陳相成　閆維明　李洪泉　彭凌云（北京工業(yè)大學(xué) 工程抗震與結(jié)構(gòu)診治北京市重點實驗室，北京 100124）

地震作用下多層剪切型組合結(jié)構(gòu)的合理綜合阻尼比取值探討1

陳相成閆維明李洪泉彭凌云
（北京工業(yè)大學(xué) 工程抗震與結(jié)構(gòu)診治北京市重點實驗室，北京 100124）

陳相成，閆維明，李洪泉，彭凌云，2016.地震作用下多層剪切型組合結(jié)構(gòu)的合理綜合阻尼比取值探討.震災(zāi)防御技術(shù)，11（2）：283—296.doi：10.11899/zzfy20160211

對于組合結(jié)構(gòu)，提出了一種新的基于單元瑞利阻尼模型的應(yīng)變能振型阻尼比，并證明了其在特定整體阻尼矩陣下與強迫解耦法的等價性；推導(dǎo)了具有明確理論依據(jù)的綜合阻尼比計算公式，并基于相應(yīng)的應(yīng)變能振型阻尼比得出了結(jié)構(gòu)的剛度綜合阻尼比和瑞利綜合阻尼比。分別采用復(fù)振型分解法和振型分解法對算例結(jié)構(gòu)進行了地震荷載作用下的彈性時程分析，結(jié)果表明，瑞利綜合阻尼比對于以剪切變形為主的多層組合結(jié)構(gòu)具有良好的計算精度和適用性。

組合結(jié)構(gòu)應(yīng)變能阻尼復(fù)振型分解法瑞利綜合阻尼比

引言

隨著當(dāng)代建筑功能不斷增加、形體日趨復(fù)雜，包含不同材料的組合結(jié)構(gòu)體系正在得到廣泛的應(yīng)用（汪大綏等，2010）。組合結(jié)構(gòu)可以綜合混凝土結(jié)構(gòu)經(jīng)濟性好和鋼結(jié)構(gòu)便于施工的優(yōu)點，非常符合中國國情。很多機場航站樓、體育場館等結(jié)構(gòu)都采用了下部混凝土、上部鋼結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)體系；高層建筑經(jīng)常采用鋼框架混凝土核心筒的組合結(jié)構(gòu)形式；大量的工業(yè)廠房為滿足使用要求被設(shè)計成鋼—砼組合結(jié)構(gòu)體系。除了常規(guī)結(jié)構(gòu)外，一些采用了減隔震系統(tǒng)的建筑結(jié)構(gòu)，也可簡化為相應(yīng)的組合結(jié)構(gòu)模型進行計算（李創(chuàng)第等，2003；杜永鋒等，2012）。對于組合結(jié)構(gòu)體系，現(xiàn)行設(shè)計中通常按照經(jīng)驗取一個近似的綜合阻尼比進行分析，此方法簡便易行，但缺乏足夠的理論依據(jù)，若選取不當(dāng)則會造成不可忽略的計算誤差（楊全勝，2013），從而影響到結(jié)構(gòu)的安全性，故有必要對組合結(jié)構(gòu)的綜合阻尼比取值及相應(yīng)的計算分析方法選取進行深入的研究。

本文首先簡要介紹非比例阻尼結(jié)構(gòu)常用的分析方法，然后基于瑞利阻尼模型，構(gòu)造剪切型組合結(jié)構(gòu)的阻尼矩陣并推導(dǎo)組合結(jié)構(gòu)的振型阻尼比和綜合阻尼比，進而以兩個五層結(jié)構(gòu)作為算例，用復(fù)振型分解法和振型分解法求解算例結(jié)構(gòu)的地震時程響應(yīng)，評價簡化方法的精度。最后，研究組合結(jié)構(gòu)綜合阻尼比隨結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化規(guī)律并給出相應(yīng)的設(shè)計建議。

1　組合結(jié)構(gòu)阻尼問題的常用分析方法

在結(jié)構(gòu)設(shè)計中，目前通常采用振型分解法進行線彈性動力分析。該方法需將待求解的n自由度結(jié)構(gòu)按振型分解為n個單自由度結(jié)構(gòu)求解。對于只包含單一材料的結(jié)構(gòu)，阻尼問題的處理通常有兩種思路：一是不構(gòu)造整體結(jié)構(gòu)的阻尼矩陣，所有振型均采用材料本身的阻尼比求解；二是按照瑞利阻尼假設(shè)，通過結(jié)構(gòu)的質(zhì)量和剛度矩陣來構(gòu)造滿足振型正交條件的阻尼矩陣，再通過振型向量解耦得到阻尼系數(shù)進行求解。對于包含多種材料的組合結(jié)構(gòu)，則無法按照某一種材料的阻尼比確定整體結(jié)構(gòu)的阻尼比，而構(gòu)造得到的整體阻尼矩陣又通常是非比例阻尼矩陣，需采用不同于單一材料結(jié)構(gòu)的處理方法，常用的方法如圖1所示，下面將對這些方法進行簡要介紹。

圖1　組合結(jié)構(gòu)采用的阻尼模型及計算方法Fig.1　The damping model and caculation method of composite structure

（1）近似比例阻尼法

近似比例阻尼法即完全不考慮組合結(jié)構(gòu)阻尼矩陣的非比例特性，對所有振型按照經(jīng)驗采用一個近似的綜合阻尼比，是實際結(jié)構(gòu)設(shè)計中通常采用的方法。我國現(xiàn)行規(guī)范中關(guān)于組合結(jié)構(gòu)的阻尼比取值按照《高層建筑混凝土結(jié)構(gòu)技術(shù)規(guī)程（JGJ 3—2002）》（中華人民共和國行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)，2002）規(guī)定為“組合結(jié)構(gòu)在多遇地震下的阻尼比可取為0.04”；《型鋼混凝土組合結(jié)構(gòu)技術(shù)規(guī)程（JGJ 138—2001）》（中華人民共和國行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)，2001）中規(guī)定為“當(dāng)全部結(jié)構(gòu)構(gòu)件均采用型鋼混凝土結(jié)構(gòu)，包括型鋼混凝土框架和鋼筋混凝土筒體組成的混合結(jié)構(gòu)，其結(jié)構(gòu)阻尼比宜取0.04”；《空間網(wǎng)格結(jié)構(gòu)技術(shù)規(guī)程（JGJ 7—2010）》（中華人民共和國行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)，2010）中規(guī)定為“對于由混凝土結(jié)構(gòu)支承的空間網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，阻尼比取鋼和混凝土的中間值0.03”。近似比例阻尼法帶有相當(dāng)?shù)闹饔^性，其誤差難以控制：一方面，組合結(jié)構(gòu)的種類繁多，難以給出一個能有效覆蓋不同類型結(jié)構(gòu)的阻尼比建議值；另一方面，即使對特定類型結(jié)構(gòu)給出了建議的阻尼比，在實際工程中，每種材料所占的比例也常常變化較大。雖然近似比例阻尼法容易因為阻尼比的取值不當(dāng)而造成較大誤差，但也應(yīng)該認識到此種方法具有理論和操作上的簡明性，容易被設(shè)計人員接受；而對于規(guī)則的組合結(jié)構(gòu)，通過選取合理的綜合阻尼比完全可以達到較高的計算精度。因此，確定一種具有足夠理論依據(jù)和精度的綜合阻尼比取值方法是十分必要的。

（2）應(yīng)變能阻尼法

應(yīng)變能阻尼法實際上是單自由度能量法在多自由度的推廣，其假定各單元的阻尼矩陣與剛度矩陣成正比，進而利用能量法得到結(jié)構(gòu)各階振型的阻尼比（孫仁范等，2014）。日本學(xué)者武藤清（1984）在上世紀(jì)70年代就將應(yīng)變能阻尼法應(yīng)用于核電站設(shè)計中。該方法只需通過各單元的剛度矩陣和振型向量就可得到振型阻尼比，不必構(gòu)造整體阻尼矩陣，具有原理簡明且易于實現(xiàn)的優(yōu)點，因此被現(xiàn)行設(shè)計軟件所廣泛采用，但其對于復(fù)雜組合結(jié)構(gòu)的精度和適用性仍有待于進一步的研究。

（3）強迫解耦法

對于非比例阻尼結(jié)構(gòu)，可通過忽略耦合的模態(tài)阻尼矩陣的非對角線元素實現(xiàn)解耦，從而將非比例阻尼問題轉(zhuǎn)化為比例阻尼問題求解。該方法簡單便捷，具有一定的適用性，但對于某些不規(guī)則結(jié)構(gòu)（俞瑞芳，2006）也會造成較大的誤差。桂國慶（1994）從范數(shù)的角度給出了此種近似解耦方法的誤差上限，并估計了此體系精確解的范圍。

（4）復(fù)振型分解法

對于采用完整非比例阻尼矩陣的組合結(jié)構(gòu)，若想得到理論上的精確解，則需將運動方程轉(zhuǎn)化為狀態(tài)空間形式，采用復(fù)振型分解法進行求解。Foss（1958）于上世紀(jì)50年代首先提出了這種方法，其后也有許多學(xué)者進行了多方面的研究（Harris C.M.，1946；Hurty W.C.，1994），但由于該方法給出的計算結(jié)果中包含復(fù)數(shù)且計算量較大，故在實際工程設(shè)計中應(yīng)用較少。本文算例中將以該方法作為基準(zhǔn)，驗證不同綜合阻尼比的計算精度。

2　串并聯(lián)剪切型組合結(jié)構(gòu)的阻尼模型

2.1串并聯(lián)剪切型組合結(jié)構(gòu)阻尼矩陣

在建筑結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng)分析中，目前普遍采用粘滯阻尼模型，即假定阻尼力與結(jié)構(gòu)的速度向量成線性關(guān)系。對于結(jié)構(gòu)的阻尼矩陣則通常采用瑞利比例阻尼模型，該模型假定結(jié)構(gòu)的阻尼矩陣C可以表示為結(jié)構(gòu)質(zhì)量矩陣M和剛度矩陣K的線性組合，即：

式中，α，β是組合系數(shù)，通常由下式?jīng)Q定：

式中，iω，jω為結(jié)構(gòu)的自振頻率，可按照黨育等（2014）的建議，選取最大兩個等效質(zhì)量對應(yīng)的頻率，對于剛度均勻的結(jié)構(gòu)，一般取前兩階頻率即可得到足夠精確的結(jié)果；、分別為結(jié)構(gòu)i、j階振型對應(yīng)的阻尼比，但在實際中更多的是按照結(jié)構(gòu)材料取值，如對于混凝土結(jié)構(gòu)取0.05，鋼結(jié)構(gòu)取0.02，其他結(jié)構(gòu)材料的取值可參考Chopra（2005）的方法。對于單一材料的結(jié)構(gòu)有將其帶入式（2）得到：

瑞利阻尼矩陣為比例阻尼矩陣，可以通過結(jié)構(gòu)的無阻尼振型矩陣解耦，進而采用振型分解法求解，應(yīng)用方便。研究表明，基于瑞利阻尼理論，由均勻材料組成的小阻尼結(jié)構(gòu)完全適用于工程實際。但如果結(jié)構(gòu)是由阻尼特性不同的材料構(gòu)成，則在式（2）中確定兩個振型阻尼比、就會存在一定的困難，導(dǎo)致難以確定比例阻尼矩陣C。

在動力學(xué)有限元分析中，構(gòu)造結(jié)構(gòu)整體阻尼矩陣時通常有整體法和單元法兩種途徑，淡丹輝（2007）用一種統(tǒng)一的阻尼模型評價指標(biāo)比較了兩種方法的性能差異；董軍（2000）提出了一種新的基于單元層次的阻尼矩陣生成方法。對于剪切型組合結(jié)構(gòu)，這兩種途徑各有優(yōu)勢，下面將基于瑞利阻尼模型，按分區(qū)域和分單元兩種方法集合形成剪切型組合結(jié)構(gòu)的整體阻尼矩陣。

2.1.1按照區(qū)域阻尼矩陣集成整體阻尼矩陣

我國《建筑抗震設(shè)計規(guī)范（GB 50011—2010）》（中華人民共和國國家標(biāo)準(zhǔn)，2010）規(guī)定，高度不超過40m，以剪切變形為主且質(zhì)量和剛度沿高度分布比較均勻的結(jié)構(gòu)可采用層間剪切結(jié)構(gòu)模型計算。該模型假定每層梁、樓板平面內(nèi)剛度無窮大，將結(jié)構(gòu)每一層質(zhì)量（包括梁、柱、墻和板）集中在每層的樓面處，形成層集中質(zhì)量，將每層抗側(cè)力構(gòu)件的剛度疊加在一起，形成層總體抗側(cè)剛度，并認為結(jié)構(gòu)每層只發(fā)生水平側(cè)移而無桿件轉(zhuǎn)動，即每層僅有一個水平位移自由度。

圖2　剪切型組合結(jié)構(gòu)計算模型Fig.2　The caculation model of shearing type composite structure

一般的剪切型組合結(jié)構(gòu)，按照結(jié)構(gòu)形式的不同，可分為串聯(lián)模型和并聯(lián)模型兩種，如圖2。其他復(fù)雜的剪切型組合結(jié)構(gòu)的計算模型均可由這兩種模型組合得到。

（1）串聯(lián)剪切型組合結(jié)構(gòu)阻尼模型對于串聯(lián)剪切型組合結(jié)構(gòu)，可假設(shè)各子結(jié)構(gòu)的阻尼矩陣均為瑞利阻尼，進而組集得到整體阻尼矩陣。以包含兩種材料子結(jié)構(gòu)的層剪切模型為例，其中第1—r層的阻尼比為1ξ，第r+1—n層的阻尼比為2ξ，整體結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、剛度矩陣分別為：

其中，

可見，子結(jié)構(gòu)1、2的質(zhì)量矩陣1M ，2M 、子結(jié)構(gòu)2的剛度矩陣2K與一般剪切型結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣完全相同，僅子結(jié)構(gòu)1的剛度矩陣1K與層剪切結(jié)構(gòu)的剛度矩陣在第（r，r）項元素多了一項1r+K，可將1K寫為：

將整體阻尼矩陣C也寫為4個子矩陣：

對于子結(jié)構(gòu)1，按照分區(qū)瑞利阻尼的疊加關(guān)系得到：

對于子結(jié)構(gòu)2，由于2M 、2K的表達式與一般剪切型結(jié)構(gòu)完全相同，故有：

（2）并聯(lián)剪切型結(jié)構(gòu)阻尼模型

兩個子結(jié)構(gòu)阻尼矩陣均為瑞利阻尼矩陣：

子結(jié)構(gòu)的比例系數(shù)同樣可按照式（3）得到。整體阻尼矩陣亦為兩個并聯(lián)子結(jié)構(gòu)阻尼矩陣之和：

2.1.2按單元阻尼矩陣集成整體阻尼矩陣

為得到式（17）中的單元組合系數(shù)，先將其在振型向量上投影得：

i單元的阻尼比為：

將（20）帶入（19）得：

根據(jù)黃吉鋒（2008）提出的無阻尼條件下基于能量守恒關(guān)系的假定得出：

則式（21）可化簡為：

進而由（23）解得每個單元的比例系數(shù)：

由式（17）可以確認結(jié)構(gòu)中所有單元的阻尼矩陣，進而得到整體結(jié)構(gòu)的阻尼矩陣，對于組合結(jié)構(gòu)，雖然每個單元的阻尼矩陣ci是比例的，但C一般是非比例的。

易證明，上述兩種組裝方法對于剪切型組合結(jié)構(gòu)具有等價性，其中，分區(qū)域組裝方法對于分區(qū)規(guī)則的組合結(jié)構(gòu)效率更高；而分單元組裝方法的適用范圍更廣，不僅可以用于串聯(lián)和并聯(lián)型剪切型組合結(jié)構(gòu)，還可用于更復(fù)雜的桿系組合結(jié)構(gòu)和空間組合結(jié)構(gòu)。

2.2串并聯(lián)剪切型組合結(jié)構(gòu)振型阻尼比求解

采用振型分解法時，相比于構(gòu)建結(jié)構(gòu)的整體阻尼矩陣，直接求解振型阻尼比的方法具有原理簡明，操作方便的優(yōu)點。對于組合結(jié)構(gòu)，目前通常采用應(yīng)變能方法求解其振型阻尼比。

下面首先簡述常用的基于單元剛度阻尼模型的應(yīng)變能阻尼比法，進而類比該方法，以單元瑞利阻尼模型為基礎(chǔ)提出一種新的應(yīng)變能阻尼比求解方法。

（1）基于單元剛度阻尼模型的應(yīng)變能阻尼比

第j振型第i單元一個振動循環(huán)內(nèi)的阻尼耗散能：

若假定單元的阻尼矩陣和剛度矩陣成正比：

第j振型第i單元的最大彈性應(yīng)變能：

整體結(jié)構(gòu)的第j振型的阻尼比可以用所有單元的第j振型的總耗散能和總應(yīng)變能計算：

式（31）即為基于單元剛度阻尼矩陣假定的應(yīng)變能阻尼比，本文簡稱為“剛度應(yīng)變能阻尼比”。該方法已被現(xiàn)行軟件所廣泛采用，因其能夠明顯地反映結(jié)構(gòu)中不同材料的相對數(shù)量、分布關(guān)系以及各部分參與振動的程度，故非常適用于求解組合結(jié)構(gòu)的振型阻尼比。

需要注意的是，對于本文中的并聯(lián)剪切型組合結(jié)構(gòu)模型，由于其相同層中不同材料單元的振型向量相同，故最終得出的振型阻尼比僅取決于結(jié)構(gòu)的剛度分布，而與各層質(zhì)量完全無關(guān)。

（2）基于單元瑞利阻尼模型的應(yīng)變能阻尼比

若每個單元的阻尼矩陣為瑞利阻尼矩陣，將式（17）帶入式（27），可得到第j振型的阻尼比：

式（32）同樣是一種基于能量原理的振型阻尼比求解方法，為區(qū)別式（31），本文稱之為“基于單元瑞利阻尼模型的應(yīng)變能阻尼比”，簡稱“瑞利應(yīng)變能阻尼比”。

根據(jù)文獻（黃吉鋒，2014）可知，瑞利阻尼模型存在著隨振型階次升高、阻尼比迅速增大的不合理現(xiàn)象，瑞利應(yīng)變能阻尼比同樣存在此現(xiàn)象，這會導(dǎo)致高階振型的阻尼比有放大的趨勢，從而造成其振型反應(yīng)被低估。對于以剪切變形為主的多層組合結(jié)構(gòu)，由于其高階振型的影響很小，故采用式（32）的計算方法一般可以達到足夠的計算精度。

下面證明式（32）與強迫解耦法的內(nèi)在一致性。

在振型分解法中，模態(tài)阻尼矩陣和模態(tài)剛度矩陣的主對角線元素可表示為：

故振型阻尼比可表示為：

可見，若結(jié)構(gòu)的整體阻尼矩陣采用式（18）組集而成，則強迫解耦法與瑞利應(yīng)變能阻尼比法是等價的。

2.3串并聯(lián)剪切型組合結(jié)構(gòu)綜合阻尼比求解

在已知各振型阻尼比的前提下，采用呂鳳偉（2008）提出的方法，可推導(dǎo)出基于各振型阻尼比的綜合阻尼比計算公式：

其中，jeM為第j階等效模態(tài)質(zhì)，ajS為加速度反應(yīng)譜上第j階振型所對應(yīng)的反應(yīng)譜值。

由于ajS和jeM相比是小量且隨結(jié)構(gòu)自振周期的變化不明顯，故近似認為各ajS相等，將式（36）右邊分子分母同時除以結(jié)構(gòu)總質(zhì)量，可得：

分別采用2.2中的兩種方法得到振型阻尼比，再由式（37）即可得到結(jié)構(gòu)的兩種綜合阻尼比，本文稱之為結(jié)構(gòu)的剛度綜合阻尼比Kξ與瑞利綜合阻尼比Rξ。

與以往按照經(jīng)驗給出綜合阻尼比的方法相比，式（37）得到的綜合阻尼比具有明確的理論依據(jù)。而相比于瑞利應(yīng)變能阻尼比，采用Rξ則可明顯消除阻尼比隨著振型階次升高而迅速增大的不合理現(xiàn)象。

3　算例

3.1采用不同阻尼模型的組合結(jié)構(gòu)時程分析算例

為評價上文不同阻尼模型的性能特點以及相應(yīng)計算方法的精確度，選取兩條天然波，一條人工波，采用三種方法對兩個典型的組合結(jié)構(gòu)層剪切模型進行線性時程分析。各方法操作過程如下：

方法1：按照式（18）建立整體結(jié)構(gòu)的非比例阻尼矩陣矩陣，將運動方程轉(zhuǎn)化為狀態(tài)空間形式，采用復(fù)振型分解法進行求解；

方法2：采用式（31）得到各振型阻尼比，帶入式（37）得到結(jié)構(gòu)的剛度綜合阻尼比Kξ，采用振型分解法求解；

方法3：采用式（32）得到各振型阻尼比，帶入式（37）得到結(jié)構(gòu)的瑞利綜合阻尼比，采用振型分解法求解。

由于方法1具有理論上的精確性，故可用來驗證方法2和方法3兩種簡化方法的計算精度。

算例1

某串聯(lián)剪切型組合結(jié)構(gòu)共5層，由兩個子結(jié)構(gòu)組成，子結(jié)構(gòu)1（1—3層）為混凝土結(jié)構(gòu)，阻尼比0.05，層質(zhì)量4.0×kg，層剛度5.0×N/m；子結(jié)構(gòu)2（4—5層）為鋼結(jié)構(gòu)，阻尼比0.02，層質(zhì)量2.0×kg，層剛度2.5×1N/m。

算例2

某并聯(lián)剪切型組合結(jié)構(gòu)由兩個5層的子結(jié)構(gòu)構(gòu)成，子結(jié)構(gòu)1為混凝土結(jié)構(gòu)，阻尼比0.05，層質(zhì)量4.0×104kg，層剛度5.0×107N/m；子結(jié)構(gòu)2為鋼結(jié)構(gòu)，阻尼比0.02，層質(zhì)量4.0×104kg，層剛度5.0×107N/m。

表1　算例1組合結(jié)構(gòu)的動力特性及振型阻尼比Table 1　The dynamic properties and damping ratio of example 1

表2　算例2組合結(jié)構(gòu)的動力特性及振型阻尼比Table 2　The dynamic properties and damping ratio of example 2

由表1和圖3可以看出，對于串聯(lián)剪切型組合結(jié)構(gòu)，剛度應(yīng)變能阻尼比較好地反映了各振型中子結(jié)構(gòu)的參與程度，對于以混凝土子結(jié)構(gòu)振動為主的第1振型，其振型阻尼比接近于混凝土的阻尼比0.05，而對于以鋼結(jié)構(gòu)的振動為主第4振型，其振型阻尼比接近于鋼材的阻尼比0.02，且所有振型阻尼比均介于0.02—0.05之間，與實際經(jīng)驗相符；瑞利應(yīng)變能阻尼比在低階振型較好的反映了整體結(jié)構(gòu)的阻尼效果，但在高階振型有明顯放大的趨勢。

由表2和圖4可知，對于并聯(lián)剪切型組合結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)的剛度分布比較均勻，各振型的剛度應(yīng)變能阻尼比均相等，其具體值僅取決于各層單元的剛度分布，而完全不考慮質(zhì)量的影響，故可能會造成一定的誤差。

通過表1和表2可知，兩個算例結(jié)構(gòu)第1振型的質(zhì)量參與百分比均超過85%，從而導(dǎo)致兩種綜合阻尼比與對應(yīng)的第1階振型阻尼比相差不大。

圖3　算例1結(jié)構(gòu)的振型圖Fig.3　Structural mode shape of example 1

圖4　算例2結(jié)構(gòu)的振型圖Fig.4　Structural mode shape of example 2

表3　算例1的動力時程分析結(jié)果Table 3　The results of dynamic time-history analysis of example 1

表4　算例2的動力時程分析結(jié)果Table 4　The results of dynamic time-history analysis of example2

由表3、4可知，對于算例1，采用不同算法得到的頂層位移包絡(luò)值最大誤差為13.4%，算例2為5.13%，相差不大，且方法1和方法3的結(jié)果更為接近，這表明對于剪切型組合結(jié)構(gòu)，通過選用合理的綜合阻尼比并采用振型分解法求解，可以達到和復(fù)振型分解法相近的精度，而前者在原理上更加簡便且計算量要小得多。此外，對于多層剪切型組合結(jié)構(gòu)，在振型分解法中采用Rξ較Kξ的計算精度更高。

3.2綜合阻尼比隨子結(jié)構(gòu)質(zhì)量比、剛度比的變化規(guī)律

下面以算例中的組合結(jié)構(gòu)模型為例，定義子結(jié)構(gòu)1和子結(jié)構(gòu)2的層質(zhì)量之比為m1/m2，子結(jié)構(gòu)1和子結(jié)構(gòu)2的層剛度之比為k1/k2，分析當(dāng)子結(jié)構(gòu)質(zhì)量比和剛度比變化時，串聯(lián)、并聯(lián)剪切型組合結(jié)構(gòu)綜合阻尼比的變化情況。

（1）串聯(lián)剪切型組合結(jié)構(gòu)

圖5　串聯(lián)結(jié)構(gòu)綜合阻尼比ξK和ξR的變化曲線Fig.5　The variation curve of general damping ratio ξKand ξRin series connection composite structure

由圖5可以看出，對于串聯(lián)剪切型組合結(jié)構(gòu)模型，當(dāng)m1/m2較大而k1/k2較小時，和更接近于子結(jié)構(gòu)1的阻尼比；m1/m2較小而k1/k2較大時，和更接近于子結(jié)構(gòu)2的阻尼比，這與實際經(jīng)驗是一致的。

進一步對比圖5（a）、（b）可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)k1/k2較小時，對于m1/m2的敏感度較差；m1/m2較小時，對于k1/k2的敏感度較差；而k1/k2或m1/m2較大時，二者的變化規(guī)律趨于一致；m1/m2和k1/k2均較小時，二者差別較大，但由于子結(jié)構(gòu)1位于下部，故此類情況在實際中并不常見。整體看來，的數(shù)值普遍小于，用于設(shè)計時安全性更好。

（2）并聯(lián)剪切型組合結(jié)構(gòu)

圖6　并聯(lián)結(jié)構(gòu)綜合阻尼比ξK和ξR的變化曲線Fig.6　The variation curve of general damping ratio ξKand ξRin parallel connection composite structure

從圖6可以看出，對于并聯(lián)剪切型組合結(jié)構(gòu)模型，當(dāng)12/m m和12/kk均較大時，和接近于子結(jié)構(gòu)1的阻尼比；12/mm和12/kk均較小時，和接近于子結(jié)構(gòu)2的阻尼比。

對比圖6（a）、（b）可以發(fā)現(xiàn)，由于并聯(lián)剪切型組合結(jié)構(gòu)模型的僅由12/kk決定，故和相比，在12/kk較高時容易偏大，而在12/mm較高時容易偏小，又因為子結(jié)構(gòu)1位于下部，故這兩類情況在實際中均可能出現(xiàn)。因此建議在設(shè)計中采用考慮了質(zhì)量和剛度共同影響的瑞利綜合阻尼比。

4　結(jié)論

（1）提出了一種基于單元瑞利阻尼模型的應(yīng)變能阻尼比，這種應(yīng)變能阻尼比在低階振型時能夠較好地反映組合結(jié)構(gòu)中不同部分的綜合阻尼效應(yīng)；且當(dāng)結(jié)構(gòu)的整體阻尼矩陣為單元瑞利阻尼矩陣組集而成時，該方法與傳統(tǒng)的強迫解耦法是等價的。

（2）提出了具有明確理論依據(jù)的綜合阻尼比計算公式，并基于應(yīng)變能阻尼比得到了相應(yīng)的剛度綜合阻尼比和瑞利綜合阻尼比。算例分析表明，對于常見的以剪切變形為主的多層組合結(jié)構(gòu)，瑞利綜合阻尼比相對于剛度綜合阻尼比具有更好的計算精度和適用性，其計算結(jié)果與復(fù)振型分解法十分接近。

（3）本文所涉及的方法僅適用于以剪切變形為主的多層串并聯(lián)組合結(jié)構(gòu)，包括多層工業(yè)與民用建筑，多跨不等高廠房等；對于以彎曲變形為主的高層組合結(jié)構(gòu)、空間不規(guī)則組合結(jié)構(gòu)、減隔震結(jié)構(gòu)等也可作為參考，但其計算精度和適用性尚有待于進一步研究。

淡丹輝，孫利民，2007.結(jié)構(gòu)動力有限元分析的阻尼建模及評價.振動與沖擊，26（2）：121—123.

黨育，韓建平，杜永峰等，2014.結(jié)構(gòu)動力分析的Matlab實現(xiàn).北京：科學(xué)出版社.

董軍，2000.結(jié)構(gòu)動力學(xué)分析阻尼模型研究.世界地震工程，16（4）：63—69.

杜永鋒，張尚榮，李慧，2012.多級串聯(lián)非比例阻尼隔震結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)分析.西北地震學(xué)報，34（4）：319—323.

桂國慶，何玉敖，1994.非比例阻尼結(jié)構(gòu)體系近似解耦分析中的誤差研究.工程力學(xué)，11（4）：40—45.

黃吉鋒，周錫元，2008.鋼—混凝土混合結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)分析的CCQC和FDCQC方法及其應(yīng)用.建筑結(jié)構(gòu)，38（10）：44—49.

黃吉鋒，2014.全頻校準(zhǔn)的鋼-砼混合結(jié)構(gòu)Rayleigh阻尼模型及其對比分析.第二十三屆全國高層建筑結(jié)構(gòu)學(xué)術(shù)會議論文.

李創(chuàng)第，黃天立，李暾等，2003.帶TMD結(jié)構(gòu)隨機地震響應(yīng)分析的復(fù)模態(tài)法.振動與沖擊，22（1）：36—46.

呂鳳偉，曹雙寅，2008.用拉普拉斯變換方法求解輕鋼加層結(jié)構(gòu)的折算阻尼比.第九屆全國建筑物鑒定與加固改造學(xué)術(shù)會議論文.

孫仁范，魏璉，劉維亞等，2014.抗震設(shè)計中組合結(jié)構(gòu)應(yīng)變能阻尼比的計算方法.建筑結(jié)構(gòu)，44（6）：23—26.

汪大綏，周建龍，2010.我國高層建筑鋼-混凝土混合結(jié)構(gòu)發(fā)展與展望.建筑結(jié)構(gòu)學(xué)報，31（6）：62—70.

武藤清著，滕家祿譯，1984.結(jié)構(gòu)物動力設(shè)計.北京：中國建筑工業(yè)出版社.

楊全勝，2013.鋼與鋼筋混凝土混合結(jié)構(gòu)的等效阻尼比分析研究.蘭州：蘭州理工大學(xué).

俞瑞芳，2006.非比例阻尼線性系統(tǒng)隨機地震輸入下的動力反應(yīng)分析.北京：北京工業(yè)大學(xué).

中華人民共和國行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)，2002.高層建筑混凝土結(jié)構(gòu)技術(shù)規(guī)程（JGJ 3—2002）.北京：中國建筑工業(yè)出版社.

中華人民共和國行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)，2001.型鋼混凝土組合結(jié)構(gòu)技術(shù)規(guī)程（JGJ 138—2001）.北京：中國建筑工業(yè)出版社.

中華人民共和國行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)，2010.空間網(wǎng)格結(jié)構(gòu)技術(shù)規(guī)程（JGJ7—2010）.北京：中國建筑工業(yè)出版社.

中華人民共和國國家標(biāo)準(zhǔn)，2010.建筑抗震設(shè)計規(guī)范（GB 50011—2010）.北京：中國建筑工業(yè)出版社.

ChopraA.K.著，謝禮立，呂大剛譯，2005.結(jié)構(gòu)動力學(xué).北京：高等教育出版社.

Foss F.K.，1958.Co-ordinates Which Uncouple the Linear Dynamic Systems.ASME，24：361—364.

Harris C.M.and Credle C.E.，1976.Shock and Vibration Hand Book，Second Edition.McGraw-Hill Inc.

Hurty W.C.and Rubinstein M.F.，1994.Dynamics of Structures.McGraw-Hill Inc.

Discussion of the Reasonable General Damping Ratio of Multilayer Shearing Type Composite Structure under SeismicAction

Chen Xiangcheng，Yan Weiming，Li Hongquan and Peng Lingyun
（Beijing Key Lab of Earthquake Engineering and Structural Retrofit，Beijing University of Technology，Beijing 100124，China）

We proposed a new type strain-energy modal damping ratio based on the element Rayleigh damping model，and proved its consistency with the forced decomposition method under the specified structure damping matrix.We also derived a calculating formula of general damping ratio with clear theoretical foundation and educed the stiffness general damping ratio and Rayleigh general damping ratio based on the corresponding strain-energy modal damping ratio.The time-history analysis of example structures with complex decomposition method and mode superposition method under seismic load are carried out，and the results show that the Rayleigh general damping ratio has a good calculation accuracy and applicability with normal multi-story composite structures dominated by shearing deformation.

Composite structure；Strain-energy damping；Complex decomposition method；Rayleigh general damping ratio

國家自然科學(xué)基金（51478023）；北京市教育委員會科技計劃面上項目（KM20110005021）

2016-03-17

陳相成，男，生于1989年。碩士研究生。主要從事建筑結(jié)構(gòu)及工程減隔震研究。E-mail：cxc1357@126.com