劉　姣，金國(guó)祥

武漢工程大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院，湖北 武漢 430205

基于非2π周期三角方法的正常積分模擬與仿真

劉姣，金國(guó)祥*

武漢工程大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院，湖北 武漢 430205

用非周期三角多項(xiàng)式作為逼近工具，對(duì)帶Chebyshev權(quán)的正常積分構(gòu)造兩類求積公式：一類是將帶Chebyshev權(quán)的正常積分變換成帶另一權(quán)的正常積分，對(duì)后面的積分構(gòu)造求積公式，然后利用變量逆變換將求積公式變?yōu)榛诜侵芷谌嵌囗?xiàng)式的原正常積分的求積公式；另一類是用正常積分的被積函數(shù)在非周期三角多項(xiàng)式生成子空間上的正交投影對(duì)被積函數(shù)進(jìn)行逼近而得到求積公式；同時(shí)提出了這兩種求積公式精度的概念.對(duì)上述兩種求積公式在計(jì)算機(jī)上用MATLAB編程實(shí)現(xiàn)，當(dāng)被積函數(shù)不是周期函數(shù)且不均勻時(shí)，得到的求積公式逼近效果優(yōu)于傳統(tǒng)意義下的求積公式，實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論分析相符.

非周期三角多項(xiàng)式；多項(xiàng)式逼近；求積公式

1　引言

用多項(xiàng)式（代數(shù)多項(xiàng)式或三角多項(xiàng)式）去逼近函數(shù)既是經(jīng)典也是當(dāng)今仍然比較活躍的一個(gè)研究課題，研究成果非常豐富［1-5］.由于計(jì)算機(jī)技術(shù)的廣泛應(yīng)用，推動(dòng)了數(shù)值求積研究的進(jìn)一步活躍，研究正常積分的數(shù)值計(jì)算人們通常都是在代數(shù)多項(xiàng)式或者三角多項(xiàng)式所生成的子空間中去構(gòu)造求積公式，當(dāng)被積函數(shù)不是周期函數(shù)且不均勻時(shí)，這種求積公式的近似效果并不理想，很少有人在介于代數(shù)多項(xiàng)式和三角多項(xiàng)式之間的非2π周期三角多項(xiàng)式（下面簡(jiǎn)稱為非周期三角多項(xiàng)式）所生成的子空間中去構(gòu)造求積公式.有關(guān)非周期三角多項(xiàng)式去逼近函數(shù)的研究文獻(xiàn)并不多.1993年，D.Kosloff 和H.Tal-Ezer在研究一類偏微分方程的數(shù)值求解時(shí)，為了克服以Chebyshev多項(xiàng)式作為工具對(duì)空間離散化時(shí)會(huì)附加一些苛刻約束條件的困難，提出了帶一時(shí)間步長(zhǎng)約束的Chebyshev準(zhǔn)譜方法［6］.在他們的研究中，首次提出了非周期三角多項(xiàng)式的概念.最近經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，非周期三角多項(xiàng)式生成的子空間的逼近問(wèn)題可應(yīng)用到諸多研究領(lǐng)域（如函數(shù)逼近、數(shù)值積分、信號(hào)分析和壓縮等）和工程實(shí)際問(wèn)題之中；例如，用非周期三角多項(xiàng)式作為工具構(gòu)造出正常積分求積公式在計(jì)算機(jī)研究領(lǐng)域中的機(jī)器學(xué)習(xí)方面有著直接的應(yīng)用.2014年，H.Tal-Ezer對(duì)非周期三角多項(xiàng)式的逼近問(wèn)題進(jìn)行了一些研究［7］，H.Tal-Ezer討論了非周期三角多項(xiàng)式的正交化及非周期三角多項(xiàng)式逼近解析函數(shù)的問(wèn)題，作為結(jié)果的應(yīng)用，他簡(jiǎn)單討論了帶Legendre權(quán)的正常積分的數(shù)值求積問(wèn)題.

本文以非周期三角多項(xiàng)式作為工具，討論了帶Chebyshev權(quán)的正常積分

的兩類求積公式，并首次提出這兩類求積公式精度的概念，對(duì)求積公式在計(jì)算機(jī)上用MATLAB編程實(shí)現(xiàn)，從實(shí)驗(yàn)中數(shù)值實(shí)例的誤差結(jié)果和解析圖像知，當(dāng)被積函數(shù)不是周期函數(shù)且不均勻時(shí)，基于非周期三角多項(xiàng)式所構(gòu)造的求積公式近似效果優(yōu)于傳統(tǒng)意義下的求積公式，且實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論分析相符.

2　求積公式

2.1非周期三角多項(xiàng)式逼近

為了構(gòu)造式（1）的基于非周期三角多項(xiàng)式的求積公式，引用文獻(xiàn)［7］中的一些結(jié)果.

不失一般性，考慮定義域?yàn)椋?1， 1］上的函數(shù). 設(shè)Pk（y）為一組關(guān)于內(nèi)積

和權(quán)函數(shù)ω（y）的正交多項(xiàng)式.

令

ψk（x）是一組關(guān)于內(nèi)積

和權(quán)函數(shù)

的正交多項(xiàng)式.由ψk（x）生成的子空間記為Sn，即

由降冪公式知，Sn可寫成由非周期三角多項(xiàng)式生成的子空間，即

其中

設(shè) f是［-1 ， 1］上的連續(xù)函數(shù)，f在Sn上的正交投影為

其中

為第一類Chebyshev多項(xiàng)式，其權(quán)函數(shù)為

由式（2）可得

由式（3）可得其中 β0=2，βk=1，k≥1.

設(shè)K為復(fù)平面C上的非空有界閉連通集，K的余集記作Kc.存在一個(gè)保角映射Ψ（ω），Ψ把單位圓的余集映射到Kc.令θ（y）為Ψ（ω）的逆映射，記

Bt表示Kc上的等位線，有下述定理，其證明見文獻(xiàn)［8］.

定理假設(shè) t ＞ 1 是使得F（y）在Bt內(nèi)解析的最大數(shù)，Pn（y）是插值結(jié)點(diǎn)為的插值多項(xiàng)式，在K上均勻分布，則Pn（y）滿足

利用上述定理可計(jì)算收斂速率.取K=［-1 ， 1］，由文獻(xiàn)［9］知，保角映射為

于是漸近收斂速率為

因此，用式（4）逼近函數(shù)時(shí)，其漸近精度為cε，其中

其中對(duì)ε的選擇取決于精度的需要，類似地，對(duì)n的選擇同樣如此.

由于對(duì) p的選擇不依賴于被逼近的函數(shù).通過(guò)最小化算法找一個(gè)參數(shù) p使誤差向量的范數(shù)最小，而 p適合所有函數(shù)，這里誤差向量范數(shù)定義為

其中 zj為在區(qū)間［a，b］上隨機(jī)分布的檢測(cè)點(diǎn)，1≤j≤m.

2.2帶Chebyshev權(quán)的正常積分求積公式

用非周期三角多項(xiàng)式作為工具，構(gòu)造式（1）的第一類求積公式.利用式（2）對(duì)式（1）進(jìn)行變換，得

其中

由式（2）可知

由Gauss求積公式［10］，構(gòu)造式（6）的求積公式

其中 yk為 Tn（y）的零點(diǎn)，即， k=1 ， 2 ，… ，n，

其中

于是

其中

式（7）是基于非周期三角多項(xiàng)式的帶Chebyshev權(quán)正常積分的第一類求積公式，它至少在… ，n所張成的空間中是精確的.

下面構(gòu)造式（1）的第二類求積公式.用被積函數(shù) f在ψk張成的空間上的正交投影 fn去替代式（1）中的 f，可以得到式（1）的另一類求積公式為

其中

求積公式Q2（f）至少在， k=0 ，1 ，2 ，…，n所生成的空間中是精確的.

3　結(jié)果與討論

對(duì)帶Chebyshev權(quán)的正常積分的經(jīng)典Gauss型求積公式和基于非周期三角多項(xiàng)式的求積公式（7）、（8）用MATLAB進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，通過(guò)誤差數(shù)據(jù)表和圖像說(shuō)明求積公式的誤差漸進(jìn)性.誤差定義如下：

非周期三角多項(xiàng)式中的參數(shù) p可用兩種方法計(jì)算.一種是根據(jù)式（5）進(jìn)行計(jì)算，取 ε=10-15，此時(shí)參數(shù) p記作 p1，得到的非周期三角多項(xiàng)式記為Nptp1.另一種是通過(guò)最小化算法，找到一個(gè) p使得誤差向量范數(shù)E最小，此時(shí)參數(shù) p記作 p2，得到的非周期三角多項(xiàng)式記為Nptp2.例1、例2是對(duì)經(jīng)典Gauss型求積公式和基于Nptp1的求積公式（7）進(jìn)行數(shù)值實(shí)現(xiàn)，例3是對(duì)用Chebyshev多項(xiàng)式逼近被積函數(shù)而構(gòu)造的求積公式和基于Nptp1、Nptp2的求積公式（8）進(jìn)行數(shù)值實(shí)現(xiàn).

例1函數(shù) f（x）=e-50x2.

取結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)n為10，20，40，求積結(jié)果如表1、圖1所示.

表1　f（x）=e-50x2求積公式誤差Tab.1　Error of the quadrature formulae forf（x）=e-50x2

圖1　f（x）=e-50x2求積公式誤差曲線Fig.1　Error curves of the quadrature formulae forf（x）=e-50x2

例2函數(shù) f（x）=xsin（2x）cos（3x）

取結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)n為10，20，40，求積結(jié)果如表2、圖2所示.

例3f（x）=e-30x2

取結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)n為6，12，15，求積結(jié)果如表3所示.

表2　f（x）=xsin（2x）cos（3x）求積公式誤差Tab.2　Error of the quadrature formulae forf（x）=xsin（2x）cos（3x）

圖2　f（x）=xsin（2x）cos（3x）求積公式誤差曲線Fig.2　Error curves of the quadrature formulae for f（x）=xsin（2x）cos（3x）

表3　f（x）=e-30x2求積公式誤差Tab.3　Error of the quadrature formulae forf（x）=e-30x2

對(duì)帶Chebyshev權(quán)正常積分的被積函數(shù)設(shè)計(jì)多個(gè)具體實(shí)例，用MATLAB語(yǔ)言對(duì)基于非周期三角多項(xiàng)式的兩類求積公式（7）、（8）和經(jīng)典Gauss型求積公式在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)，由這三個(gè)實(shí)驗(yàn)知，隨著n的不斷增大，三種求積公式的誤差均逐漸減?。挥捎谒〉暮瘮?shù)都不是周期函數(shù)且并不均勻，本文所得到的求積公式（7）、（8）的近似效果優(yōu)于經(jīng)典Gauss型求積公式；另外，由例3知，由于所取的函數(shù)在中間區(qū)域有大梯度，Nptp2中的p是通過(guò)最小化算法得到的最優(yōu)p，基于Nptp2的求積公式近似效果優(yōu)于其它兩種求積公式，這與理論分析相符.

由于受設(shè)備條件的限制，選取的結(jié)點(diǎn)數(shù)比較少，因此各求積公式的誤差區(qū)別并不太明顯，若選取更多的結(jié)點(diǎn)，非周期三角多項(xiàng)式構(gòu)造的求積公式的優(yōu)越性將會(huì)更加顯著.

4　結(jié)語(yǔ)

用非周期三角多項(xiàng)式作為逼近工具，對(duì)帶Chebyshev權(quán)的正常積分構(gòu)造了兩類求積公式：一類是將帶Chebyshev權(quán)的正常積分變換成帶另一權(quán)的正常積分，對(duì)變換后的積分構(gòu)造求積公式，然后利用變量逆變換將求積公式變?yōu)榛诜侵芷谌嵌囗?xiàng)式的原正常積分的求積公式；另一類是用正常積分的被積函數(shù)在非周期三角多項(xiàng)式生成子空間上的正交投影對(duì)被積函數(shù)進(jìn)行逼近而得到求積公式；這兩類求積公式豐富了Gauss數(shù)值求積的內(nèi)容，目前還是未見諸文獻(xiàn)的求積公式，本文給計(jì)算機(jī)研究領(lǐng)域的機(jī)器學(xué)習(xí)的算法提供了一些理論基礎(chǔ)，對(duì)該算法在大數(shù)據(jù)挖掘中的速度及準(zhǔn)確率的提高都有幫助.

在對(duì)正常積分進(jìn)行數(shù)值計(jì)算時(shí)，當(dāng)被積函數(shù)不是周期函數(shù)且不均勻時(shí)，所得到的基于非周期三角多項(xiàng)式的求積公式的近似效果要優(yōu)于經(jīng)典Gauss型求積公式.從實(shí)驗(yàn)結(jié)果可看出，基于非周期三角多項(xiàng)式的求積公式誤差小于經(jīng)典Gauss型求積公式，尤其是當(dāng)非周期三角多項(xiàng)式中的參數(shù)p為通過(guò)最小化算法得到的最優(yōu) p時(shí)，基于非周期三角多項(xiàng)式的求積公式的優(yōu)越性則更加明顯.實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論相符.

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本文編輯：陳小平

Simulation and Emulation of Proper Integrals Based on Non-2π-Periodic Trigonometric Method

LIU Jiao，JIN Guoxiang*

School of Computer Science and Engineering，Wuhan Institute of Technology，Wuhan 430205，China

We constructed two kinds of quadrature formulae of the proper integral with Chebyshev weight using the nonperiodic trigonometric polynomials as the approximate tool.First，we constructed the quadrature fomula of the integral with a new weight transformed from the integral with Chebyshev weight.And then，we transformed it by the inverse transform of the variable to get the first quadrature formula of the original integral based on the nonperiodic trigonometric polynomials.We obtained the second quadrature formula by using the orthogonal projection of the integrand on the subspace spanned by the nonperiodic trigonometric polynomials to approximate the integrand.Meanwhile，we presented the precision conception of the two quadrature formulae.We emulated the two kinds of quadrature formulae with MATLAB.The approximation effects of the two quadrature formulae are better than those of the quadrature formulae in general when the integrand is nonperiodic and non-uniform，which consistents with our theoretical analysis.

nonperiodic trigonometric polynomials；polynomials approximation；quadrature formulae

金國(guó)祥，博士，教授.E-mail：gxjin521@163.com

O241.38 O174.41

A

10.3969/j.issn.1674-2869.2016.04.016

1674-2869（2016）04-0399-05

2016-04-06

劉姣，碩士研究生.E-mail：372862510@qq.com