關(guān)　健,郜峰利,張　馳,曹軍勝,張振國(guó),郭樹旭

(1.集成光電子學(xué)國(guó)家重點(diǎn)聯(lián)合實(shí)驗(yàn)室吉林大學(xué)實(shí)驗(yàn)區(qū),吉林大學(xué)電子科學(xué)與工程學(xué)院,吉林長(zhǎng)春130012;2.中國(guó)科學(xué)院長(zhǎng)春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所,吉林長(zhǎng)春 130033)

?

間歇混沌合成1/f噪聲的相關(guān)特性分析

關(guān)健1,郜峰利1,張馳1,曹軍勝2,張振國(guó)1,郭樹旭1

(1.集成光電子學(xué)國(guó)家重點(diǎn)聯(lián)合實(shí)驗(yàn)室吉林大學(xué)實(shí)驗(yàn)區(qū),吉林大學(xué)電子科學(xué)與工程學(xué)院,吉林長(zhǎng)春130012;2.中國(guó)科學(xué)院長(zhǎng)春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所,吉林長(zhǎng)春 130033)

本文利用非線性隨機(jī)微分方程來(lái)合成間歇混沌信號(hào),針對(duì)該信號(hào)表現(xiàn)出的1/f噪聲特征,在不同消失矩的小波基下進(jìn)行相關(guān)特性分析.仿真結(jié)果發(fā)現(xiàn),在功率譜的中間頻段內(nèi),該信號(hào)的功率譜密度表現(xiàn)出典型的1/f噪聲特性,其小波變換系數(shù)方差與相應(yīng)的小波尺度呈對(duì)數(shù)線性關(guān)系;且在該頻段內(nèi),部分尺度下該間歇性信號(hào)的小波變換系數(shù)的相關(guān)性隨小波基的消失矩的增大而減小,在另一部分尺度下該相關(guān)性則隨著消失矩的增大而增大.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,隨小波消失矩的增大,并非在所有尺度下小波變換對(duì)該間歇性信號(hào)均具有去相關(guān)作用.論文討論了小波變換系數(shù)的方差和尺度的關(guān)系,詳細(xì)分析了小波變換系數(shù)的相關(guān)性隨小波消失矩的變化趨勢(shì).

間歇性;1/f噪聲;小波變換;相關(guān)性;

1　引言

1/f噪聲,也稱為粉紅噪聲,是廣泛存在于自然界中的一種非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程[1],功率譜密度(Power Spectral Density,PSD)S(f)呈現(xiàn)出S(f)～A/fβ(0<β<2,β一般接近1)的形式的隨機(jī)過(guò)程都可以認(rèn)為是1/f噪聲.1925年J B Johnson首次在真空電子管中發(fā)現(xiàn)了1/f噪聲[2],隨后人們?cè)诎雽?dǎo)體器件中也發(fā)現(xiàn)了1/f噪聲的存在,不僅如此,在很多系統(tǒng)中都能觀察到1/f噪聲,例如生物,物理,音樂,醫(yī)學(xué),股票,自然災(zāi)害等[2～8].雖然對(duì)1/f噪聲的研究至今已有60年左右,但是對(duì)于1/f噪聲的具體產(chǎn)生機(jī)制依舊沒有一個(gè)確切的定論,現(xiàn)存的一些關(guān)于1/f噪聲的模型往往也只能在某些系統(tǒng)中適用.然而對(duì)于1/f噪聲特性的研究依然是一個(gè)十分熱門的領(lǐng)域,特別是近年來(lái)人們發(fā)現(xiàn)半導(dǎo)體器件中產(chǎn)生的1/f噪聲的特性與器件的質(zhì)量和可靠性有著密切的關(guān)系,通過(guò)測(cè)量和研究半導(dǎo)體器件的1/f噪聲特性可以成為一種有效評(píng)估半導(dǎo)體器件性能及其可靠性的無(wú)損檢測(cè)手段[9,10].1/f噪聲的長(zhǎng)程相關(guān)性作為其重要特性之一,其研究也具有十分重要的學(xué)術(shù)意義和應(yīng)用價(jià)值.

隨著非線性科學(xué)中混沌理論的建立和應(yīng)用[11,12],人們發(fā)現(xiàn)混沌理論中存在一種間歇混沌(intermittency)也可以產(chǎn)生1/f噪聲[13].相比傳統(tǒng)的合成法,利用間歇混沌來(lái)合成1/f噪聲的頻率指數(shù)可調(diào)性更強(qiáng),同時(shí)能在很寬的頻域內(nèi)表現(xiàn)出1/f噪聲特性.間歇混沌,是系統(tǒng)從規(guī)則有序轉(zhuǎn)變到混沌狀態(tài)的一種中間態(tài),即系統(tǒng)時(shí)而表現(xiàn)出有序時(shí)而表現(xiàn)出隨機(jī)混沌的一種狀態(tài).通常當(dāng)系統(tǒng)的某些參數(shù)的變化突破某一臨界值時(shí),間歇混沌就出現(xiàn)了.最早Pomeau和Manneville提出了三種混沌間歇模型[14],后來(lái)相繼出現(xiàn)了誘發(fā)激變型間歇混沌(crisis-induced intermittency)[15],含有不變子空間的非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中的on-off型間歇混沌[16,17]等.最近,又提出了用非線性隨機(jī)微分方程(Stochastic Differential Equations,SDEs)產(chǎn)生間歇混沌以獲取1/f噪聲信號(hào)的方法[18～21].文獻(xiàn)[21]中Ruseckas將SDEs結(jié)合非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng),發(fā)現(xiàn)當(dāng)橫截L(Lyapunov)指數(shù)為零時(shí),偏離不變子空間的偏移量的PSD能在較寬的頻帶內(nèi)表現(xiàn)出1/fβ的特征.本文利用Ruseckas提出的方法合成間歇混沌信號(hào),并利用小波變換對(duì)該合成信號(hào)進(jìn)行分析,發(fā)現(xiàn)在表現(xiàn)出1/f噪聲特性的頻段內(nèi)所對(duì)應(yīng)的尺度與小波變換系數(shù)的方差呈對(duì)數(shù)線性關(guān)系;同時(shí),并非所有尺度下小波變換對(duì)其均具有去相關(guān)性,僅在一部分尺度下,該合成信號(hào)的小波變換系數(shù)的相關(guān)性隨小波基的消失矩的增大而減小,而在另一部分尺度下該相關(guān)性則隨著消失矩的增大而增大.此外,當(dāng)小波基消失矩一定時(shí),小波變換系數(shù)的相關(guān)性均隨尺度的增大而增大.論文針對(duì)這種方法合成的1/f噪聲信號(hào)的上述特征進(jìn)行了詳盡的分析.

2　理論方法

2.11/f噪聲信號(hào)的間歇混沌合成

對(duì)于一個(gè)有如下結(jié)構(gòu)的二維映射[16]

xn+1=F(xn),yn+1=G(xn,yn)

(1)

對(duì)?xn都有G(xn,0)≡0,因此y=0代表一個(gè)不定子空間.yn代表偏移不定子空間的偏移量.一般驅(qū)動(dòng)變量xn是混沌的,橫截L指數(shù)為

(2)

(3)

yn+1=wnyn，η>1

(4)

將式(4)兩邊取對(duì)數(shù)得到

sn+1=sn+zn

(5)

其中sn=lnyn,zn=lnwn,產(chǎn)生間歇性的臨界條件為〈z〉=0.考慮到y(tǒng)n和sn之間的高度非線性關(guān)系能夠產(chǎn)生間歇性,因此引入q指數(shù),定義如下

(6)

(7)

(8)

式(7)可轉(zhuǎn)化為

(9)

其中,變量zn的計(jì)算由下式給出

(10)

理論上當(dāng)〈z〉=0時(shí),就能產(chǎn)生間歇性,這里取〈z〉=9×10-4,略大于0同時(shí)遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于變量zn的標(biāo)準(zhǔn)差,這樣就確保了一定能產(chǎn)生間歇性,方差〈(z-〈z〉)2〉=1,迭代驅(qū)動(dòng)變量xn采用帳篷映射如下

(11)

其中〈x〉=0.5,〈(x-〈x〉)2〉=1/12,通過(guò)式(9)～(11)迭代n-1次后,就能產(chǎn)生長(zhǎng)度為n的間歇性信號(hào),由SDEs產(chǎn)生的信號(hào)的PSD具有1/fβ特性的部分的頻率指數(shù)β可由下式得到[18,21,22]

(12)

這里ν=η=3,計(jì)算得β=1.

2.21/f噪聲信號(hào)的小波系數(shù)相關(guān)性

1/f噪聲在空間上具有分形特征,即自相似性,在時(shí)間上又具有長(zhǎng)程相關(guān)性,信號(hào)中的每一點(diǎn)都蘊(yùn)含著豐富的信息.對(duì)于常用分析信號(hào)譜的方法,比如傅里葉變換,在積分的過(guò)程中,可能丟失信號(hào)畸變點(diǎn)、突變點(diǎn)的大量信息,這將影響分析結(jié)果并得到不準(zhǔn)確的結(jié)論.在以往分析信號(hào)的諸多方法中,應(yīng)用比較廣泛的小波分析,是一種十分有效地時(shí)頻分析方法,且小波變換的多尺度特性,能準(zhǔn)確的捕捉突變點(diǎn)的信息,其次小波也具有自相似性,這些特點(diǎn)使得小波比較適合用于分析1/f噪聲的特性.因此合成間歇混沌信號(hào)之后,我們用不同消失矩的小波基對(duì)該信號(hào)進(jìn)行小波分析.小波變換采用最常見的二進(jìn)制小波變換,設(shè)1/f噪聲信號(hào)y(t),y(t)∈L2(R),其小波變換系數(shù)的方差和尺度的關(guān)系為[23]

(13)

(14)

如果小波基具有N階消失矩[23],即

Ψr(ω)=0,r=0,1,2,…,N-1

(15)

此時(shí)ω是Ψ(ω)的N階零點(diǎn),記為Ψ(ω)=ωNΨ0(ω)

代入式(14)可進(jìn)一步得到

(16)

N為小波消失矩,從式(16)可以看出當(dāng)頻率因子β,k-k′和尺度m一定,且滿足2N+1>β時(shí),E和消失矩N的關(guān)系主要由(k-k′)2N-β+1和|ω|2N-β兩項(xiàng)決定,隨著消失矩的增大,(k-k′)2N-β+1項(xiàng)使得相關(guān)性E減小,然而|ω|2N-β項(xiàng)則會(huì)使相關(guān)性E增大,即E的變化趨勢(shì)主要受(k-k′)2N-β+1和|ω|2N-β兩項(xiàng)權(quán)重的影響.

3　仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果

利用迭代公式(9)產(chǎn)生長(zhǎng)度n=223的間歇信號(hào)yn如圖1所示,其中圖1(a)為時(shí)域波形,圖1(b)為信號(hào)yn1000個(gè)PSD進(jìn)行平均的結(jié)果.從圖1(a)可以看出生成的信號(hào)是穩(wěn)定和爆發(fā)態(tài)交替出現(xiàn)的,說(shuō)明生成的信號(hào)具有間歇混沌信號(hào)的典型特征.從圖1(b)中可以看出平均PSD在中間很寬的一段頻率范圍內(nèi)表現(xiàn)出1/f噪聲的特性,其大概頻率范圍為10-5f10-1.5,圖中的虛線部分則為該頻段范圍的線性擬合曲線,斜率k=-0.977,這與之前理論部分計(jì)算的β=1相當(dāng)接近,說(shuō)明生成的間歇性信號(hào)是正確的,且在中間頻段內(nèi)表現(xiàn)出了我們所需要的1/f噪聲特性.

為了分析小波變換對(duì)間歇性信號(hào)產(chǎn)生的1/f噪聲的相關(guān)性的影響,在具有不同消失矩的db小波基下對(duì)該間歇性信號(hào)yn做二進(jìn)小波變換得到相應(yīng)的小波變換系數(shù),然后對(duì)所得小波變換系數(shù)做自相關(guān)運(yùn)算,由于計(jì)算機(jī)內(nèi)存的限制,消失矩N取1～9.為了表征相關(guān)函數(shù)序列整體相關(guān)性的大小,計(jì)算相關(guān)性函數(shù)序列的最大值E,通過(guò)式(16)即可獲得不同尺度下E與所選小波基的消失矩N的關(guān)系.從所有尺度中選取部分尺度下的結(jié)果如圖3所示,其中圖3(a)為m=12,17的結(jié)果,圖3(b)為m=6,7的結(jié)果,內(nèi)嵌圖分別為所對(duì)應(yīng)曲線的放大圖.從圖3(a)中可以看出,相關(guān)性E隨著消失矩N的增大而呈緩慢下降的趨勢(shì),且下降的趨勢(shì)越來(lái)越小.說(shuō)明在尺度m=12,17下小波變換具有去相關(guān)性的作用.而從圖3(b)中可以看出,當(dāng)m=6時(shí),相關(guān)性E先隨著消失矩N的增大而迅速下降隨后有略微增大的趨勢(shì),但增大的程度十分微弱,整體仍然呈現(xiàn)相關(guān)性減小的趨勢(shì);而當(dāng)m=7時(shí),相關(guān)性E隨著消失矩N的增大而逐漸增大,此時(shí)小波變換具有增強(qiáng)相關(guān)性的作用.計(jì)算結(jié)果顯示,在尺度:1、3、4、5、6、8、10、12、17、18、21下,相關(guān)性隨消失矩的增大而減小;而在尺度:2、7、9、11、13、14、15、16、19、20、22、23下,相關(guān)性隨消失矩的增大而增大.圖3現(xiàn)象可由式(16)進(jìn)行解釋,尺度m=6,12,17下的積分項(xiàng)系數(shù)對(duì)相關(guān)性的影響起主要作用,而在尺度m=7下的積分項(xiàng)對(duì)相關(guān)性的影響起主要作用.上述現(xiàn)象表明,在部分尺度下小波變化系數(shù)的相關(guān)性E隨消失矩N的增大而減小,即小波變化對(duì)1/f噪聲具有去相關(guān)性的作用,而在另一些尺度下小波變化系數(shù)的相關(guān)性E又隨著N的增大有增大的趨勢(shì),所以并非在所有尺度下小波變換對(duì)該間歇性信號(hào)產(chǎn)生的1/f噪聲均具有去相關(guān)性的作用.此外,當(dāng)消失矩N固定時(shí)小波變換的尺度m越大,對(duì)應(yīng)的小波系數(shù)之間的相關(guān)性E越大,這是由于在小波空間分解1/f類分形信號(hào),大尺度對(duì)應(yīng)其低頻部分的小波變換系數(shù),而根據(jù)1/f類分形信號(hào)的頻譜定義式(1),頻率越低1/f類分形信號(hào)的強(qiáng)度越大,故大尺度下的小波變換系數(shù)之間的相關(guān)性就越大.

4　結(jié)束語(yǔ)

本文對(duì)非線性隨機(jī)微分方程產(chǎn)生的間歇性信號(hào)的1/f特性進(jìn)行了分析,仿真實(shí)驗(yàn)首先利用隨機(jī)微分方程合成間歇性信號(hào),其功率譜密度在中間較寬的頻段范圍內(nèi)表現(xiàn)出了1/f噪聲的典型特性.然后采用不同消失矩的小波基對(duì)該間歇性信號(hào)進(jìn)行小波變換,分別計(jì)算了不同尺度下小波變換系數(shù)的相關(guān)性和方差,結(jié)果顯示,間歇性信號(hào)的PSD表現(xiàn)出1/f噪聲特性的頻段內(nèi)所對(duì)應(yīng)的尺度與小波變換系數(shù)方差的呈對(duì)數(shù)線性關(guān)系;此外在一部分尺度下該間歇性信號(hào)的小波變換系數(shù)的相關(guān)性隨小波基的消失矩的增大而衰減,在另一部分尺度下該相關(guān)性則隨著消失矩的增大而增大,證明了小波變換并非在所有尺度下對(duì)該間歇性信號(hào)產(chǎn)生的1/f噪聲均起到去相關(guān)性的作用.此外,當(dāng)小波基消失矩一定時(shí),小波變換系數(shù)的相關(guān)性均隨尺度的增大而增大.

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關(guān)健男,1990年7月生,吉林長(zhǎng)春人,現(xiàn)為吉林大學(xué)電子科學(xué)與工程學(xué)院研究生,目前主要從事半導(dǎo)體激光器1/f噪聲特性研究.

E-mail:guanjian14@jlu.edu.cn

郜峰利(通信作者)男,1977年11月生,河南沁陽(yáng)人,現(xiàn)為吉林大學(xué)電子科學(xué)與工程學(xué)院副教授.主要從事半導(dǎo)體激光器噪聲特性及其應(yīng)用方面的研究.

E-mail:gaofl@jlu.edu.cn

Analysis of Correlation Characteristics of 1/f Noise Generated by Intermittency

GUAN Jian1,GAO Feng-li1,ZHANG Chi1,CAO Jun-sheng2,ZHANG Zhen-guo1,GUO Shu-xu1

(1.StateKeyLaboratoryonIntegratedOptoelectronics,CollegeofElectronicScienceandEngineering,JilinUniversity,Changchun,Jilin130012,China;2.ChangchunInstituteofOptics,FineMechanicsandPhysics,ChineseAcademyofSciences,Changchun,Jilin130033,China)

In this paper the nonlinear stochastic differential equation is used to generalize an intermittency signal,and the correlation of its 1/fnoise characteristics under the wavelet bases with different vanishing moments are analyzed.The simulation results show that in the middle band of the frequency spectrum,its power spectrum density (PSD) shows typical 1/fnoise characteristics,and the relationship of the signal’s wavelet transformation coefficient variance and the corresponding wavelet scale is linear under logarithm coordinate.In this frequency band,under some scales the signal’s wavelet transformation coefficient correlations decrease with the vanishing moments growing,while in other scales,the correlations increase with the vanishing moment increasement.These results indicate that wavelet transformation does not always bring decorrelation to the intermittency signal.The relationship of the wavelet transformation coefficients’ variances and the scale,and the tendency of coefficients’ correlations with wavelet vanishing moments changing are analyzed.

intermittency;1/fnoise;wavelet transformation;correlation;

2014-12-09;修回日期:2015-01-22;責(zé)任編輯:梅志強(qiáng)

國(guó)家自然科學(xué)基金青年科學(xué)基金(No.61204055);吉林省科技發(fā)展計(jì)劃青年科研基金(No.20130522188JH);吉林省科技發(fā)展計(jì)劃自然科學(xué)基金(No.20140101175JC)

TN911.6

A

0372-2112 (2016)06-1389-05