這里以小球反跳實(shí)驗(yàn)來推導(dǎo)出它的表達(dá)公式,即彈跳高度公式.在問題探究之前,先介紹一下其中一個(gè)重要物理概念“恢復(fù)系數(shù)”(coefficientofrestitution).

如圖1所示,其中包括一個(gè)大球和一個(gè)小球,假設(shè)圖中大球的質(zhì)量是m0,小球的質(zhì)量為m,將小球置于大球正上方,筆者在該問題所進(jìn)行的實(shí)驗(yàn)中,從高度為h的地方使2球一起進(jìn)行自由落體運(yùn)動(dòng),小球和大球均是以的速度落到地面上.在這一過程中,大球到達(dá)地面時(shí)將會(huì)與地面發(fā)生較為激烈的碰撞,在這里設(shè)大球與地面發(fā)生激烈碰撞時(shí)的恢復(fù)系數(shù)為e1,大球在到達(dá)地面后的向上反彈速度設(shè)為v1,則有v1＝e1v0.由于大球與地面發(fā)生碰撞時(shí)間極短,所以在這里暫且不考慮大球與地面碰撞的時(shí)間.那么,大球在到達(dá)地面開始向上反彈的時(shí)刻,大球上方的小球仍然是以速度v0正在向下(向地面)做自由落體運(yùn)動(dòng),這時(shí)大球以速度v1與速度為v0的小球發(fā)生碰撞.再次假設(shè)大球小球沒碰撞的恢復(fù)系數(shù)為e2.大球與小球在發(fā)生碰撞的過程中滿足動(dòng)量守恒表達(dá)公式

圖1 超級(jí)球反跳實(shí)驗(yàn)

由動(dòng)量守恒公式進(jìn)一步得出e2的表達(dá)式

由式①、②可計(jì)算解出

因此,最后得出小球所能夠上升的高度

2 空心球與墻面碰撞情況

2.1 問題的提出

物體之間的碰撞是現(xiàn)實(shí)生活中一種相當(dāng)復(fù)雜的物理現(xiàn)象,其復(fù)雜性在于物體之間碰撞持續(xù)時(shí)間較短,并且兩物體之間接觸點(diǎn)間存在較大的接觸力等方面.關(guān)于空心球與平板之間的彈性碰撞關(guān)系驗(yàn)證,無論是在彈性運(yùn)動(dòng)力學(xué)的研究中,還是在現(xiàn)實(shí)工程應(yīng)用中,其所提供的參數(shù)信息一般只適用于特殊情況,即最理想化的彈性碰撞狀態(tài).

下面我們以徑向應(yīng)變情形的空心球與平板彈性運(yùn)動(dòng)問題為例進(jìn)行分析.首先我們做一個(gè)簡(jiǎn)單實(shí)驗(yàn).如圖2所示.

圖2 空心球與墻面(非)彈性碰撞

圖2表示的是空心球體與兩相互垂直平板之間接觸的截面圖,a和b分別表示的是墻體和地面,而圓形表示的是一個(gè)質(zhì)量為m、半徑為R的足球,它在地面b上做無滑滾動(dòng),其球心的滾動(dòng)速度為v0,將足球向墻壁與地面組成的垂直角方向滾動(dòng).墻壁a為一面粗糙的墻面,其摩擦因數(shù)設(shè)定為μ,假設(shè)球與墻面之間的碰撞為完全非彈性碰撞,那么問題出現(xiàn)了,發(fā)生碰撞之后的足球究竟會(huì)怎樣運(yùn)動(dòng)下去呢?是否會(huì)向上滾(彈跳起來)?如果跳起其高度會(huì)有多高?這個(gè)問題在不少物理彈性力學(xué)輔導(dǎo)資料中幾乎給出了較為一致性的答案,即球的上升高度為.其答案似乎在告訴我們,該運(yùn)動(dòng)進(jìn)行時(shí),只要摩擦因數(shù)μ不等于0,無論它數(shù)值多大或多小,足球都會(huì)彈跳起來.這個(gè)問題我們可以參考超級(jí)球的處理理念,不過上述這個(gè)答案顯然是不夠準(zhǔn)確的,它將摩擦因數(shù)當(dāng)成對(duì)球體運(yùn)動(dòng)唯一起到影響效果的因素,同時(shí)也不適用于表述現(xiàn)實(shí)生活中的一些基本情形.

上述情形中所描述的彈性運(yùn)動(dòng)中存在摩擦力Ff,因?yàn)樽闱驈拈_始運(yùn)動(dòng)算起,一直到與墻面a碰撞之前,在這一過程中,足球一直不停轉(zhuǎn)動(dòng).當(dāng)足球與墻面a發(fā)生碰撞后,此時(shí)摩擦力Ff的方向?qū)?huì)發(fā)生轉(zhuǎn)變,因?yàn)榇藭r(shí)足球的運(yùn)動(dòng)從水平運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)變?yōu)樨Q直向上運(yùn)動(dòng)(理想情況下是這樣的),此時(shí)的球面受到墻面一個(gè)向上的力.因此,要想確保該足球能夠繼續(xù)向上滾動(dòng),就必須滿足以下條件,即

后者表示的是足球與墻面間的平均作用力,而T則表示的是它們之間的碰撞時(shí)間,因而在0＜μ＜1的情況下,存在.在彈性運(yùn)動(dòng)力學(xué)的研究中,很多情況下由于缺乏相應(yīng)的實(shí)踐活動(dòng)作為理論基礎(chǔ),所以經(jīng)常會(huì)看到,許多物理力學(xué)問題被過多演變成為數(shù)學(xué)問題,就如同上述提到的這一問題,只要滿足mg,μ不等于0,無論μ的數(shù)值多小,足球都會(huì)跳起來.但從純物理的角度來看,如果摩擦因數(shù)μ值太小的話,質(zhì)量為m的足球是不足以被彈起的,因此在探討和研究空心球與平板彈性運(yùn)動(dòng)時(shí),關(guān)于摩擦因數(shù)的大小的談?wù)撌欠浅Ｓ斜匾?總之,足球(碰撞彈起)上升高度是一個(gè)不合理的答案,該公式只有在一種情況下才可能適用,即墻壁a對(duì)足球的摩擦力遠(yuǎn)大于足球重力的情況下.

2.2 定性分析

如圖2所示,足球在以初速度v0和初始角速度ω0與墻壁a發(fā)生碰撞,該碰撞為非彈性碰撞.足球與墻壁在碰撞過程中,由于受到墻壁a的彈力,以及自身所擁有的初始角速度等外在力的影響,導(dǎo)致了墻壁對(duì)足球有了一個(gè)向上的摩擦力Ff,一旦摩擦力Ff大于足球的重力時(shí),該足球在第一時(shí)間并不會(huì)向反方向彈回去,而是在結(jié)束碰撞運(yùn)動(dòng)之后的瞬間,其內(nèi)外力將會(huì)發(fā)生質(zhì)的轉(zhuǎn)變:水平方向從原來的水平速度v0減至為0,與此同時(shí),相應(yīng)產(chǎn)生一個(gè)豎直向上的速度vc.實(shí)驗(yàn)人員在將足球滾向墻體的過程中,足球始終都是在水平方向運(yùn)動(dòng)的,而足球的水平動(dòng)能在碰撞發(fā)生之后就完全損失消耗掉了,其中的部分動(dòng)能是由摩擦耗散掉的,而另一部分則迅速轉(zhuǎn)化為質(zhì)心向上的平動(dòng)能.當(dāng)足球(彈起)上升到最高點(diǎn)時(shí),向上的質(zhì)心平動(dòng)能在此刻將會(huì)全部轉(zhuǎn)變?yōu)橹亓?shì)能.在這個(gè)過程中,涉及摩擦力、支持力,同時(shí)還有來自于墻壁對(duì)足球的碰撞力但由于在實(shí)驗(yàn)過程中,碰撞力遠(yuǎn)大于其他外力(包括摩擦力、支持力等),所以在運(yùn)用動(dòng)量定理的時(shí)候,我們可以忽略其他外力.最終依據(jù)動(dòng)量定理,可以得出足球在水平方向上滿足依據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理,可以得出足球在受到重力mg和墻壁a對(duì)它產(chǎn)生摩擦力時(shí)的動(dòng)力學(xué)方程

3 球與豎直平行平板之間的碰撞

3.1 理想情況下彈性球與豎直平行平板間的彈性碰撞

設(shè)置實(shí)驗(yàn)裝置,如圖3所示,將一個(gè)高彈性球以拋物線的運(yùn)動(dòng)軌跡扔向2個(gè)平行平板組成的空間內(nèi)(平板M和平板N).首先我們假設(shè)N平板不存在,如圖4所示.

圖3

圖4

設(shè)當(dāng)某人將這個(gè)高彈性小球面向平板M以初速度v0水平拋出去的時(shí)候,拋出點(diǎn)與地面的距離為h,同時(shí)拋出點(diǎn)到平板M的水平距離為s,球與平板M碰撞后反彈落地點(diǎn)到平板M的距離為2s.在理想情況下,由于球與平板M碰撞的時(shí)間極短,其在碰撞發(fā)生時(shí)球的動(dòng)能沒有發(fā)生改變,而是在反彈后會(huì)朝著相反的方向做水平下拋運(yùn)動(dòng),由此可計(jì)算出球的初速度

球與平板M碰撞后,動(dòng)能沒有損失,此時(shí)球水平分速度反向、豎直分速度大小和方向都沒有發(fā)生變化,因此,基本可以看作是該球從拋出點(diǎn)到落地點(diǎn)沿著豎直方向進(jìn)行的自由落體運(yùn)動(dòng),因而計(jì)算出

再來分析圖3,當(dāng)球在兩平行平面內(nèi)進(jìn)行連續(xù)的反彈碰撞運(yùn)動(dòng)時(shí),此時(shí)球的動(dòng)能會(huì)隨著第2次、第3次……第n次碰撞出現(xiàn)變化,但總量是保持不變的(理想情況下).與此同時(shí),球在空間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡本身就是一個(gè)變相的平拋運(yùn)動(dòng)(如圖5所示),當(dāng)小球與地面發(fā)生碰撞的時(shí)候,同樣該球也沒有能量損失.

圖5

在整個(gè)彈性碰撞運(yùn)動(dòng)的全過程中,球水平速度v0不變,已知球運(yùn)動(dòng)時(shí)間從而得

在不考慮空氣阻力的理想情況下(空氣阻力極小,所以無論考慮還是不考慮空氣阻力等相關(guān)影響因素,高彈性球在正常情況下基本可以回到原先的高度位置),小球要想回到之前所處的高度,就必須補(bǔ)償整個(gè)碰撞運(yùn)動(dòng)過程中損失的機(jī)械能.所以,本次暫且忽略掉球在與地面發(fā)生反彈碰撞之后上升回原來的高度過程中所需要克服的空氣阻力,只需要考慮球回到原先高度所需要克服的重力做的功.

3.2 理想情況下彈性球與豎直平行平板間的非彈性碰撞

圖6

關(guān)于這一情況,我們可以聯(lián)想一些實(shí)例,如乒乓球運(yùn)動(dòng).如圖6所表示的是球與平板M的彈性碰撞運(yùn)動(dòng),關(guān)于非彈性碰撞,假設(shè)圖中的球是一個(gè)“乒乓球”, M是球拍.當(dāng)然,在碰撞的過程中,球拍也是運(yùn)動(dòng)著的,如圖7所示.

圖7

圖7表現(xiàn)的是球與拍面之間的碰撞模型.2個(gè)物體在同時(shí)運(yùn)動(dòng)的過程中,其機(jī)械能必然會(huì)出現(xiàn)不同程度的損失,并且2個(gè)物體在發(fā)生碰撞之后,彼此之間又迅速分離,這種碰撞運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象就是非彈性碰撞運(yùn)動(dòng).

如圖8,球和平板之間的碰撞運(yùn)動(dòng)是非完全彈性碰撞關(guān)系,當(dāng)球與平板接觸時(shí),球的機(jī)械能發(fā)生損失,而平板M實(shí)際上阻擋了球的運(yùn)動(dòng)軌跡.球在與平板M碰撞之后,又迅速分離,彈性球的機(jī)械能減小,顯然彈性球與平板碰撞后分開的速度與碰撞之前速度成正比關(guān)系,根據(jù)前面討論的關(guān)系模型可得出其中恢復(fù)系數(shù)e在0～1之間.

圖8

4 球與水平平行板之間的碰撞

4.1 理想情況下彈性球與水平平行平板間的彈性碰撞

如圖9所示,將彈性球拋向設(shè)定空間內(nèi),球在此空間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖10所示.

圖9

圖10

在第1次碰撞之后,因球質(zhì)量不會(huì)發(fā)生變化,系統(tǒng)內(nèi)只有重力和彈力做功,機(jī)械能守恒.可以理解為球與平板碰撞前的動(dòng)能等于碰撞后的動(dòng)能,所以可以認(rèn)為球在離開平板N之后瞬間的速度應(yīng)該和球與平板N碰撞之前速度一致.也就是說,將球拋下后,實(shí)際上球一直在進(jìn)行一個(gè)上下的往復(fù)運(yùn)動(dòng),能量一直恒定.

4.2 非理想情況下彈性球與水平平行平板間的非彈性碰撞

假設(shè)該彈性球是一個(gè)小型的高彈性皮球,如圖11所示.

圖11

那么,球在與平板N發(fā)生碰撞的那一刻,肯定會(huì)產(chǎn)生一定量的能量損失,在碰撞之后,球的一部分動(dòng)能會(huì)轉(zhuǎn)化為熱力學(xué)能,也就是說,無論是垂直下拋、還是如圖11所示的斜拋,球在與平板N碰撞反彈之后,一般回不到原先下落時(shí)的高度位置.也就是說,皮球在上下彈跳數(shù)次之后,能量會(huì)逐漸消退,最終變成緩慢地在平面上滾動(dòng),直至停止.

彈性球與平板碰撞現(xiàn)象是生活中常見的物理現(xiàn)象,由于碰撞時(shí)間極短,影響因素復(fù)雜(球的大小、形狀、質(zhì)量、空氣阻力、接觸面情況等),所以在具體研究過程中通常會(huì)做理想化處理,這也是物理研究的一種基本方法.另外,碰撞問題通常會(huì)涉及能量與動(dòng)量關(guān)系,這也是我們解決此類問題的切入點(diǎn).

(作者單位:中國人民解放軍理工大學(xué)軍事氣象專業(yè)(理學(xué)院六營))