孟　坤，李　麗

(安徽財經(jīng)大學統(tǒng)計與應用數(shù)學學院，安徽 蚌埠 233030)

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基于ARMA模型預測股票價格的實證分析

孟坤，李麗

(安徽財經(jīng)大學統(tǒng)計與應用數(shù)學學院，安徽 蚌埠 233030)

目的基于ARMA模型的基本理論，建立合理的ARMA模型，以上證綜合指數(shù)為例對股票價格進行擬合預測和實證分析。方法首先，利用Eviews軟件對原始數(shù)據(jù)序列進行單位根檢驗，判斷原始數(shù)據(jù)序列是否具有平穩(wěn)性；若非平穩(wěn)，則需對原始序列作一階差分處理，再次檢驗差分后序列的平穩(wěn)性；其次，用自相關圖與偏自相關圖識別序列的模型形式對已識別的ARIMA(2,1,2)模型進行參數(shù)估計，包括估計模型的系數(shù)及判別模型的階數(shù)；最后，運用所建立的模型對上證綜合指數(shù)日收盤價進行高精度擬合預測。結果結果表明原始數(shù)據(jù)序列是非平穩(wěn)性序列，但一階差分后的序列是平穩(wěn)的；模型的殘差檢驗顯示ARIMA(2,1,2)模型是有效的，預測下一個工作日上證綜合指數(shù)每日收盤價的價格是3 642.47，與實際值相差較小，說明所建立的ARMA模型具有一定的準確性。結論ARMA模型比較適合于進行短期預測，同時結合Eviews軟件可以使得計算過程變得簡便、準確。研究上證綜合指數(shù)日收盤價的短期變動情況對預測股價未來趨勢和制定投資策略具有現(xiàn)實意義，能夠為投資者和決策者提供可靠的信息服務及決策指導。

時間序列；ARMA模型；股票價格預測；Eviews

生活中有很多問題都可以看成是時間序列問題，例如銀行利率波動、股票收益率變化以及國際匯率變動等問題。所謂的時間序列問題，是指某一統(tǒng)計對象長時間內(nèi)的數(shù)值變化情況。在實際應用中，經(jīng)常會遇到許多不滿足平穩(wěn)性的時間序列數(shù)據(jù)，尤其是在經(jīng)濟、金融等領域。因此，能否有效地挖掘非平穩(wěn)時間序列的有用信息，對于解決一些經(jīng)濟、金融領域的問題顯得尤為重要。目前關于預測股票價格的研究文章有很多，這些已有研究大都采用回歸分析、組合預測等方法對股票價格未來變動值進行探討，得出股票價格在未來短期內(nèi)的變化趨勢及預測值，但預測結果并不非常精準，存在較大的誤差。ARMA模型不僅可用于擬合平穩(wěn)性時間序列問題，而且對非平穩(wěn)時間序列問題同樣具有良好的擬合效果，尤其是在金融和股票領域應用最為廣泛。

本文主要針對2015-01-05至2015-12-18(共計234個工作日)期間上證綜合指數(shù)每日收盤價的預測問題，建立上證綜合指數(shù)每日收盤價預測模型，采用ARMA模型對上證綜合指數(shù)每日收盤價進行高精度的擬合預測。研究結果表明，上證綜合指數(shù)每日收盤價在短期內(nèi)將保持平穩(wěn)上漲，不會有大幅漲跌的情況。研究上證綜合指數(shù)每日收盤價的短期變動情況了解股票市場變化及制定投資決策具有現(xiàn)實意義，能夠為投資者和決策者提供可靠的信息服務及決策指導。

1　ARMA模型的理論介紹及平穩(wěn)性檢驗

1.1ARMA模型的理論介紹

1)AR模型是指利用以前的觀察值和當前的干擾值并通過一定的線性組合來進行預測與分析。AR模型的數(shù)學公式為:

式中：yt為一個平穩(wěn)時間序列，φi(i=1,2,…,p)表示AR模型的待定系數(shù)，p表示AR模型的階數(shù)，εt為誤差。

2)MA模型是利用以前的干擾值和當前的干擾值并通過一定的線性組合來進行預測。MA模型的數(shù)學公式為:

式中：yt為平穩(wěn)時間序列，θj(j=1,2,…,q)表示MA模型的待定系數(shù)，q表示MA模型的階數(shù)，εt為誤差。

3)ARMA模型：是由AR模型和MA模型組合而成，主要用于描述平穩(wěn)隨機過程，數(shù)學公式為:

1.2ARMA模型的定階方法

一般而言，可以根據(jù)序列的自相關系數(shù)與偏自相關系數(shù)選擇合適的模型。(1)：若自相關系數(shù)為拖尾，偏自相關系數(shù)為p階截尾，則選擇AR(p)模型；(2)：若自相關系數(shù)為q階截尾，偏自相關系數(shù)為拖尾，則選擇MA(q)模型；(3)：若自相關系數(shù)和偏自相關系數(shù)都為拖尾，則選擇ARMA(p,q)模型[1]。如果難以確定ARMA模型的階數(shù)，還可以通過AIC準則來確定。

1.3ARMA模型的平穩(wěn)性檢驗——ADF檢驗

ADF檢驗的基本思想：首先對

作回歸，構造ADF檢驗統(tǒng)計量[2]：

計算出ADF檢驗統(tǒng)計量后，查ADF臨界表，看是否可以拒絕原假設δ=0。若ADF的絕對值超過ADF臨界值的絕對值，則不接受原假設δ=0；反之，則選擇接受原假設δ=0，說明該序列非平穩(wěn)。

2　上證綜合指數(shù)每日收盤價的實證分析與預測

在網(wǎng)易財經(jīng)網(wǎng)(http://quotes.money.163.com/trade/lsjysj_zhishu_000001.html)查找上證綜合指數(shù)每日收盤價的歷史數(shù)據(jù)，時間區(qū)間是2015-01-05至2015-12-18，共有234個工作日。主要是基于ARMA模型的建模理論，建立上證綜合指數(shù)每日收盤價預測模型，研究上證綜合指數(shù)每日收盤價的短期變動情況。

2.1原始數(shù)據(jù)的平穩(wěn)化處理

圖1　上證綜合指數(shù)每日收盤價歷史數(shù)據(jù)　　　　　　　　　　圖2　一階差分后的序列圖

圖3　原始數(shù)據(jù)序列的ADF檢驗結果

從圖1可以看出，上證綜合指數(shù)每日收盤價在2015-01-05至2015-12-18期間內(nèi)是非平穩(wěn)的時間序列，但對原始數(shù)據(jù)進行一階差分后的序列卻可能是平穩(wěn)的(圖2)。

首先對原始數(shù)據(jù)序列進行ADF檢驗，檢驗結果如圖3。由圖3可知，在顯著性水平為0.01條件下存在單位根，故接受原假設，即原始數(shù)據(jù)序列是非平穩(wěn)的。

圖4　一階差分序列的ADF檢驗結果

此外，還需要利用ADF檢驗來檢驗原始數(shù)據(jù)一階差分序列的平穩(wěn)性，若ADF檢驗結果未通過，則該一階差分序列是非平穩(wěn)的。ADF檢驗結果如圖4所示，ADF檢驗統(tǒng)計量為-13.469 04，其絕對值超過1%的顯著水平下臨界值-3.998 997的絕對值，因此不接受原假設，一階差分后的序列是平穩(wěn)的[3]。

2.2利用自相關圖與偏自相關圖識別序列的模型形式

從圖5可以看出：股票收盤價的相關系數(shù)減弱較慢，說明上證股票收盤價的歷史數(shù)據(jù)序列是非平穩(wěn)的。由圖6可知，一階差分后序列的自相關圖與偏自相關圖的拖尾性十分顯著，所以應該利用ARMA模型的建模理論建立模型，最后模型中的p,q值則需要利用P值和AIC準則加以確定。

圖5　收盤價的自相關與偏自相關圖　　　　圖6　一階差分后序列的自相關與偏自相關圖

由圖6可知：由于自相關系數(shù)和偏自相關系數(shù)均是2階拖尾，因此選取如下4種ARMA模型進行比較，這4種模型分別是ARIMA(1,1,1)、ARIMA(1,1,2)、ARIMA(2,1,1)及ARIMA(2,1,2)(圖7)

ARIMA(1,1,1)　　　　　　　　　　　　　　　ARIMA(1,1,2)

ARIMA(2,1,1)　　　　　　　　　　　　　　　ARIMA(2,1,2)

根據(jù)上面4個模型的檢驗結果并結合AIC準則和P值這兩項檢驗結果可得：在ARIMA(2,1,2)模型中，由于AR(2)和MA(2)的系數(shù)比較顯著且它們所對應的P值都為0，而且該模型的AID值比較小，因此可用ARIMA(2,1,2)模型對原始數(shù)據(jù)序列進行建模及預測分析[4]。

2.3上證綜合指數(shù)收盤價序列模型的建立與參數(shù)估計

通過前面對模型的識別與選擇，認為建立ARIMA(2,1,2)模型是最佳的選擇。如圖7中的ARIMA(2,1,2)所示，是ARIMA(2,1,2)模型的參數(shù)估計結果及模型的檢驗結果，從圖中可以看出在ARIMA(2,1,2)模型的參數(shù)估計中，AR(2)和MA(2)所對應的P值都趨于0，但是常數(shù)項C對應的P值為0.884 0，并不趨于0。因此需要去掉常數(shù)項C，重新對ARIMA(2,1,2)模型進行估計和殘差檢驗[5]，其結果如圖8所示：

圖8　ARIMA(2,1,2)建模結果

由圖8可知：除去常數(shù)C后，重新對模型進行參數(shù)估計和殘差檢驗，結果表明模型的系數(shù)比較顯著，且AIC值變得更小了，說明去掉常數(shù)項C后的ARIMA(2,1,2)模型更加準確。下面是該模型所對應的數(shù)學表達式：

Xt=-0.9201Xt-1+εt+0.8035εt-1

式中εt為殘差序列。

2.4收盤價序列模型的殘差檢驗

如果一個殘差序列是白噪聲，則該殘差序列中的有用信息已被提取完；反之，則說明還存在部分未被提取的有用信息，還需要對模型做進一步的改進；若殘差序列的自相關系數(shù)均在隨機區(qū)間內(nèi)，則該殘差序列是白噪聲。殘差序列[6]的檢驗結果如圖9所示：

圖9　ARIMA(2,1,2)模型殘差相關圖　　　　　　　　　　圖10　ARIMA(2,1,2)模型擬合圖

由圖9可知：由于P值都大于0.05，說明所有Q值都小于0.05的檢驗水平下的卡方分布臨界值，該模型的殘差序列為白噪聲，因此可以確定該模型的擬合效果較好。

2.5收盤價序列模型的預測分析

用已建立的ARMA模型對上證綜合指數(shù)未來幾日的收盤價進行短期預測，預測未來1個工作日上證綜合指數(shù)每日收盤價。

圖11　序列動態(tài)預測圖　　　　　　　　　　　　　　　　　圖12　動態(tài)預測效果圖

如圖11、12所示，由于動態(tài)預測值大致為直線，說明動態(tài)預測效果并不理想[7]。

圖13　靜態(tài)預測圖

下面開始進行靜態(tài)預測，如圖13所示，預測值仍在AFF中[8]，所以本文所建模型的靜態(tài)預測效果比較理想。

經(jīng)過向前1步預測，可以得到未來1個工作日的預測值為63.51，考慮上1個工作日(2015-12-18)的收盤價為3 578.96，可以得出未來1個工作日(2015-12-21)上證綜合指數(shù)日收盤價為3 642.47，而2015-12-21實際的上證綜合指數(shù)日收盤價是3 631.2，預測值與實際值相差較小，說明所建立的ARMA模型具有一定的準確性。

3　結　論

本文基于ARMA模型的建模理論[9-12]，采用ARMA模型對上證綜合指數(shù)日收盤價進行高精度的擬合預測和實證分析，研究上證綜合指數(shù)日收盤價的短期變動情況。

從原始數(shù)據(jù)可以看出,2015-01-05至2015-12-18(共有234個工作日)期間上證綜合指數(shù)日收盤價總體上呈先上升后急劇下降的趨勢。其中上半年上證綜合指數(shù)日收盤價顯著上升，但6月份至12月份卻大幅下降。這主要是由于今年國內(nèi)股市劇烈變動所致，可見國內(nèi)的股票市場仍存在非常大的起伏和波動，尤其是短時間大范圍的股價劇烈變動?；诒疚乃⒌腁RIMA(2,1,2)模型并對上證綜合指數(shù)日收盤價進行擬合預測和分析,結果表明在未來一段時期內(nèi)上證綜合指數(shù)日收盤價仍會在低位有小幅變化，短期內(nèi)上證綜合指數(shù)日收盤價不會有大幅度增長。但從未來長期的整體趨勢來看,上證綜合指數(shù)日收盤價將會保持持續(xù)上漲。這可能的原因有：第一，政府出臺一系列針對股市的宏觀調(diào)控政策；第二，國民經(jīng)濟持續(xù)保持穩(wěn)步增長。上證綜合指數(shù)每日收盤價在短期內(nèi)將保持平穩(wěn)上漲，不會有大幅漲跌的情況，這是由于政府出臺的調(diào)控股市的政策發(fā)揮了一些作用。

總之，ARMA模型對預測非平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)具有很好的效果，同時結合Eviews軟件進行ARMA模型的建立與求解，能夠為投資者和決策者提供可靠的信息服務及決策指導。

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[責任編輯：劉守義英文編輯：劉彥哲]

Empirical Analysis of Stock Price Based on ARMA Model

MENG Kun，LI Li

(School of Statistics and Applied Mathematics,Anhui University of Finance and Economics,Bengbu,Anhui 233030,China)

ObjectiveFor the prediction of Shanghai composite index future short-term closing price,based on the basic theory of ARMA model,a reasonable ARMA model fitting prediction is established and empirically analyzed by taking the Shanghai composite index daily closing price forecasting as an example.MethodsFirst,Eviews software of original data sequence of unit root test was used to judge whether the original data sequence was stationary;If it was not stable,the original sequence as a first-order differential needed further processing,and the stability of the sequence difference was re-inspected.Second,self-correlation diagram and partial self-correlation diagram of the recognition sequence model were used to evaluate the parameters of the identified ARIMA(2,1,2)model,including the estimated coefficients of the model and discriminant model order.Finally,The established model was used to predict the fitting of the Shanghai composite index daily closing price with high precision.ResultsResults showed that the original data series was non-stationary series,but points after the first-order difference sequence was stationary;examination of the residuals of the model showed that ARIMA(2,1,2)model was effective to predict a work.The Shanghai composite index daily closing price was predicted to be 3642.47 and closer to actual value,indicating that the ARMA model was established with a certain degree of accuracy.ConclusionARMA model is more suitable for short-term prediction,and the combination of Eviews software can make the calculation process simple and accurate.Study on the Shanghai composite index daily closing price of short-term changes is of practical significance to forecast the future stock price trends and formulate investment strategy,and it can provide reliable information services and policy guidance for investors and policy-makers.

time series;ARMA model;stock price forecasting;Eviews.

10.3969/j.issn.1673-1492.2016.05.011

國家自然科學基金項目(11301001)；安徽財經(jīng)大學教研項目(acjyzd201429)

孟坤(1994-)，男，安徽阜陽人，安徽財經(jīng)大學在讀學生，研究方向：經(jīng)濟數(shù)學。

李麗(1980-)，女，安徽蚌埠人，講師，碩士，安徽財經(jīng)大學應用數(shù)學系教師，研究方向：應用數(shù)學與數(shù)學建模。

F 290

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來稿日期：2016-03-11