鄧科　　姚官清（吉首大學(xué) 物理與機(jī)電工程學(xué)院，湖南 吉首 416000）

有限元仿真模擬在《理論聲學(xué)》教學(xué)中的應(yīng)用：利用散射柵實(shí)現(xiàn)聲子晶體相空間模式調(diào)控*

鄧科姚官清
（吉首大學(xué) 物理與機(jī)電工程學(xué)院，湖南 吉首 416000）

文章以帶有表面散射柵結(jié)構(gòu)的聲子晶體為例，探討了計(jì)算機(jī)仿真模擬在《理論聲學(xué)》教學(xué)中的應(yīng)用?；贑OMSOL Multiphysics軟件，利用有限元方法數(shù)值計(jì)算了表面柵聲子晶體的透射性質(zhì)，結(jié)果表明添加表面柵能有效實(shí)現(xiàn)聲波的相空間調(diào)控，并以此為基礎(chǔ)在聲子晶體帶隙頻率范圍內(nèi)實(shí)現(xiàn)了聲波的定向激發(fā)。這種基于仿真模擬的教學(xué)模式有利于抽象概念的形象化，具有較好的教學(xué)效果。

計(jì)算機(jī)仿真教學(xué)；多物理有限元模擬；散射柵聲子晶體

一、概述

聲波在周期性復(fù)合介質(zhì)（即聲子晶體）中的傳播行為是《理論聲學(xué)》課程中非常重要的一塊教學(xué)內(nèi)容。聲波在聲子晶體中傳播時(shí)，受到單體麥?zhǔn)仙⑸浜椭芷谛圆祭裆⑸涞墓餐饔?，形成?dú)特的能帶結(jié)構(gòu)。如何在能帶結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)的相空間實(shí)現(xiàn)聲波調(diào)控是教學(xué)中的一大難點(diǎn)。比如，學(xué)生通常很難理解聲子晶體模式在表面柵結(jié)構(gòu)散射下波矢量平行分量的增加效應(yīng)。文章提出在聲子晶體教學(xué)中引入計(jì)算機(jī)仿真模擬［1，2］，基于COMSOL Multiphysics軟件開展有限元數(shù)值計(jì)算，以帶有表面散射柵的聲子晶體的透射性質(zhì)為例，向?qū)W生清晰展示了通過添加表面柵結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)的聲波相空間的有效調(diào)控，并以此為基礎(chǔ)在聲子晶體帶隙頻率范圍內(nèi)實(shí)現(xiàn)了聲波的定向激發(fā)，為新型聲學(xué)器件的設(shè)計(jì)提供了有意的理論指導(dǎo)［3-9］。在這種仿真模擬教學(xué)環(huán)境下，學(xué)生能很方便的自主設(shè)置各種參數(shù)并查看結(jié)果，有利于加深學(xué)生對(duì)聲波在復(fù)合介質(zhì)中折射性質(zhì)的理解和掌握，具有較好的教學(xué)效果。

圖1有限元法計(jì)算得到的聲子晶體第一條能帶結(jié)構(gòu)

二、仿真教學(xué)模型的設(shè)計(jì)及結(jié)果分析

我們考慮一個(gè)由水圓柱四方排列于水銀基體中而形成的二維聲子晶體，水圓柱的半徑被設(shè)定為0.4mm，晶體排列的周期被設(shè)定為a=1mm。首先我們利用COMSOL Multiphysics有限元軟件數(shù)值計(jì)算了該聲子晶體的帶結(jié)構(gòu)，圖1給出了計(jì)算所得的第一條能帶。在計(jì)算中所用的材料參數(shù)如下：水銀的密度為p=1.35×104kg/m3、縱波波速為c=1.45×103m/s；水的密度為p=1.0×103kg/m3、縱波波速為cw=1.49×103m/s。從圖中可以看到，該聲子晶體在歸一化頻率0.2到0.28之間存在著一個(gè)沿X方向的方向帶隙。根據(jù)作者多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，此時(shí)，在參照《理論聲學(xué)》中有關(guān)聲波帶隙的知識(shí)點(diǎn)“晶體中的帶隙是聲波被禁止傳播的頻率范圍”后，多數(shù)學(xué)生很容易武斷地得出結(jié)論，認(rèn)為位于此頻率范圍的聲波在任何情況下都不能沿著晶體的X方向傳播。事實(shí)上，通過引入表面柵結(jié)構(gòu)，入射聲波波矢的平行分量將獲得增量，這種相空間的調(diào)制作用將使晶體中原本禁止聲波傳播的方向變?yōu)樵试S傳播的狀態(tài)，從而實(shí)現(xiàn)由禁帶向?qū)У霓D(zhuǎn)變。在傳統(tǒng)的教學(xué)中，帶有表面柵結(jié)構(gòu)的聲子晶體其色散計(jì)算比較復(fù)雜，很難給出解析結(jié)果，通常只能通過光學(xué)中的光柵方程作簡單的類比，于是進(jìn)一步向?qū)W生分析以上“由禁帶向?qū)А钡霓D(zhuǎn)變將變得比較困難。

*基金項(xiàng)目：本文得到吉首大學(xué)校級(jí)課題（2015JSUJGB01以及JC201507）的資助。

作者簡介：鄧科（1978-），男，湖南湘潭人，博士，副教授，從事凝聚態(tài)物理研究。

在此，我們提出利用基于COMSOL Multiphysics軟件的有限元方法數(shù)值計(jì)算帶有表面柵結(jié)構(gòu)的聲子晶體色散性質(zhì)，利用該軟件的“本征模態(tài)分析”模塊可以計(jì)算出聲子晶體本征模式相空間的等頻色散線圖。該圖保留了聲子晶體相空間中的所有模式信息，并可利用COMSOL軟件非常方面地調(diào)出每一個(gè)單獨(dú)模式進(jìn)行分析，從而進(jìn)一步確定每種模式對(duì)應(yīng)的物理圖像。具體過程如下，我們?cè)谝粔K沿著X方向排列的聲子晶體板系統(tǒng)中引入如圖2（a）所示的散射柵結(jié)構(gòu)。該散射柵結(jié)構(gòu)由位于聲子晶體板左右兩側(cè)對(duì)稱分布的兩排水圓柱組成。散射柵的半徑被設(shè)定為0.24mm，柵結(jié)構(gòu)沿著平行于聲子晶體板方向的周期為2mm（等于兩倍晶體周期），柵結(jié)構(gòu)與聲子晶體板之間的距離被設(shè)定為0.15mm?？紤]歸一化頻率為0.2694的聲波從圖2（a）中左面入射。在沒有散射柵結(jié)構(gòu)時(shí)，入射聲波將遇到晶體-基體沿X方向的界面。圖2（b）中深黑色的虛線半圓給出了歸一化頻率為0.2694的聲波在水銀基體中的等頻色散線，圖2（b）中實(shí)線圓則代表該頻率下聲子晶體中對(duì)應(yīng)的等頻色散線。從圖2（b）中我們可以看出，由于此時(shí)頻率較低，聲波在水銀基體中的等頻色散圓沿X方向與晶體中等頻色散線沒有任何交點(diǎn)，這意味著當(dāng)沒有散射柵時(shí)，在該頻率下從基體中以任意角度入射的聲波都將在聲子晶體板界面被全反射，這一分析結(jié)果驗(yàn)證了我們從圖1中獲得的帶隙結(jié)論（此時(shí)的分析結(jié)果與學(xué)生在課本中學(xué)習(xí)到的帶隙的概念是一致的）；當(dāng)存在散射柵時(shí)，由于柵結(jié)構(gòu)在平行晶體板方向具有周期性，柵結(jié)構(gòu)帶來的周期性散射使得入射波矢的平行分量獲得一個(gè)增量δk=n（2π/T），此處T=2a為散射柵沿平行晶體方向的周期，n為任意整數(shù)。對(duì)于一階情形（n=1），當(dāng)頻率為0.2694時(shí)，從基體中以任意角度入射的聲波首先將在左側(cè)散射柵的作用下獲得一個(gè)平行于晶體界面的波矢增量δk=0.5（2π/a），這在圖2（b）中相當(dāng)于左側(cè)的深黑色虛線半圓集體向上平移了0.5（2π/a）的距離，于是本來該全反射的入射聲波將按照廣義的折射定律參照?qǐng)D2（b）中的晶體等頻色散線（實(shí)線圓）發(fā)生折射。根據(jù)作者的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，通常分析至此時(shí)，學(xué)生已經(jīng)能夠?qū)τ缮⑸鋿艑?dǎo)致的“禁帶向?qū)А钡霓D(zhuǎn)變有了一個(gè)較為清楚的認(rèn)識(shí)。我們進(jìn)一步注意到，在該頻率下實(shí)線圓半徑相對(duì)于深黑色虛線半圓來說比較小，而且此時(shí)晶體中等頻色散線隨頻率增加逐漸向M點(diǎn)匯聚（形成以M點(diǎn)為中心的負(fù)折射色散態(tài)），也就是說，此時(shí)入射聲波將受到晶體的微量負(fù)折射作用。于是，如果在圖2（a）中復(fù)合體系的左側(cè)放置一個(gè)頻率為0.2694的點(diǎn)源，在聲子晶體和散射柵的共同作用下，在復(fù)合體系的右側(cè)我們將得到一束具有準(zhǔn)直效果的出射聲波［10］。為了驗(yàn)證以上分析，我們利用有限元方法數(shù)值模擬了圖2（a）中復(fù)合體系對(duì)頻率為0.2694的輸入點(diǎn)源的作用效果，結(jié)果由圖2 （c）給出。從圖中可以看到，在散射柵——聲子晶體復(fù)合系統(tǒng)的作用下，我們得到了較好的聲定向激發(fā)效果。以上的數(shù)值分析模擬過程能夠使學(xué)生對(duì)本節(jié)教學(xué)內(nèi)容產(chǎn)生形象的認(rèn)識(shí)，從而加深他們對(duì)表面柵的相空間調(diào)控這一知識(shí)難點(diǎn)的理解和掌握。

三、結(jié)束語

計(jì)算機(jī)仿真教學(xué)能有效幫助學(xué)生形成對(duì)知識(shí)點(diǎn)的形象認(rèn)識(shí)，是一項(xiàng)攻克知識(shí)難點(diǎn)的強(qiáng)有力的教學(xué)手段。文章以聲子晶體表面柵結(jié)構(gòu)對(duì)聲波相空間的調(diào)控作用這一知識(shí)難點(diǎn)為例，探討了仿真模擬教學(xué)在《理論聲學(xué)》課程中的應(yīng)用，通過將難以理解的知識(shí)點(diǎn)轉(zhuǎn)化為模擬結(jié)果中生動(dòng)形象的仿真結(jié)果，得到了較好的教學(xué)效果。

圖2

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Taking photonic crystals with surface scattering gratings，this paper discusses the application of computer simulation in the teaching of"Theoretical Acoustics".On the basis of COMSOL Multiphysics software，this paper works out the transmitting properties of photonic crystals with surface scattering by using the finite element method..It is demonstrated that acoustic phase modulation can be achieved by adding scattering gratings in a sonic crystal.Based on this mechanism，directional excitation of sound wave is fully realized within the gap frequency of photonic crystals.Such an analog-simulation-based teaching mode makes the abstract concept pictorial，thus will be effective and helpful in teaching process.

computer simulation teaching；Multiphysics finite element simulation；sonic crystal with scattering grating

2096-000X（2016）16-0072-02

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