徐寧 任尊松 孫守光

摘要： 基于車輛軌道耦合動(dòng)力學(xué)快速顯式積分法，提出了一種新的顯式積分格式并給出了相關(guān)參數(shù)選取方式。不同于快速顯式法僅考慮相鄰兩個(gè)加速度對(duì)于位移和速度積分的影響，本文方法積分格式中包含了相鄰三個(gè)時(shí)刻的加速度項(xiàng)。該方法除具有快速顯式積分法無需求解高階線性方程組且運(yùn)算速度快等特點(diǎn)之外，還具有數(shù)值結(jié)果無振幅衰減、截?cái)嗾`差具有更高階精度等優(yōu)點(diǎn)。與快速顯式積分方法相比，求解線性問題時(shí)，本文方法獲得的結(jié)果與解析解的吻合度更高；車輛軌道垂向耦合系統(tǒng)頻域傳遞特性問題研究結(jié)果表明，本文方法獲得的系統(tǒng)中、高頻成分的幅頻特性更為準(zhǔn)確。關(guān)鍵詞： 車輛系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)； 顯式積分法； 誤差精度； 預(yù)測(cè)校正格式

中圖分類號(hào)： U211. 5文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號(hào)：1004-4523（2016）03-0472-07

DOI：10.16385/j.cnki.issn.10044523.2016.03.013

引言

在結(jié)構(gòu)和大自由度系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)研究中，數(shù)值積分方法被廣泛使用[19]，所以迫切需求精度更高、穩(wěn)定條件更寬松、更省時(shí)的計(jì)算方法。經(jīng)典的方法如Newmarkβ法，Houbolt法，Wilsonθ法[1]等，精度很高且都具備比較好的穩(wěn)定性，桂國慶[2]更是提出了無條件穩(wěn)定的高精度計(jì)算方法，但這些隱式方法求解大型方程組，特別對(duì)于非線性問題，都需要計(jì)算C，K矩陣，計(jì)算量非常之大。有鑒于此，翟婉明[3]在Newmarkβ法基礎(chǔ)之上提出新型快速顯式積分法，該方法在求解大型非線性動(dòng)力學(xué)問題時(shí)，只要求質(zhì)量矩陣M為對(duì)角化，不限制C，K矩陣形式，不再需要求解高階線性代數(shù)方程組，從而大幅度地提高了數(shù)值計(jì)算的經(jīng)濟(jì)性，其截?cái)嗾`差與Newmarkβ同階，該方法具有較好的穩(wěn)定條件，且當(dāng)參數(shù)ψ和φ相等且都取值1/2情況下具有無振幅衰減以及周期延長(zhǎng)率變化較小的特點(diǎn)。

隨著列車運(yùn)行速度提高及車輛部件輕量化，運(yùn)用安全性以及運(yùn)行品質(zhì)等問題的研究變得越來越重要，研究結(jié)果也要求越來越準(zhǔn)確，促使車輛動(dòng)力學(xué)模型需要對(duì)部分或者全部部件彈性化處理，由此系統(tǒng)自由度和非線性度進(jìn)一步大幅增加且車輛軌道耦合系統(tǒng)中高頻振動(dòng)亦成為研究重點(diǎn)之一。在此情況下，快速顯式法存在一定的不足：在保障無振幅衰減并且延長(zhǎng)率變化較小時(shí)，其計(jì)算結(jié)果高階精度不足。吳國榮[4]提出的方法雖然很大程度地提高精度，但對(duì)于位移和速度求解具有先后次序，其應(yīng)用具有一定的局限性；趙秋玲[5]、裘春航[6]和王海波等[7]提出的精細(xì)積分法對(duì)于線性和非線性問題計(jì)算精度高，但求解過程依賴狀態(tài)變量求解過程，并需要將大型二階微分方程組轉(zhuǎn)為對(duì)應(yīng)的一階形式，這對(duì)車輛軌道耦合系統(tǒng)求解來說，工作量很大。范奎武[8]構(gòu)造了包含An2的隱式積分格式，對(duì)于求解中頻和高頻問題具有很好精度，本文在快速顯式積分法基礎(chǔ)上，結(jié)合文獻(xiàn)[8]和[9]隱式格式中考慮多個(gè)時(shí)刻加速度以提高積分精度的方式，在快速顯式法積分格式包含An和An1基礎(chǔ)上考慮An2這一項(xiàng)對(duì)于速度和位移的影響，構(gòu)造了考慮三個(gè)時(shí)刻加速度項(xiàng)的顯式積分格式，也簡(jiǎn)稱本文方法。這一積分方法在滿足收斂條件下，具有保障積分結(jié)果有無振幅衰減且周期延長(zhǎng)率變化較小的特點(diǎn)，并在一定參數(shù)選擇下能夠有比快速顯式積分法更高的截?cái)嗾`差精度。參照預(yù)測(cè)校正積分法，應(yīng)用Newmarkβ進(jìn)行校正積分，得到本文方法的高精度格式，對(duì)非線性問題的積分求解精度略高于原有預(yù)測(cè)校正模式。

圖7為兩方法得到的軌道位移傳遞函數(shù)與解析法結(jié)果對(duì)比?？梢钥闯鲈?5s，110 Hz左右的第一、第二峰值處，較比快速顯式法，本文方法結(jié)果與解析結(jié)果吻合度更高，形態(tài)上更為接近，以及300～450 Hz的較高頻率區(qū)間局部處，本文方法計(jì)算結(jié)果與解析結(jié)果幾乎一致，而快速顯式法結(jié)果與解析解有一定差別。

由圖8和9看出，總體上，兩種積分方法下，一位輪對(duì)和一位構(gòu)架的頻域傳遞特性與解析解均比較接近，在經(jīng)過局部放大的65～80Hz以及140～150Hz頻域區(qū)間上可以發(fā)現(xiàn)，本文方法在數(shù)值上和走勢(shì)上均與解析解更為接近，說明較比快速顯式法，本文積分格式計(jì)算精度對(duì)于系統(tǒng)中頻和較高頻特性模擬的準(zhǔn)確度上有所提高。

4結(jié)論

本文方法具有簡(jiǎn)單、實(shí)用和較為精確的特征，計(jì)算算例表明該方法在數(shù)值計(jì)算求解線性和非線性微分方程準(zhǔn)確、有效。即求解線性問題的數(shù)值積分時(shí)計(jì)算結(jié)果相比于快速顯式積分法有更高精度，非線性問題的數(shù)值積分時(shí)高精度預(yù)測(cè)校正格式計(jì)算精度優(yōu)于基本格式，本文的高精度預(yù)測(cè)校正格式計(jì)算精度更是高于快速顯式積分法的高精度格式。應(yīng)用于車輛軌道垂向系統(tǒng)幅頻特性計(jì)算時(shí)，本文方法得到幅頻響應(yīng)函數(shù)在低頻段與快速顯式積分法較為一致并非常接近解析精確解，但在100Hz上下及300～500Hz等多個(gè)局部位置對(duì)比發(fā)現(xiàn)，本文方法模擬結(jié)果在數(shù)值上和走勢(shì)上更為精確。與快速顯式方法相比，本文方法計(jì)算平均計(jì)算用時(shí)略有增加，增長(zhǎng)比率約1%，仍然處于可以接受的范圍。

參考文獻(xiàn)：

[1]李慶揚(yáng)，王能超，易大義.數(shù)值分析[M].第4版.武漢： 華中科技大學(xué)出版社，2006：121—122.

LI Qingyang， WANG Nengchao， YI Dayi. Numerical Analysis[M].4th ed. Wuhan： Hua zhong University of Science and Technology Press， 2006：121—122.

[2]桂國慶，何玉教.求解結(jié)構(gòu)動(dòng)力方程的高精度直接積分法[J]. 天津大學(xué)學(xué)報(bào)，1993，（6）：36—45.

GUI Guoqing， HE Yujiao. High accurate direcit integration method for solving the equtions of stractural dynamic[J]. Journal of Tianjin University， 1993， （6）：36—45.

[3]翟婉明.車輛軌道耦合動(dòng)力學(xué) [M].第2版.北京：科學(xué)出版社，2001：107—120.

ZHAI Wanming. The Vehicletrack Coupling Dynamic [M].2nd ed.Beijing： Science Press， 2007：107—120.

[4]吳國榮，唐瑞霖，陳福全.結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)分析的一種簡(jiǎn)便算法[J]. 福建工程學(xué)院學(xué)報(bào)， 2005， 2（3）： 13—16.

WU Guorong， TANG Ruilin， CHEN Fuquan. An effective direct integration method for structure dynamic response analysis[J]. Journal of Fujian University of Technology， 2005，2（3）： 13—16.

[5]趙秋玲. 非線性動(dòng)力學(xué)方程的精細(xì)積分法[J]. 力學(xué)與實(shí)踐， 1998， 20（6）： 24—26.

ZHAO Qiuling. The Accurate Integration Method for solving nonlinear dynamics problems[J]. Journal of Mechanics and Practice， 1998， 20（6）： 24—26.

[6]裘春航，蔡志勤，呂和祥. 非線性動(dòng)力學(xué)問題的一個(gè)顯式精細(xì)積分算法[J]. 應(yīng)用力學(xué)學(xué)報(bào)， 2001， 18（2）：34—40.

QIU Chunhang， CAI Zhiqin， LV Hexiang. An explicit precise integration algorithm for nonlinear dynamics problems[J].Chinese Journal of Applied Mechanics， 2001， 18（2）： 34—40.

[7]王海波，余志武，陳伯望.非線性動(dòng)力方程的改進(jìn)分段直接積分法[J]. 工程力學(xué)， 2008，9（25）：13—22.

WANG Haibo， YU Zhiwu， CHEN Bowang. An improved segmenteddirectitegration method for nonlinar dynamic equations [J]. Journal of Engineering Mechanics， 2008，9 （25）：13—22.

[8]范奎武. 結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)中的一種直接積分法[J].強(qiáng)度與環(huán)境，2002，39（3）： 32—38.

FAN Kuiwu. Application of a direct integration method in the structural dynamics [J]. Structure& Environment Engineering ，2002， 39（3）：32—38.

[9]М К Тлеулинов. Об одном методе прямого интегрирования уравнений движения при динамическом，деформиированииконструкций летательных[J].аппаратов：М.2008.6c.Деп.вВИНИТИ17， 2008： 626B2008.

[10]任尊松.輪軌多點(diǎn)接觸及車輛道岔系統(tǒng)動(dòng)態(tài)相互作用[M].北京：科學(xué)出版社，2014：65—66.

REN Zunsong. Wheel/Rail Multipoint Contacts and Vehicle Turnout System Dynamic Interactions[M]. Beijing： Science Press， 2014：65—66.