趙學(xué)智 聶振國(guó) 葉邦彥 陳統(tǒng)堅(jiān)

摘要： 針對(duì)信號(hào)的有效奇異值選擇問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)了有效奇異值和信號(hào)頻率個(gè)數(shù)之間存在重要聯(lián)系，研究結(jié)果表明有效奇異值數(shù)量由信號(hào)中的頻率個(gè)數(shù)決定，而與頻率大小及其幅值無(wú)關(guān)，只要信號(hào)所構(gòu)造矩陣的維數(shù)大于信號(hào)中頻率個(gè)數(shù)的兩倍，則每一個(gè)頻率成分產(chǎn)生兩個(gè)有效奇異值。研究了噪聲干擾下有效奇異值的分布規(guī)律，發(fā)現(xiàn)隨著矩陣維數(shù)的增加，有效奇異值受噪聲的影響逐漸變小，而噪聲產(chǎn)生的奇異值則會(huì)被分離到有效奇異值之后?；诿恳粋€(gè)頻率成分產(chǎn)生兩個(gè)奇異值這一特性，提出利用SVD提取由一個(gè)或多個(gè)特征頻率構(gòu)成的特征信號(hào)時(shí)域波形，并將這一方法用于軸承和轉(zhuǎn)子振動(dòng)的波形特征提取，其效果優(yōu)于小波變換。

關(guān)鍵詞： 信號(hào)處理； 奇異值分解； 有效奇異值； 特征提取

中圖分類號(hào)： TN911.7； TH165+.3 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A 文章編號(hào)： 1004-4523（2016）03-0532-10

DOI：10.16385/j.cnki.issn.10044523.2016.03.020

引 言

近年來(lái)，奇異值分解（Singular value decomposition， SVD）在振動(dòng)模態(tài)[1]、心電信號(hào)[23]、聲發(fā)射信號(hào)[4]、機(jī)械故障診斷[56]、小波變換[7]、地球電磁場(chǎng)信號(hào)[8]等方面獲得了廣泛的應(yīng)用。如Araujo等利用SVD中的左奇異向量來(lái)估計(jì)梁的振動(dòng)模態(tài)[1]；Ahmed等將SVD和小波變換相結(jié)合用于心電信號(hào)的壓縮[2]；Jung WooHyuk等則利用SVD方法來(lái)提取心電信號(hào)的R波峰[3]；Samraj等利用SVD提取刀具聲發(fā)射信號(hào)的特征，用于對(duì)刀具磨損的監(jiān)測(cè)[4]；Su Zhongyuan等將SVD和HilbertHuang變換相結(jié)合，用于對(duì)齒輪箱故障的識(shí)別和分類[5]；Cong Feiyun等提出了一種短時(shí)序列矩陣的SVD方法，用于軸承故障診斷[6]；此外，SVD對(duì)Morlet小波變換冗余數(shù)據(jù)的壓縮[7]和信號(hào)消噪[8]也有很好的效果?？偟恼f(shuō)來(lái)，在這些應(yīng)用中，都會(huì)面臨著一個(gè)重要問(wèn)題，那就是有效奇異值的確定問(wèn)題，它決定著SVD的信號(hào)處理效果，但是這一問(wèn)題從來(lái)沒(méi)有很好地解決。以信號(hào)降噪為例，其關(guān)鍵是選擇出合理的奇異值進(jìn)行SVD重構(gòu)，才能得到既消除了噪聲，又保留了原信號(hào)所有頻率信息的處理結(jié)果，然而對(duì)于一個(gè)有著特定頻率個(gè)數(shù)的信號(hào)，它到底有多少個(gè)有效奇異值的問(wèn)題很少有人認(rèn)真去研究過(guò)。文[9]在估計(jì)正弦信號(hào)的奇異值時(shí)，認(rèn)為一個(gè)頻率對(duì)應(yīng)一個(gè)奇異值，但這一結(jié)果值得商榷。此外更多的研究都是集中于利用奇異值進(jìn)行各種運(yùn)算得到一些特征點(diǎn)來(lái)確定有效奇異值，如差分譜法[10]、奇異熵法[11]、聚類法[12]等等，這些方法并沒(méi)有從根本上分析信號(hào)的有效奇異值個(gè)數(shù)問(wèn)題，只是通過(guò)對(duì)奇異值序列進(jìn)行不同運(yùn)算得到一些特征點(diǎn)，由此來(lái)選擇有效奇異值，但是在實(shí)際應(yīng)用中總是難以適應(yīng)各種不同的情況。文[13]利用SVD來(lái)獲得彼此獨(dú)立的分量信號(hào)，文中討論了矩陣行數(shù)和列數(shù)對(duì)分量信號(hào)獨(dú)立性的影響，并認(rèn)為矩陣行數(shù)大于15時(shí)可以獲得具有獨(dú)立性的一組分量信號(hào)。文[14]則將這種方法引入到軸承的故障診斷中，并分別采用大的奇異值和分量信號(hào)的能量作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入來(lái)識(shí)別軸承的故障。在這兩篇論文中均未涉及到奇異值數(shù)目和頻率個(gè)數(shù)的關(guān)系問(wèn)題，也未涉及到單個(gè)頻率的分離問(wèn)題，而這兩個(gè)問(wèn)題是本文的研究核心。通過(guò)研究，發(fā)現(xiàn)了有效奇異值個(gè)數(shù)和信號(hào)所含頻率個(gè)數(shù)之間的內(nèi)在關(guān)系，指出有效奇異值數(shù)目?jī)H由頻率個(gè)數(shù)確定，而與頻率大小、頻率的幅值和相位無(wú)關(guān)，對(duì)于具有確定頻率個(gè)數(shù)的信號(hào)，明確地指出了其有效奇異值的數(shù)目；文中進(jìn)一步分析了噪聲干擾下信號(hào)的奇異值分布規(guī)律，分析了頻率的幅值和奇異值大小的關(guān)系，這些結(jié)果為有效奇異值的選擇具有明確的指導(dǎo)作用。文中的研究結(jié)果還表明，利用頻率和奇異值的內(nèi)在聯(lián)系，SVD還可對(duì)由一個(gè)或多個(gè)特征頻率構(gòu)成的特征信號(hào)進(jìn)行提取，這種時(shí)域波形特征提取不同于通常的SVD消噪，也和利用SVD的左右奇異向量的正交性實(shí)現(xiàn)對(duì)特征向量的正交化有本質(zhì)不同。

4 結(jié) 論

有效奇異值的選擇一直是SVD研究中的一個(gè)重要問(wèn)題，本文發(fā)現(xiàn)了有效奇異值個(gè)數(shù)和頻率數(shù)量的內(nèi)在聯(lián)系，并分析了含噪信號(hào)的奇異值分布規(guī)律，這除了可為有效奇異值的選擇提供明確的依據(jù)外，還可以利用SVD實(shí)現(xiàn)對(duì)由單個(gè)或多個(gè)頻率構(gòu)成的特征信號(hào)的時(shí)域波形進(jìn)行提取?？偨Y(jié)全文，可以得到如下結(jié)論：

（1） 在Hankel矩陣方式下，信號(hào)的有效奇異值數(shù)量只與信號(hào)中的頻率個(gè)數(shù)有關(guān)，而與頻率大小及其幅值和相位無(wú)關(guān)，每一個(gè)頻率成分總是最多只產(chǎn)生兩個(gè)非零奇異值，頻率的幅值越大，則其對(duì)應(yīng)的兩個(gè)奇異值也越大，且這兩個(gè)奇異值總是一前一后緊密排在一起不會(huì)分開(kāi)。

（2） 對(duì)于含有r個(gè)頻率成分的含噪信號(hào)，只要其構(gòu)造的Hankel矩陣的維數(shù)大于2r，則其有效的奇異值個(gè)數(shù)為2r，并且隨著矩陣維數(shù)的增加，有效奇異值受噪聲的影響逐漸變小，而噪聲產(chǎn)生的奇異值則會(huì)被分離到這2r個(gè)有效奇異值之后。

（3） 基于每個(gè)頻率產(chǎn)生兩個(gè)非零奇異值這一特性，可以利用SVD對(duì)由單個(gè)或多個(gè)頻率構(gòu)成的特征信號(hào)的時(shí)域波形進(jìn)行提取，提取的結(jié)果沒(méi)有相位滯后，是一種零相移提取方法。文中利用這種方法提取到了軸承振動(dòng)的基頻波形，結(jié)果顯示這基頻振動(dòng)幅值是逐漸增長(zhǎng)的，并通過(guò)這一方法提取到了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)由轉(zhuǎn)頻和二倍轉(zhuǎn)頻構(gòu)成的時(shí)域波形以及各自單獨(dú)的時(shí)域波形，結(jié)果顯示了二倍轉(zhuǎn)頻振動(dòng)先逐漸增大、后有所減小這一過(guò)程，這種特征提取效果遠(yuǎn)優(yōu)于小波變換。

參考文獻(xiàn)：

[1] Araujo I G， Laier J E. Operational modal analysis using SVD of power spectral density transmissibility matrices [J]. Mechanical System and Signal Processing， 2014， 46（1）： 129—145.

[2] Ahmed S M， Alzoubi Q， Abozahhad M. A hybrid ECG compression algorithm based on singular value decomposition and discrete wavelet transform [J]. Journal of Medical Engineering and Technology， 2007， 31（1）： 54—61.

[3] Jung WooHyuk， Lee SangGoog. An Rpeak detection method that uses a SVD filter and a search back system [J]. Computer Methods and Programs in Biomedicine， 2012， 108（3）： 1121—1132.

[4] Samraj A， Sayeed S， Raja J E， et al. Dynamic clustering estimation of tool flank wear in turning process using SVD models of the emitted sound signals [J]. World Academy of Science， Engineering and Technology， 2011， 56： 1322—1326.

[5] Su Zhongyuan， Zhang Yaoming， Jia Minping， et al. Gear fault identification and classification of singular value decomposition based on HilbertHuang transform [J]. Journal of Mechanical Science and Technology， 2011， 25（2）： 267—272.

[6] Cong Feiyun， Chen Jin， Dong Guangming， et al. Shorttime matrix series based on singular value decomposition for rolling bearing fault diagnosis [J]. Mechanical Systems and Signal Processing， 2013， 34 （12）： 218—230.

[7] 趙學(xué)智， 陳統(tǒng)堅(jiān)， 葉邦彥. 奇異值分解對(duì)連續(xù)Morlet小波變換的壓縮和提純[J]. 機(jī)械工程學(xué)報(bào)， 2015， 51（16）： 57—70.

Zhao Xuezhi， Chen Tongjian， Ye Bangyan. Purification and compression of continuous Morlet wavelet transform based on singular value decomposition[J]. Journal of Mechanical Engineering， 2015， 51（16）： 57—70.

[8] Reninger P A， Martelet G， Deparis J. Singular value decomposition as a denoising tool for airborne time domain electromagnetic data [J]. Journal of Applied Geophysics， 2011， 75（2）： 264—276.

[9] Baogang Hu， Raymond G Gosine. A new eigenstructure method for sinusoidal signal retrieval in white noise： estimation and pattern recognition [J]. IEEE Transactions on Signal Processing， 1997， 45（12）： 3073—3083.

[10] 趙學(xué)智， 葉邦彥， 陳統(tǒng)堅(jiān). 奇異值差分譜理論及其在車床主軸箱故障診斷中的應(yīng)用[J]. 機(jī)械工程學(xué)報(bào)， 2010， 46（1）： 100—108.

Zhao Xuezhi， Ye Bangyan， Chen Tongjian. Difference spectrum theory of singular value and its application to the fault diagnosis of headstock of lathe [J]. Journal of Mechanical Engineering， 2010， 46（1）： 100—108.

[11] WenXian Yang， Peter W T. Development of an advanced noise reduction method for vibration analysis based on singular value decomposition [J]. NDT&E; International， 2003， 36（6）： 419—432.

[12] 王維， 張英堂， 徐章遂. 基于動(dòng)態(tài)聚類的奇異值降噪方法研究[J]. 振動(dòng)工程學(xué)報(bào)， 2008， 21（3）： 304—308.

Wang Wei， Zhang Yingtang， Xu Zhangsui. Noise reduction in singular value decomposition based on dynamic clustering[J]. Journal of Vibration Engineering， 2008， 21（3）： 304—308.

[13] Alonso F J， Salgado D R. Analysis of the structure of vibration signals for tool wear detection [J]. Mechanical Systems and Signal Processing， 2008， 22（3）： 735—748.

[14] Muruganatham B， Sanjith M A， Krishnakumar B， et al. Roller element bearing fault diagnosis using singular spectrum analysis [J]. Mechanical Systems and Signal Processing， 2013， 35（12）： 150—166.

[15] 宋乾坤， 柳斌. 矩陣奇異值的兩個(gè)不等式的推廣[J]. 自貢師專學(xué)報(bào)（綜合版）， 1994， 4：77—79.

Song Qiankun， Liu Bin. Generalization of two inequalities on singular values of matrix[J]. Journal of Zigong Junior College of Teachers （Integration Edition）， 1994， 4：77—79.

[16] 趙學(xué)智， 葉邦彥. 分量形成方式對(duì)奇異值分解信號(hào)處理效果的影響[J]. 上海交通大學(xué)學(xué)報(bào)， 2011， 45（3）： 368—374.

Zhao Xuezhi， Ye Bangyan. Influence of formation manner of component on signal processing effect of singular value decomposition[J]. Journal of Shanghai Jiaotong University， 2011， 45（3）： 368—374.

[17] Case Western Reserve University Bearing Data Center， Download a data file [EB/OL].http：//csegroups.case.edu/bearingdatacenter/pages/downloaddatafile.

[18] 趙學(xué)智， 葉邦彥， 陳統(tǒng)堅(jiān). 無(wú)顯式表達(dá)小波在不同尺度下的離散生成算法及幅頻特性[J]. 振動(dòng)工程學(xué)報(bào)， 2011， 24（5）： 546—554.

Zhao Xuezhi， Ye Bangyan， Chen Tongjian. Discrete generation algorithm and amplitudefrequency property of wavelet without analytic expression in various scales[J]. Journal of Vibration Engineering， 2011， 24（5）： 546—554.