戴　磊

(渭南師范學院 數理學院，陜西 渭南 714099)

?

拓撲一致降標與性質(gω)

戴磊

(渭南師范學院 數理學院，陜西 渭南 714099)

摘要：Banach空間算子T滿足性質(gω)當且僅當T在它的所有孤立的特征值處有n≥d的拓撲一致降標且T*在T的上半B-Weyl譜的補集上具有單值擴張性質。另外，利用所得結論證明了代數paranormal算子和初等算子滿足性質(gω)。

關鍵詞：性質(gω)；拓撲一致降標；代數paranormal算子；初等算子

0　引言

對線性算子譜理論的研究一直是算子理論中一個重要課題和熱門分支，Weyl型定理是譜理論中一個比較活躍的研究方向，而性質(gω)是Weyl型定理變化性質之一。近年來關于性質(gω)的研究有許多，例如文獻[1-2]利用單值擴張性質分別研究了算子及其攝動的性質(gω)；文獻[3]研究了性質(gω)與Weyl型定理之間的關系；文獻[4]利用變化的本性逼近點譜研究了算子的性質(gω)；文獻[5]利用一致Fredholm指標性質研究了算子的性質(gω)。本文主要利用拓撲一致降標給出了Banach空間中有界線性算子T滿足性質(gω)的一個等價刻畫，然后將所得結果應用到了初等算子和代數paranormal算子上。

1　預備知識

本文中，X表示無限維復Banach空間，B(X)表示X上的有界線性算子代數。稱算子T∈B(X)為一個上半Fredholm算子，若R(T)閉且n(T)=dim(N(T))<；若d(T)=dim(X/R(T))<, 則稱T為一個下半Fredholm算子。算子T∈B(X)稱為Fredholm算子，若n(T)和d(T)都有限。算子T的指標ind(T)定義為ind(T)=n(T)-d(T)。指標為0的Fredholm算子稱為Weyl算子；指標小于等于0的上半Fredholm算子稱為上半Weyl算子；指標大于等于0的下半Fredholm算子稱為下半Weyl算子。算子T的升標asc(T)為滿足 N(Tn)=N(Tn+1)的最小的非負整數，若這樣的整數不存在，則記asc(T)=；而算子T的降標des(T)為滿足R(Tn)=R(Tn+1)的最小的非負整數，同樣，當這樣的整數不存在時，記des(T)=。如果T的升標和降標均有限，則它們一定相等[6]，此時稱T為 Drazin 可逆的。記T的Weyl 譜、本性逼近點譜、Drazin 譜分別定義如下：

σw(T)={λ∈C:T-λ不為Weyl普及算子}；

σea(T)={λ∈C:T-λ不為上半Weyl算子}；

σD(T)={λ∈C:T-λ不為Drazin可逆}。

稱T在λ0處有單值擴張性質，如果任給λ0的開鄰域U(λ0)，f為U(λ0)→X上的解析函數且滿足(T-λI)f(λ)=0(λ∈U(λ0))，則恒有f≡0。如果T在任意點λ∈C都有單值擴張性質，則稱T有單值擴張性質。顯然，若intσp(T)=?，則T有單值擴張性質，于是T在任意λ∈isoσ(T)或λ∈Cσa(T)處都有單值擴張性質。

2　主要結論

定義1[7]設T∈B(X)，如果存在d∈N，使得對任意的n≥d，都有R(T)+N(Tn)=R(T)+N(Td)，則稱T有n≥d的一致降標；如果R(T)+N(Td)還是閉集，則稱T有n≥d的拓撲一致降標。

由文獻[8]知，當T是半B-Fredholm算子時，T有n≥d的拓撲一致降標。如果T有n≥d的拓撲一致降標，根據文獻[9]中推論4.9可知T有如下性質：

性質1設T∈B(X)且設λ∈isoσ(T)，如果T-λI有n≥d的拓撲一致降標，則λ是T的一個極點。

下面記Π(T)為T的譜集中所有極點的全體，E(T)為T的譜集中孤立的特征值全體，顯然Π(T)?E(T)。

性質2T在λ∈E(T)處有n≥d的拓撲一致降標當且僅當E(T)=Π(T)。

證明如果E(T)=Π(T)，則任給λ∈E(T)，都存在p≥1，使得

X=N((T-λI)p)⊕R((T-λI)p)。

根據定義易知T在λ處有n≥d的拓撲一致降標。反之利用性質1可知。

如果T*有單值擴張性質，則T有性質(gb)[1]。

另外，如果T在λ∈E(T)處有n≥d的拓撲一致降標，則T有性質(gω)。

下面定理說明T*的單值擴張性質假設可減弱到集合上半B-Weyl預解集上。

定理1設T∈B(X)，則T滿足性質(gω)當且僅當下列敘述成立：

(1)T在集合E(T)上有n≥d的拓撲一致降標；

推論1假設T在任意λ∈isoσ(T)處都有n≥d的拓撲一致降標，

證明根據定理1，(1) 顯然成立，只需證(2)。

下面設H(σ(T))表示在σ(T)的某一鄰域內解析且在σ(T)的任一分支上不為常值的復值解析函數全體。

定理2假設T在任意λ∈isoσ(T)處都有n≥d的拓撲一致降標，

(1)如果T*有單值擴張性質，則任給f∈H(σ(T))，有f(T)都滿足性質(gω)；

(2)如果T有單值擴張性質，則任給f∈H(σ(T))，有f(T*)都滿足性質(gω)。

f(T)-λI=(T-λ1I)n1(T-λ2I)n2…(T-λkI)nkg(T)，

N(f(T)-λI)?N(f(T)-λI)∩R(f(T)-λI)={0}[9]。

于是f(T)-λI可逆，從而λ0∈isoσ(f(T))。由性質2知λ0∈Π(f(T))，則λ0∈E(f(T))。反之，設μ0∈E(f(T))，且設f(T)-μ0I=(T-μ1I)n1(T-μ2I)n2…(T-μkI)nkg(T)，其中：μi≠μj(i≠j)，g(T)可逆。

(2)根據推論1(2)的證明過程可知，T*在任意λ∈isoσ(T*)處都有n≥d的拓撲一致降標。如果T有單值擴張性質，則由類似于(1)的證明可知，任給f∈H(σ(T))，f(T*)都滿足性質(gω)。

3　應用

稱T為normaloid算子，如果對任意的λ∈C，都有算子T的譜半徑r(T)=‖T-λI‖。如果任給λ∈C，T-λI都是normaloid算子，則稱T是transaloid算子。由文獻[10]知，若T是transloid算子，則任給λ∈C，H0(T-λI)=N(T-λI)。記

H(p)={T∈B(X): 任給λ∈C，都存在p≥1，使得H0(T-λI)=N[(T-λI)p]}，

則transaloid算子?H(1)?H(p)。H(p)類算子涉及比較廣泛，它包括Banach空間中的廣義scalar算子、subscalar算子、totally paranormal算子及Hilbert空間中的hyponomal算子、p-hyponormal (0

X=H0(T-λI)⊕K(T-λI)

=N[(T-λI)p]⊕K(T-λI)

?R[(T-λI)p]=K(T-λI)

?X=N[(T-λI)p]⊕R[(T-λI)p]。

由拓撲一致降標的定義知，如果T∈H(p)，則任給λ∈isoσ(T)，均有，T有n≥d的拓撲一致降標。

推論2設T∈B(X)，

(1)若T∈H(p)，則任給f∈H(σ(T))，有f(T*)都滿足性質(gω)；

(2)若T*∈H(p)，則任給f∈H(σ(T))，有f(T)都滿足性質(gω)。

下設H為Hilbert空間，稱T∈B(H)是paranormal算子，如果任給x∈H，‖x‖=1，‖Tx‖2≤‖T2x‖。如果存在非常值多項式p，使得p(T)是paranormal算子，則稱T是代數paranormal算子。由定義易證

引理1(1) 若T∈B(H)是代數paranormal算子，則任給λ∈C，T-λI也是代數paranormal算子；

(2)若T∈B(H)是代數paranormal算子，T(M)?M，則T|M也是代數paranormal算子。

引理2[11]設T∈B(H)是代數paranormal算子，

(1)如果σ(T)={λ}，則T=λI；

(2)如果T是擬冪零算子，則它是冪零算子。

推論3設T∈B(H)是代數paranormal算子，則任給f∈H(σ(T))，f(T*)都滿足性質(gω)。

證明因為T是代數paranormal算子，則存在非常值多項式p使得p(T)是paranormal算子。由于paranormal算子有單值擴張性質，則p(T)有單值擴張性質。因此T有單值擴張性質。

下證T在任意λ∈isoσ(T)處都有n≥d的拓撲一致降標。

設λ∈isoσ(T)，利用譜投影可以把T表示為T=T1⊕T2，其中σ(T1)={λ}，σ(T2)=σ(T){λ}。若λ=0，則T1是擬冪零的代數paranormal算子，由引理2(2)知T1是冪零算子。因此T是可逆算子與冪零算子的直和，于是T是B-Weyl算子[12]。故T在0處有拓撲一致降標。若λ≠0，由σ(T1)={λ}知σ(p(T1))=p(σ(T1))={p(λ)}。則p(T1)-p(λ)I是擬冪零算子。因為p(T1)是paranormal算子，則由引理2(2)知q(T1)=p(T1)-p(λ)I=0。因此T是代數paranormal算子，根據引理2知T1-λI是冪零算子。因為T-λI是可逆算子與冪零算子的直和，于是T1-λI是B-Weyl算子[12]。故T在λ處有n≥d拓撲一致降標。根據定理2(2)可知，任給f∈H(σ(T))，f(T*)都滿足性質(gω)。

定義dTS為廣義導子δTS(X)=TX-XS或初等算子ΔTS(X)=TXS-X，其中T,S*∈B(H)是hyponormal算子，即|T|2≤|T|2，|S*|2≤|S|2。根據文獻[13]知，任給λ∈C，asc(dTS-λ)≤1且任給λ∈isoσ(dTS)，H0(dTS-λ)=N(dTS-λ)。因此，dTS有單值擴張性質，且任給λ∈isoσ(dTS)，dTS在λ處有n≥d拓撲一致降標。由定理2(2)可知

推論4任給f∈H(σ(T))，f(dTS*)都滿足性質(gω)。

參考文獻:

[1] Berkani M, Sarih M, Zariouh H. Browder-type Theorems and SVEP[J].Mediterranean Journal of Mathematics,2011,8(3):399-409.

[2] Amouch M, Berkani M. On the Property (gω)[J].Mediterranean Journal of Mathematics,2008,(3):371-378.

[3] Amouch M. Polaroid Operators with SVEP and Perturbations of Property (gω)[J].Mediterranean Journal of Mathematics, 2009,6(4):461-470.

[4] 戴磊,曹小紅,孫晨輝. 廣義(ω)性質的一個注記[J].數學學報,2010，(2):219-226.

[5] 戴磊,張建華,曹小紅,等.CFI算子和Weyl型定理(英文)[J].數學進展,2014，(4):590-598.

[6] Lauren K, Neumann M. An introduction to local spectral theory[M].Oxford：Clarendon Press,2000.

[7] Grabiner S. Uniform ascent and descent of bounded operaters[J]. Journal of the Mathematical Society of Japan,1982,34:317-337.

[8] Finch J. The single valued extension property on a Banach space[J].Pacific Journal of Mathematics,1975,58:61-69.

[9] Taylor A. Theorems on ascent, descent, nullity and defect of linear operator[J].Mathematische Annalen,1966,163:8-49.

[10] Curto R E, Han Y M. Weyl’s theorem, a-Weyl’s theorem, and local spectral theory[J].Journal of the London Mathematical Society,2002,67(2):499-509.

[11] Curto R E, Han Y M. Weyl’s Theorem for Algebraically Paranormal Operators[J].Integral Equations & Operator Theory,2003,47(3):307-314.

[12] Berkani M. Index of B-Fredholm operators and generalization of a Weyl theorem[J].Proceedings of the American Mathematical Society,2002,130(6):1717-1724.

[13] Duggal B P. Weyl’s theorem for a generalized derivation and an elementary operator[J].Matematicki Vesnik,2002,54(3):71-81.

【責任編輯牛懷崗】

中圖分類號：O177.2

文獻標志碼：A

文章編號：1009-5128(2016)16-0009-05

收稿日期：2016-03-18

基金項目：國家自然科學基金資助項目：基于量子力學的算子譜理論問題研究(11501419)；陜西省軍民融合基金資助項目：與量子力學相關的算子譜論研究(15JMR20)

作者簡介：戴磊(1983—)，男，河南滎陽人，渭南師范學院數理學院副教授，理學博士，主要從事算子代數與算子理論研究。

Topological Uniform Descent and Property(gω)

DAI Lei

(School of Mathematics and Physics, Weinan Normal University, Weinan 714099, China)

Abstract:A Banach space operator T satisfying property (gω) if and only if T has topological uniform descent for n≥dat all λ which are isolated eigenvalues of T and T*, and has the single-valued property in the complement of the upper B-Weyl spectrum of T. In addition, the results show that the property (gω) holds for algebraically paranormal operators and elementary operators.

Key words:property(gω); topological uniform descent; algebraically paranormal operators; elementary operators

【自然科學基礎理論研究】