葛建華（寧夏教育廳教研室）施　?。▽幭你y川市興慶區(qū)教育局教研室）

展現(xiàn)命題構(gòu)想過程分析解答引發(fā)反思
———2015年寧夏中考壓軸題的命制過程及反思

葛建華（寧夏教育廳教研室）
施?。▽幭你y川市興慶區(qū)教育局教研室）

中考試題具有選拔、評價、引導(dǎo)，促進(jìn)教學(xué)等功能.2015年寧夏中考壓軸題將學(xué)生熟悉的一道寧夏中考試題適當(dāng)取舍原有條件、添加新條件，以學(xué)生常用的三角板為背景嘗試改編，把觀察、探究、計算結(jié)合在一起，設(shè)置蘊(yùn)含直角三角形、圖形的旋轉(zhuǎn)、線線平行、銳角三角函數(shù)、計算重疊圖形面積及數(shù)形結(jié)合、化歸轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想的階梯型問題，通過不斷嘗試形成試題，達(dá)到考查學(xué)生基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)的目的.

中考壓軸題；命制過程；命題反思

根據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》）的要求，中考試題既要注重考查學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識與基本技能的理解和掌握，關(guān)注學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的理解情況的考查，又要突出考查學(xué)生的動手操作能力、創(chuàng)新意識.筆者參與命制了2015年寧夏中考試卷，將其中一道壓軸題命制的心路歷程和閱卷后的反思整理成文，與大家交流、分享.

一、素材選擇

根據(jù)試卷雙向細(xì)目表，所命制的試題為壓軸題，應(yīng)設(shè)計為以幾何問題為背景，與動態(tài)探究相結(jié)合的綜合性問題，把觀察、探究、計算結(jié)合在一起，使其蘊(yùn)含直角三角形、圖形的旋轉(zhuǎn)、線線平行、銳角三角函數(shù)、計算重疊圖形面積等相關(guān)知識，以及數(shù)形結(jié)合、化歸轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.含30°，45°角的三角板是學(xué)生常用的學(xué)習(xí)工具，具有豐富的內(nèi)涵，基于以上思考，以下面一道學(xué)生熟悉的寧夏中考試題為素材進(jìn)行改編.

初稿：（2012年寧夏卷）如圖1，正方形ABCD的邊長為3，E，F(xiàn)分別是AB，BC邊上的點(diǎn)，且∠EDF= 45°.將△DAE繞點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DCM.

（1）求證：EF=FM；

（2）當(dāng)AE=1時，求EF的長．

圖1

二、試題改編過程

由題意，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，知△DAE≌△DCM.得其對應(yīng)邊互相垂直，且AD∥CM，AE∥DC.當(dāng)∠ADE= 30°時，∠AED=60°.若將Rt△DAE看成是一個含30°，60°角的三角板，因?yàn)椤螦DC=90°，將點(diǎn)D看成是另一個含30°，60°角的三角板的直角頂點(diǎn)，舍掉其他條件，以點(diǎn)D為旋轉(zhuǎn)中心，逆時針旋轉(zhuǎn)Rt△DAE（看成含30°，60°角的三角板），旋轉(zhuǎn)過程中隨著旋轉(zhuǎn)角的增大，旋轉(zhuǎn)的三角板與Rt△DCM（看成含30°，60°角的三角板）重疊部分由無到有，與另一個可看成以點(diǎn)D為直角頂點(diǎn)、以DC為長直角邊的三角板重疊部分由少變多，重疊部分圖形的形狀隨之發(fā)生變化，重疊部分圖形的面積隨之發(fā)生變化，兩三角板沒有公共點(diǎn)的兩邊的位置關(guān)系也隨之發(fā)生變化.根據(jù)函數(shù)的定義，兩三角板重疊部分圖形的面積是旋轉(zhuǎn)角的函數(shù)，且是三角函數(shù)，因?yàn)閷W(xué)生在初中階段只學(xué)習(xí)過特殊角（30°，45°，60°）的三角函數(shù)，因此兩三角板重疊部分圖形的面積與旋轉(zhuǎn)角的函數(shù)關(guān)系不能作為考查對象.旋轉(zhuǎn)過程中兩三角板沒有公共點(diǎn)的兩邊所在直線的位置關(guān)系有相交和平行兩種，且按逆時針方向旋轉(zhuǎn)30°時兩三角板沒有公共點(diǎn)的兩邊所在的直線平行（如圖2）.在三角板中，特殊角除了直角，30°角外，還有45°，60°角，考慮到按逆時針方向旋轉(zhuǎn)30°時，邊A1C1到AB的距離較大，以及旋轉(zhuǎn)到45°，60°時，兩三角板重疊部分的形狀都是三角形，因而將點(diǎn)B1與點(diǎn)C重合改為點(diǎn)A1與點(diǎn)C重合，得到如下改編.

圖2

改編1：已知Rt△ABC與Rt△A1B1C1是全等的三角板，且∠A=∠A1=60°，∠C=∠C1=90°，點(diǎn)A1與點(diǎn)C重合，A1C1與CA重合.將三角板A1B1C1繞點(diǎn)C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)時AB與A1C1的交點(diǎn)為點(diǎn)M（如圖3）.

（1）如圖4，若將Rt△A1B1C1繞點(diǎn)C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)30°時，求證：B1C1∥AB；

圖3

圖4

思考：若Rt△A1B1C1繞點(diǎn)C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°，點(diǎn)C1恰好落在邊AB上，設(shè)BC與B1C1的交點(diǎn)為點(diǎn)N，三角板重疊部分是△CC1N，點(diǎn)N將BC分為CN 與BN兩部分（如圖5）.若將Rt△A1B1C1繞點(diǎn)C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°時，設(shè)BC與B1C1的交點(diǎn)為點(diǎn)N，兩三角板重疊部分是四邊形CMQN（如圖6），求四邊形CMQN需轉(zhuǎn)化為三角形的面積計算問題；按照由易到難的原則，第（2）小題設(shè)計為求旋轉(zhuǎn)60°時兩三角板重疊部分圖形的面積，第（3）小題設(shè)計為求旋轉(zhuǎn)45°時兩三角板重疊部分圖形的面積.

圖5

圖6

（2）如圖5，若Rt△A1B1C1繞點(diǎn)C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°，點(diǎn)C1恰好落在邊AB上，設(shè)BC與B1C1的交點(diǎn)為點(diǎn)N.求①CN與BN的比值；②兩三角板重疊部分△CC1N的面積；

（3）如圖6，若將Rt△A1B1C1繞點(diǎn)C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°.設(shè)BC與B1C1的交點(diǎn)為點(diǎn)N，A，C與AB的交點(diǎn)為點(diǎn)M，求四邊形CMQN的面積.

圖7

【說明】對于第（3）小題，如圖7，連接MN，考慮到四邊形MQNC的面積可轉(zhuǎn)化為△CC1N的面積與△MC1Q的面積的差計算時，△MC1Q圖形較??；轉(zhuǎn)化為△MQN的面積與△CMN的面積和計算時，△MQN圖形較小，不利于學(xué)生借助幾何直觀解決問題.再則，利用完全相同的兩個含30°，60°角的三角板呈現(xiàn)問題，一副三角板間的固有關(guān)系（如含45°，45°角三角板的斜邊長與含30°，60°角三角板的長直角邊長相等）沒能體現(xiàn)出來，因而將兩個完全相同的含30°，60°角的三角板呈現(xiàn)的問題改編成以一副三角板呈現(xiàn)的問題，改編如下.

改編2：如圖8，是一副學(xué)生所使用的三角板，在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，∠B=30°；在△A1B1C1中，∠C1=90°，∠A1=45°，∠B1=45°，且A1B1=CB.若將邊A1C1與邊CA重合，其中點(diǎn)A1與點(diǎn)C重合．將三角板A1B1C1繞點(diǎn)C（A1）按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過的角為α，旋轉(zhuǎn)過程中邊A1C1與邊AB的交點(diǎn)為點(diǎn)M，設(shè)AC=a.

圖8

（1）當(dāng)α=30°時，證明：B1C1∥AB；

思考：若將三角板A1B1C1繞點(diǎn)C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°時，三角板A1B1C1的斜邊A1B1與三角板ABC的直角邊BC恰好重合，第（2）小題改變?yōu)槿缦滦问?

解：（1）證明：如圖9，當(dāng)α=30°時，∠ACC1=30°.

因?yàn)椤螦=60°，

所以∠AMC=90°，即CC1⊥AB.

因?yàn)镃C1⊥B1C1，

所以B1C1∥AB.

圖9

圖10

（2）如圖10，當(dāng)α=45°時，B1A1恰好與BC重合，過點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，

在Rt△CMH中，∠MCH=45°-30°=15°，

在Rt△ABC中，因?yàn)锳C=a，∠A=60°，

所以A1B1=BC=

求兩三角板重疊部分圖形的面積需計算出B1C1的長，考慮到將含30°，60°角的三角板ABC中AC的長轉(zhuǎn)化到含45°角的三角板A1B1C1中計算B1C1的長，對部分學(xué)生來說有困難.為了降低難度，在改編2的第（1）小題前面增加“計算A1C1的長”.作為第（1）小題，為計算兩三角板重疊部分圖形的面積做鋪墊.考慮到三角板中出現(xiàn)的角（除90°角外）有30°，45°，60°角，當(dāng)α=45°時，求的是三角形的面積；當(dāng)α= 60°時，求的是四邊形的面積.四邊形的面積需化歸轉(zhuǎn)化為兩個三角形面積的差或兩個三角形面積的和來計算，考查化歸轉(zhuǎn)化的思想，因此在改編2的第（2）小題后又增加了“當(dāng)α=60°時，用含a的代數(shù)式表示兩個三角板重疊部分圖形的面積”作為第（4）小題，最后做下定稿.

定稿：如圖11，是一副學(xué)生用的三角板，在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，∠B=30°；在△A1B1C1中，∠C1=90°，∠A1=45°，∠B1=45°，且A1B1=CB.若將邊A1C1與邊CA重合，其中點(diǎn)A1與點(diǎn)C重合．將三角板A1B1C1繞點(diǎn)C（A1）按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過的角為α，旋轉(zhuǎn)過程中邊A1C1與邊AB的交點(diǎn)為點(diǎn)M，設(shè)AC=a.

圖11

（1）計算A1C1的長；

（2）當(dāng)α=30°時，證明：B1C1∥AB；

（4）當(dāng)α=60°時，用含a的代數(shù)式表示兩個三角板重疊部分圖形的面積.

解：（1）在Rt△ABC中，

因?yàn)?AC=a，∠A=60°，

所以A1B1=BC=在Rt△A1B1C1中，

（2）略.

（3）略.

（4）當(dāng)α=60°時，A1M=AC=a．

如圖12，設(shè)B1C1分別與AB，BC交于點(diǎn)N，Q.

圖12

所以S四邊形CMNQ

【說明】由于一副三角板中A1C1的長度與AC的長度有內(nèi)在的聯(lián)系，其邊B1C1與邊AB平行是在旋轉(zhuǎn)過程中出現(xiàn)的，因而將求A1C1的長定為第（1）小題，將證明B1C1∥AB定為第（2）小題.第（1）小題中計算A1C1的長，為第（3）小題、第（4）小題計算重疊部分圖形面積做鋪墊，第（3）小題為第（4）小題化歸轉(zhuǎn)化做鋪墊.第（4）小題求四邊形的面積化歸轉(zhuǎn)化為求兩個三角形面積的差或兩個三角形面積的和計算，因求解過程中運(yùn)算量較大，求代數(shù)式的值已在第（3）小題中考查過，因而只要求學(xué)生用含a的代數(shù)式表示兩個三角板重疊部分圖形的面積.

答題卡中第（2），（3），（4）小題均給出了一個含30°，60°角的直角三角形，考查學(xué)生根據(jù)題意畫圖，數(shù)形結(jié)合分析問題、解決問題的能力.

基于以上改編過程中的思考，將該題設(shè)置為四道小題，并確定了先后呈現(xiàn)的順序，但仍存在不盡人意之處，即寧夏中考壓軸題一般設(shè)置為三問，該題設(shè)置為四問，第（1）小題與第（3）小題和第（4）小題、第（2）小題與第（3）小題、第（3）小題與第（4）小題之間有內(nèi)在的聯(lián)系，但第（1）小題與第（2）小題之間的內(nèi)在聯(lián)系較少.

三、閱卷反饋

1.別樣解答

分析：第（1）小題略.第（2）小題在閱卷過程中，可以看出學(xué)生思維靈活，證明兩直線平行的途徑多樣，如通過同位角相等、內(nèi)錯角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)證兩直線平行，根據(jù)垂直于同一直線的兩直線平行證兩直線平行.第（3）、（4）小題從學(xué)生解答過程看，學(xué)生做輔助線的方法多樣，計算路徑多，不乏精彩之處.

解：（1）略.

（2）略.

（3）（方法1）如圖13，過點(diǎn)M作MD⊥BC于點(diǎn)D.

設(shè)MD=x，

因?yàn)椤螹CD=∠DMC=45°，所以DC=MD=x.

在Rt△BMD中，

∠BMD=90°-30°=60°，

圖13

【評析】在兩三角板重疊部分圖形（△CMB）內(nèi)作高M(jìn)D，點(diǎn)D將線段BC分成線段BD和DC，根據(jù)BD+

（方法2）因?yàn)?∠ABC=30°，∠C1BC=45°，

所以∠C1BM=15°（如圖14）.

在Rt△BC1M中，

圖14

【評析】 方法2轉(zhuǎn)化為計算△A1B1C1的面積與Rt△BC1M的面積的差，△A1B1C1兩直角邊長在第（1）小題中已求出，關(guān)鍵是求出MC1的值.

（方法3）如圖15，過點(diǎn)M作MD⊥AC于點(diǎn)D.

圖15

設(shè)MD=x，

則DC=MD=x.

因?yàn)椤螦=60°，

所以∠AMD=30°.

【評析】方法3轉(zhuǎn)化為計算△ABC的面積與△AMC面積的差，△ABC中BC的值在第（1）小題中已求出；在△AMC內(nèi)作高M(jìn)D，建立關(guān)于MD的方程，求得MD的值后，進(jìn)而可求出兩三角形面積的差.求出MD的值部分學(xué)生未化簡，所以在求△MBC的面積時增加了計算量.

除了上述方法，還有學(xué)生根據(jù)如圖10所示的S△CMB=BM·CH求重疊部分面積.

（4）（方法1）如圖16，當(dāng)α=60°時，CM=AC=a.

設(shè)B1C1分別與AB，BC交于點(diǎn)N，Q.

圖16

圖17

（方法2）當(dāng)α=60°時，CM=AC=a，

設(shè)B1C1分別與AB，BC交于點(diǎn)N，Q.

如圖17，在△CMB中，∠MCB=∠B=30°.過點(diǎn)M作MD⊥BC于點(diǎn)D，

在Rt△CC1Q中，∠CQC1=90°-30°=60°.

所以∠BNQ=60°-30°=30°.

因?yàn)椤螧=30°，

過點(diǎn)N作NE⊥BC于點(diǎn)E，

【評析】方法1轉(zhuǎn)化為△A1B1C1的面積與另外兩個三角形面積的差的計算，運(yùn)算量較大；方法2轉(zhuǎn)化為兩個三角形面積的差的計算，共作了兩條輔助線.作輔助線對學(xué)生而言是個難點(diǎn)，能夠作出兩條輔助線解題，可見學(xué)生思維之縝密.

除了上述方法外，還有學(xué)生根據(jù)S四邊形A1MNQ=S△ABCS△AMC-S△NBQ求重疊部分圖形面積.

2.學(xué)生解答中出現(xiàn)的典型錯誤

閱卷過程中，可以看出學(xué)生思維靈活，看到多樣的解題方法，但也有令人惋惜之處．

（3）推理論證不縝密.例如，證明兩直線平行，寫出的角多，但找不出判斷兩直線平行的條件.

（4）數(shù)形結(jié)合的意識不強(qiáng).例如，將Rt△A1B1C1旋轉(zhuǎn)60°時，畫圖忽視了A1B1=CB的條件，旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)B落在了Rt△A1B1C1內(nèi)，或點(diǎn)B在Rt△A1B1C1的邊B1C1上.

3.命題反思

從學(xué)生解答情況來看，壓軸題入口要寬，應(yīng)關(guān)注不同水平的學(xué)生，有梯度地、環(huán)環(huán)相扣地設(shè)置問題，讓學(xué)生易于進(jìn)入解題狀態(tài)，盡可能地展現(xiàn)自己的數(shù)學(xué)才能，有效區(qū)分學(xué)生的解題能力和思維深度.解題過程中應(yīng)適當(dāng)控制運(yùn)算量，關(guān)注解題方法的多樣化，讓學(xué)生在探究過程中選擇適合自己的方法解題.

命制以幾何問題為背景，與圖形的旋轉(zhuǎn)、銳角三角函數(shù)、圖形的面積相結(jié)合的幾何計算（論證）型中考壓軸題，首先，要對命題的形式、結(jié)構(gòu)，考查的知識點(diǎn)、運(yùn)算技能、數(shù)學(xué)思想和方法，逐次遞進(jìn)的梯度、難度系數(shù)仔細(xì)斟酌.其次，要選擇一道良好的試題作為素材，適當(dāng)取舍原有條件、添加新條件，設(shè)置循序漸進(jìn)的問題，通過不斷嘗試形成試題.最后，要精心打磨，杜絕歧義，使之體現(xiàn)命題方向，體現(xiàn)教學(xué)導(dǎo)向.命制出高質(zhì)量、評價導(dǎo)向功能好、學(xué)生收益面大的精彩試題是命題者不懈追求的目標(biāo).

［1］葛建華，施巍.2014年寧夏中考壓軸題的命制過程及反思［J］.中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2015（5）：32-36.

［2］桂文通.好題多磨，磨出精彩［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)參考，2015（1/2）：114-116.

葛建華（1962—），男，中學(xué)高級教師，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)和命題研究.

2016—02—09

全國教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃2013年度教育部規(guī)劃課題——提高中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)質(zhì)量策略研究（FHB130491）.