鄧 雅 張錦江 馬艷紅,2 蔡 彪

1.北京控制工程研究所, 北京100190 2.空間智能控制技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 北京100190

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基于描述函數(shù)法的航天器非儲(chǔ)能噴氣控制器分析與設(shè)計(jì)*

鄧 雅1張錦江1馬艷紅1,2蔡 彪1

1.北京控制工程研究所, 北京100190 2.空間智能控制技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 北京100190

針對航天器噴氣發(fā)動(dòng)機(jī)模擬式控制器中的非儲(chǔ)能型非線性控制系統(tǒng)進(jìn)行分析設(shè)計(jì)。以Schmitt觸發(fā)器環(huán)節(jié)為例，基于描述函數(shù)法計(jì)算極限環(huán)交點(diǎn)，并利用系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出，得到穩(wěn)態(tài)極限環(huán)特性，計(jì)算描述函數(shù)意義下極限環(huán)頻率誤差界，給出控制器參數(shù)整定方法。通過仿真實(shí)例驗(yàn)證該方法通用、有效，為工程應(yīng)用提供參考。 關(guān)鍵詞 噴氣控制; 描述函數(shù)法; 非線性環(huán)節(jié); Nyquist圖

作為航天器上重要的執(zhí)行機(jī)構(gòu)之一，噴氣發(fā)動(dòng)機(jī)(或稱推力器)能夠提供較大的控制力矩，但通常只有開和關(guān)兩種狀態(tài)，使得控制輸出不連續(xù)，是一類典型的非線性系統(tǒng)，其控制器的分析和設(shè)計(jì)存在較大難度。

按照噴氣控制器的類別，可分為模擬式控制器與數(shù)字式控制器[1]。其中模擬式控制器主要以Schmitt觸發(fā)器為基本組件，附加校正環(huán)節(jié)，結(jié)構(gòu)簡單，性能可靠，可采用模擬電路實(shí)現(xiàn)，是早期航天器控制的主要實(shí)現(xiàn)方式。在此基礎(chǔ)上，依據(jù)附加校正環(huán)節(jié)的不同，通常有PWPF(Pulse-Width Pulse-Frequency)調(diào)制器、PRM(Pseudo-rate Modulator)調(diào)制器等[2]。文獻(xiàn)[3]給出幾類調(diào)制器的結(jié)構(gòu)及靜態(tài)特性，所得結(jié)果可以為控制器的設(shè)計(jì)提供參考。數(shù)字計(jì)算機(jī)出現(xiàn)后，數(shù)字式控制器應(yīng)運(yùn)而生，例如相平面控制器[4-5]，效率提升的同時(shí)也增加了復(fù)雜程度。文獻(xiàn)[6-9]分別給出了航天飛機(jī)和國際空間站俄羅斯艙段的反作用噴氣相平面控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)。然而，無論是模擬式還是數(shù)字式控制器均不可避免地引入了非線性環(huán)節(jié)，工程上處理非線性的一個(gè)重要方法是描述函數(shù)法，也稱諧波平衡法，由P. J. Daniel于1940年首先提出。文獻(xiàn)[10-12]介紹了NASA開發(fā)的基于描述函數(shù)法的INCA (Interactive Controls Analysis)軟件，該軟件基于描述函數(shù)的定義，給出了描述函數(shù)的數(shù)值辨識(shí)方法，可以用來輔助帶撓性附件航天器的噴氣控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)。文獻(xiàn)[13]基于描述函數(shù)的數(shù)值辨識(shí)，分析相平面噴氣控制器的穩(wěn)定性并評估穩(wěn)定裕度。

由于計(jì)算的復(fù)雜性，目前針對基于描述函數(shù)法的研究大多局限于定性分析，設(shè)計(jì)上仍依靠經(jīng)驗(yàn)試湊法，急需一種更加精確實(shí)用的分析和設(shè)計(jì)方法。

本文考慮模擬式噴氣控制器，以Schmitt觸發(fā)器構(gòu)成的系統(tǒng)為例，對非儲(chǔ)能型非線性控制系統(tǒng)進(jìn)行分析設(shè)計(jì)。計(jì)算描述函數(shù)意義下的極限環(huán)交點(diǎn)，分析極限環(huán)穩(wěn)態(tài)特性。繼而分析極限環(huán)頻率誤差，給出控制器參數(shù)調(diào)整方法。最后通過仿真實(shí)例進(jìn)行驗(yàn)證，該方法具有通用性，能夠?yàn)楣こ虘?yīng)用提供參考。

1 描述函數(shù)法

圖1為典型非線性系統(tǒng)框圖，其中G(s)為系統(tǒng)的線性環(huán)節(jié)，具有低通濾波特性，N(A)為系統(tǒng)的非線性環(huán)節(jié)。對于非儲(chǔ)能型的非線性環(huán)節(jié)，其描述函數(shù)是輸入正弦信號(hào)幅值為A的函數(shù)[14]，記為N(A)。

圖1 非線性系統(tǒng)框圖

該閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析采用將-1/N(A)和G(jω)繪制在同一個(gè)Nyquist圖中，若G(jω)曲線不包圍-1/N(A)曲線，則非線性系統(tǒng)穩(wěn)定；若包圍，則不穩(wěn)定；若存在交點(diǎn)，則可能形成極限環(huán)，需要進(jìn)一步根據(jù)運(yùn)動(dòng)方向分析穩(wěn)定性[14]。根據(jù)系統(tǒng)特征方程

N(A)G(jω)+1=0

產(chǎn)生極限環(huán)的條件為

(1)

2 以Schmitt觸發(fā)器為例的非儲(chǔ)能非線性環(huán)節(jié)描述函數(shù)分析和設(shè)計(jì)

Schmitt觸發(fā)器是構(gòu)成模擬式噴氣控制器的重要元素，具有典型的非儲(chǔ)能型非線性特性，根據(jù)前述基于描述函數(shù)法的分析和設(shè)計(jì)流程，本節(jié)以Schmitt觸發(fā)器構(gòu)成的控制系統(tǒng)為例進(jìn)行分析。

2.1Schmitt觸發(fā)器控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

Schmitt觸發(fā)器為帶有死區(qū)和滯環(huán)的典型非儲(chǔ)能非線性環(huán)節(jié)，結(jié)構(gòu)形式如圖 2所示，其中，uon和uoff分別為Schmitt觸發(fā)器的開門限和關(guān)門限電壓，ui和uc分別為輸入和輸出電壓，輸入輸出函數(shù)關(guān)系[1]見式(2)。

圖2 Schmitt觸發(fā)器

(2)

由Schmitt觸發(fā)器及帶有速度反饋的超前校正網(wǎng)絡(luò)構(gòu)成的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖3所示。

圖3 帶有Schmitt觸發(fā)器的航天器控制系統(tǒng)

其中，I為航天器慣量，u為Schmitt觸發(fā)器輸出，Tc為額定控制力矩，τ為速率反饋增益。輸入θr為期望姿態(tài)角度，輸出θ為實(shí)際姿態(tài)角度。

2.2 基于描述函數(shù)的頻域特性分析

首先將Schmitt觸發(fā)器構(gòu)成的控制系統(tǒng)變換為圖 1所示的標(biāo)準(zhǔn)形式，系統(tǒng)回路中線性部分

(3)

非線性部分為Schmitt觸發(fā)器，其描述函數(shù)具有解析表達(dá)式[14]

(4)

定義

huon-uoff

針對該系統(tǒng)，給出描述函數(shù)意義下極限環(huán)交點(diǎn)的解析表達(dá)式。

定理1 考慮如圖3所示的系統(tǒng)，其描述函數(shù)意義下的極限環(huán)交點(diǎn)為SDF(ADF,ωDF)

(5)

(6)

其中，ΔDF

ωDF為極限環(huán)頻率，ADF為極限環(huán)幅值，即姿態(tài)角穩(wěn)態(tài)誤差幅值。

(7)

(8)

聯(lián)立方程組(7)的第2式和式(8)，消去ξ，可得關(guān)于ω的方程，由于ω為實(shí)數(shù)，取方程實(shí)根

其中，ΔDF

相應(yīng)的極限環(huán)幅值為將ωDF代入方程組(7)的第2式解得

2.3 基于極限環(huán)分析的穩(wěn)態(tài)性能計(jì)算

由于Schmitt觸發(fā)器結(jié)構(gòu)簡單，穩(wěn)態(tài)信號(hào)確定，根據(jù)文獻(xiàn)[8]給出的結(jié)論，直接利用其穩(wěn)態(tài)極限環(huán)時(shí)域特性，可以得到精確的極限環(huán)的解ST(AT,ωT)，其中AT為極限環(huán)幅值，表示姿態(tài)控制精度，ωT為極限環(huán)頻率，即2π/P，P為極限環(huán)周期。

引理1 考慮如圖 3所示的系統(tǒng)，其穩(wěn)態(tài)極限環(huán)特性為

(9)

(10)

ωT為極限環(huán)頻率，AT為極限環(huán)幅值。

(11)

如圖4所示，其穩(wěn)態(tài)極限環(huán)左右兩端為拋物線，中間段為平行于橫軸的直線，開關(guān)線方程在圖中標(biāo)出，狀態(tài)運(yùn)動(dòng)軌跡沿實(shí)線箭頭方向，ta，tb，tc，td為狀態(tài)切換時(shí)刻。

聯(lián)立拋物線和開關(guān)線方程，可得ta和td時(shí)刻對應(yīng)開關(guān)點(diǎn)的縱坐標(biāo)xa 2和xd 2，二者相等，可解得極限環(huán)幅值為

從而

即為姿態(tài)角速度控制精度。

將ta和td時(shí)刻對應(yīng)開關(guān)點(diǎn)的橫坐標(biāo)xa1和xd1作差，由tda，tbc階段為勻速運(yùn)動(dòng)，得

故極限環(huán)周期為

頻率為

圖4 Schmitt觸發(fā)器穩(wěn)態(tài)極限環(huán)示意圖

2.4 基于描述函數(shù)法和極限環(huán)分析的輔助設(shè)計(jì)

在所得極限環(huán)特性基礎(chǔ)上，描述函數(shù)法可以用來為控制器設(shè)計(jì)提供幫助，根據(jù)圖 3可以分別畫出線性部分和非線性環(huán)節(jié)描述函數(shù)的Nyquist圖，易知該交點(diǎn)為穩(wěn)定極限環(huán)交點(diǎn)。由于描述函數(shù)法為近似方法，存在一定的誤差，通過比較式(5)和式(9)，可給出下面的定理。

定理2 考慮如圖 3所示的系統(tǒng)，其在描述函數(shù)下所求得的極限環(huán)頻率與頻率真值存在誤差，誤差上界為

Δω=ωT-ωDF

誤差絕對值下界為

證明 利用式(5)和式(9)計(jì)算頻率誤差可得

(12)

得到極限環(huán)頻率誤差上界。

研究誤差絕對值的下界，利用Minkowski不等式的伴隨不等式：若r>1，則

等號(hào)成立條件為ab…l=0。于是，

由于不等號(hào)右邊均為正項(xiàng)，因而不存在取等式的情形。進(jìn)一步化簡可得

于是，

為得到適當(dāng)?shù)目刂破鲄?shù)，可依據(jù)以下步驟進(jìn)行基于描述函數(shù)法的Schmitt觸發(fā)器設(shè)計(jì)：

步驟1：將閉環(huán)系統(tǒng)中的線性部分整理為一個(gè)環(huán)節(jié)G(jω)；

步驟2：選取一組初始參數(shù)，根據(jù)式(5)和式(6)計(jì)算初始極限環(huán)頻率ωDF和幅值A(chǔ)DF，在同一個(gè)Nyquist圖中繪出此時(shí)的G(jω)和-1/N(A)，初始交點(diǎn)處的系統(tǒng)性能通常是可能引發(fā)共振的且不滿足指標(biāo)要求的；

步驟3：在初始參數(shù)處分別計(jì)算?ω/?uon，?ω/?uoff和?ω/?τ，得到參數(shù)調(diào)節(jié)的方向；

步驟4：根據(jù)步驟3的結(jié)果對參數(shù)進(jìn)行調(diào)節(jié)和數(shù)學(xué)仿真。

該方法給出的是針對Schmitt觸發(fā)器回路的設(shè)計(jì)，但具有較強(qiáng)的通用性，其他非儲(chǔ)能非線性環(huán)節(jié)可采用類似的方法進(jìn)行基于描述函數(shù)方法設(shè)計(jì)。

3 仿真實(shí)例

本節(jié)將針對某航天器模型，采用Schmitt觸發(fā)器構(gòu)成的控制回路，驗(yàn)證上述非儲(chǔ)能環(huán)節(jié)的描述函數(shù)方法。

3.1 被控對象

以某帶有撓性附件的航天器為例，其傳遞函數(shù)模型可寫成：

(13)

給定模型參數(shù)如下：

α=0.15，ωa=-0.0023±0.45j，Ka=1。

3.2Schmitt觸發(fā)器仿真

給定初始Schmitt觸發(fā)器參數(shù)如下：

uon=0.7，uoff=0.3，τ=0.7。

根據(jù)定理1和定理2分別計(jì)算極限環(huán)頻率，可得

ωT=0.4298rad/s，ωDF=0.4281rad/s。

振蕩環(huán)節(jié)頻率ωa=0.45rad/s，即所形成極限環(huán)的交點(diǎn)與振蕩頻率非常接近。仿真結(jié)果如圖5所示。

圖5 Schmitt觸發(fā)器共振情形下仿真結(jié)果

通過仿真可以看出，由于極限環(huán)頻率與撓性固有頻率接近，引發(fā)了明顯共振現(xiàn)象，對系統(tǒng)性能產(chǎn)生較大影響，需要通過調(diào)節(jié)參數(shù)使極限環(huán)頻率遠(yuǎn)離撓性固有頻率。

經(jīng)計(jì)算

根據(jù)上述規(guī)則調(diào)節(jié)參數(shù)為

參數(shù)調(diào)整前后的系統(tǒng)Nyquist圖如圖6所示，在不改變穩(wěn)定性的前提下，將交點(diǎn)向遠(yuǎn)離撓性固有頻率方向移動(dòng)，調(diào)整后的極限環(huán)頻率為

圖6 參數(shù)調(diào)整前后的系統(tǒng)Nyquist圖

調(diào)整后仿真結(jié)果如圖(7)所示。從仿真結(jié)果可以看出，將極限環(huán)頻率移走后，共振現(xiàn)象明顯減弱，穩(wěn)態(tài)誤差不變，系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能提升。

4 結(jié)論

基于描述函數(shù)法，研究了模擬式噴氣姿態(tài)控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)問題?？紤]能夠?qū)懗鼋馕霰磉_(dá)式的非儲(chǔ)能非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)，以Schmitt觸發(fā)器為例，聯(lián)立方程，可求得其與線性環(huán)節(jié)交點(diǎn)的解析表達(dá)式。進(jìn)一步通過時(shí)域下穩(wěn)態(tài)極限環(huán)的特性，可求得極限環(huán)精確解，將二者進(jìn)行比較，給出了描述函數(shù)法的誤差界。在此基礎(chǔ)上，給出了控制器參數(shù)調(diào)節(jié)步驟和依據(jù)。最后，通過仿真實(shí)例，驗(yàn)證了算法的有效性和實(shí)用性。

圖7 Schmitt觸發(fā)器非共振情形下仿真結(jié)果

本文論述的控制器分析和設(shè)計(jì)方法，具有一定的通用性，可適應(yīng)大多數(shù)非儲(chǔ)能型非線性環(huán)節(jié)的分析。同時(shí)，文中的設(shè)計(jì)準(zhǔn)則，給出了參數(shù)調(diào)整的依據(jù)和方向，改進(jìn)了以往僅依據(jù)經(jīng)驗(yàn)的試湊，為工程應(yīng)用提供了參考。

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Analysis and Design of Nonstorage Jet Controller of Spacecraft Based on Describing Function Method

Deng Ya1, Zhang Jinjiang1, Ma Yanhong1,2, Cai Biao1

1. Beijing Institute of Control Engineering, Beijing 100190, China 2. Science and Technology on Space Intelligent Control Laboratory, Beijing 100190, China

Tosolvethenonlinearelementprobleminjetcontrollerofspacevehicleactuators,describingfunctionisemployedtostudytheanalyzinganddesigningmethod.Asatypicalnonstoragenonlinearelement, Schmitttriggerisusedasanexampletogivetheanalyticalsolutionoflimitcycle.Accordingtothesteadystateoutputofthesystem,thecharacteristicsoflimitcyclearegiven.Toestimatetheaccuracyofdescribingfunction,errorboundsoffrequencyarecalculated.Atlast,themethodisverifiedfromnonlinearsimulations.

Jetcontrol;Describingfunction;Nonlinearelement; Nyquistdiagram

*空間智能控制技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室基金(9140C590107130C59211)

2015-05-21

鄧 雅(1988-)，女，石家莊人，博士研究生，主要研究方向?yàn)楹教炱骺刂疲粡堝\江(1973-)，男，黑龍江人，博士，研究員，主要研究方向?yàn)楹教炱骺刂?、制?dǎo)與仿真；馬艷紅(1980-)，女，山西人，博士，高級工程師, 主要研究方向?yàn)榇笮秃教旖Y(jié)構(gòu)體的姿態(tài)控制和魯棒控制；蔡 彪(1980-)，男，山西人，高級工程師，主要研究方向?yàn)楹教炱鲗?dǎo)航、制導(dǎo)與控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)和集成測試。

V448

A

1006-3242(2016)01-0064-06