孫　嵐　王紅芳（江蘇省蘇州沙溪鎮(zhèn)高級(jí)中學(xué)）

巧用平面幾何解決高中數(shù)學(xué)問題

孫嵐王紅芳
（江蘇省蘇州沙溪鎮(zhèn)高級(jí)中學(xué)）

數(shù)學(xué)教學(xué)的目的不僅要求學(xué)生掌握好數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，還要求發(fā)展學(xué)生的能力，培養(yǎng)他們良好的個(gè)性品質(zhì)和學(xué)習(xí)習(xí)慣。很多學(xué)生初中學(xué)習(xí)也是不錯(cuò)的，高中后卻發(fā)現(xiàn)慢慢跟不上了，原因往往是學(xué)習(xí)太死，只會(huì)就事論事，脫離了知識(shí)與知識(shí)之間的聯(lián)系，高中的很多內(nèi)容與平面幾何都是有密不可分的關(guān)系的。下面就平面幾何在后繼學(xué)習(xí)中的價(jià)值做一些例證，以饗讀者。

一、平面幾何的空間推廣——立體幾何

立體幾何是在初中幾何知識(shí)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究立體圖性的基礎(chǔ)知識(shí)。研究立體圖形時(shí)，一方面要注意立體圖性問題與平面圖形問題的區(qū)別，另一方面也要注意立體圖性與平面圖形的聯(lián)系，在立體幾何中有很多基本概念，如異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角和兩條異面直線的距離、點(diǎn)到平面的距離、直線到平面的距離、兩個(gè)平行平面的距離等都是通過平面幾何相關(guān)的概念來定義，這使得對(duì)于平面圖形的研究成為討論立體圖形的基礎(chǔ)，從而立體圖形的問題常常轉(zhuǎn)化為平面圖形的問題來解決。

1.概念的延伸

平面幾何是在二維的平面上研究圖形，而立體幾何是在三維的空間分析問題，所以，我們不妨將平面中的點(diǎn)往一個(gè)方向延伸則成了一條線，將直線延伸則成了一個(gè)面等，有了這樣的思想我們就不難解決下面兩個(gè)問題。

例1.我們知道：周長一定的所有矩形中，正方形的面積最大；周長一定的所有矩形和圓中，圓的面積最大。將這些結(jié)論類比到空間，可以得到的結(jié)論是：

顯然答案應(yīng)為：表面積一定的所有長方體中，正方體的體積最大；表面積一定的所有長方體和球中，球的體積最大。

2.思想方法的推廣

正因?yàn)榱Ⅲw幾何是建立在平面幾何的基礎(chǔ)上，所以，它們解決問題的方法也有相似之處，我們來看看下面這個(gè)例子。

例2.平面幾何中有：邊長為a的正三角形內(nèi)任一點(diǎn)到三邊距離之和為定值，棱長為a的正四面體內(nèi)任一點(diǎn)到四個(gè)面的距離之和為_____。

在△ABC內(nèi)任取一點(diǎn)P，連接PA、PB、PC

設(shè)P到AB的距離為d1，到BC的距離為d2，

到AC的距離為d3，三角形的高為d。

則有S△ABC=S△PAB+S△PBC+S△PAC

這里采用的是對(duì)平面面積的割補(bǔ)法，類似的對(duì)于下一個(gè)正四面體的問題，我們也可以用類似方法來解答。

在正四面體ABCD內(nèi)任取一點(diǎn)P，連接PA、PB、PC、PD

設(shè)P到面ABC的距離為d1，到平面BCD的距離為d2，

到平面ABD的距離為d3，到平面ACD的距離為d4，

正四面體的高為d，各面面積均為S，

這里是對(duì)幾何體的體積進(jìn)行割補(bǔ)法，與上例如出一轍，可見，把握住平面幾何和空間幾何的聯(lián)系，對(duì)解決空間問題是很有幫助的。

3.利用平面展開圖解決立體幾何問題

例3.長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=a，BC=b，AA1=c，且a＞b＞c，現(xiàn)有一小蟲從A點(diǎn)出發(fā)沿長方體的表面爬行到C1點(diǎn)，請(qǐng)問小蟲爬行的最短距離是多少？

這是一個(gè)求最小值的問題，對(duì)于平面幾何我們有很多求最值的方法，但對(duì)于立體幾何的相關(guān)問題卻無從下手。于是我們考慮將問題轉(zhuǎn)化為平面問題，將長方體的表面展開如圖。

利用平面幾何中兩點(diǎn)間線段最短可知小蟲爬行經(jīng)過最短路程必為其中之一。

在高中階段，立體幾何承擔(dān)著學(xué)生空間想象能力培養(yǎng)的主要任務(wù)，研究立體幾何圖形的結(jié)構(gòu)成為學(xué)生主要的學(xué)習(xí)要點(diǎn)和難點(diǎn)，抓住平面幾何和立體幾何的關(guān)系進(jìn)行教學(xué)，有助于幫助學(xué)生溫故知新，通過類比的方法更深刻地理解立體幾何。

二、用平面幾何知識(shí)解決解析幾何問題

解析幾何是用代數(shù)方法解決幾何問題的一門學(xué)科，因此與平面幾何也是互相融合的，當(dāng)用代數(shù)方法過于繁復(fù)時(shí)，我們不妨思考一下能否用幾何方法解決。我們來看看下面的例子。

（1）當(dāng)l1與l2夾角為60°，且a2+b2=4時(shí)，求橢圓C的方程；

分析：第一小題解答比較容易，只要抓住兩條漸進(jìn)線與x軸夾角為30°，得到聯(lián)立即得，b=1。所以，橢圓C的方程為

初中數(shù)學(xué)是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)內(nèi)部各類別的知識(shí)也是相容相通的，有了初中的平面幾何，在此基礎(chǔ)上發(fā)展起來的立體幾何才有其生存成長的空間，所以，我們?cè)诮忸}過程中，不能就事論事，多做些思考，很多問題就會(huì)豁然開朗。

·編輯王團(tuán)蘭