何昌云（甘肅省臨夏回族自治州和政中學(xué)）

淺談分類討論思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

何昌云
（甘肅省臨夏回族自治州和政中學(xué)）

分類討論思想是解決問題的一種邏輯方法，也是一種數(shù)學(xué)思想，這種思想在簡化研究對象、發(fā)展思維方面起著重要作用，因此，有關(guān)分類討論的思想的數(shù)學(xué)命題在高考試題中占有重要地位.

分類討論思想；中學(xué)數(shù)學(xué)；應(yīng)用

所謂分類討論，就是在研究和解決數(shù)學(xué)問題時，當(dāng)問題所給對象不能進行統(tǒng)一研究，我們就需要根據(jù)數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)屬性的相同點和不同點，將對象區(qū)分為不同種類，然后逐類進行研究和解決，最后綜合各類結(jié)果得到整個問題的解決，這一思想方法，我們稱之為“分類討論的思想”.下面分析一下分類討論思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用.

一、分類討論思想在集合中的應(yīng)用

解∵A=｛x-2≤x≤a｝，

∴B=｛y y=2x+3，x∈A｝

=｛y-1≤y≤2a+3｝.

與-2≤a≤0矛盾.

解得-1≤a≤3，

故2＜a≤3.

二、分類討論思想在函數(shù)中的應(yīng)用

例2.已知函數(shù)f（x）=2x2-2ax+3在區(qū)間［-1，1］上有最小值，記作g（a），求g（a）的函數(shù)表達式.

在x=-1時，g（a）=2a+5；

（2）當(dāng)-1＜a＜1時，即-2＜a＜2時，2

在x=1時，g（a）=5-2a；

三、分類討論思想在不等式中的應(yīng)用

例3.解關(guān)于x的不等式x2-（a+a2）x+a3＞0.

四、分類討論思想在排列組合中的應(yīng)用

例4.在正方體的頂點中，12條棱的中點，6個面的中心及正方體的中心共27個點中，共線的三點組的個數(shù)是多少？

解：依題意，共線的三點組可以分為三類：

所以總共有28+3+18=49（個）。

五、分類討論思想在數(shù)列中的應(yīng)用

例5.已知數(shù)列1，2x，3x2，4x2，……，求它的前n項和.

分析：本題未指明數(shù)列為等比數(shù)列，所以分類討論時還要考慮x=0這一情況.

解：設(shè)Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1，

（1）當(dāng)x=0時，Sn=1；

（3）當(dāng)x≠0且x≠1時，

由Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1，

得xSn=x+2x2+3x3+…+（n-1）xn-1+nxn，

兩式相減：

綜上所述：

通過探討分類討論思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中集合、函數(shù)、不等式，排列組合等中的應(yīng)用，我們應(yīng)用正確的分類討論思想，對不同情況進行分類研究，使問題化整為零，各個擊破，再積零為整，從而使復(fù)雜的問題得到清晰、完整、嚴密的解答.所以，在教學(xué)中教師應(yīng)該滲透分類討論的思想，讓學(xué)生充分感受并掌握這種思想.

［1］郭可銀.談分類討論思想方法在解題中的應(yīng)用：高中版［M］.高等教育出版社，2005-04.

［2］劉文武.中學(xué)數(shù)學(xué)中重要的數(shù)學(xué)思想：分類討論思想［M］.科學(xué)出版社，2003-11.

·編輯 薄躍華