龔德仁 陳吉安 段登平 陳昌亞

1.上海交通大學，上海 200240 2.上海衛(wèi)星工程研究所，上海 200240

?

航天器燃料最優(yōu)編隊機動控制的解析方法

龔德仁1陳吉安1段登平1陳昌亞2

1.上海交通大學，上海 200240 2.上海衛(wèi)星工程研究所，上海 200240

針對航天器燃料最優(yōu)編隊初始化、重構等機動展開研究，提出了一種解析控制方法。首先將編隊機動問題從狀態(tài)空間轉(zhuǎn)換到構型參數(shù)空間進行分析，其次基于不等式約束分別得到軌道平面內(nèi)、外運動的燃料消耗下界，進一步獲得燃料最優(yōu)時需要滿足的條件和可行的燃料最優(yōu)編隊機動解析解，該解形式簡單，計算量小。燃料消耗量取決于相對運動尺寸參數(shù)，而最優(yōu)解的存在性取決于初始狀態(tài)誤差。數(shù)值仿真結果驗證了所提方法的有效性和準確性。 關鍵詞 航天器編隊飛行；燃料最優(yōu)機動；構型參數(shù)化；解析解

航天器編隊飛行具有成本低、系統(tǒng)可靠性高和適應性強等優(yōu)點，已成為空間分布式任務研究中的熱點[1]。由于衛(wèi)星攜帶燃料有限，上天后無法得到及時補充，因此在編隊機動過程中如何節(jié)省燃料非常重要，且已被廣泛關注[2]?，F(xiàn)有的燃料優(yōu)化方法可以分成2類：1)基于線性化的運動狀態(tài)模型；2)基于軌道根數(shù)差。

基于線性化運動狀態(tài)模型的燃料優(yōu)化編隊機動一般采用Clohessy-Wiltshire方程[3]、Lawden方程[4]和Tschauner-Hempel方程[5]。優(yōu)化方法包括線性規(guī)劃算法[6-7]、遺傳算法[8]、進化算法[9]、Hamilton-Jacobian-Bellman優(yōu)化方法[10-11]、主矢量算法[12-13]、線性/非線性混合優(yōu)化[14]和高斯偽譜法[15-16]等。其它的研究包括編隊重構的可達性與最優(yōu)相位分析[17]、編隊最優(yōu)制導設計[18]和考慮復雜攝動的繞飛控制策略[19]等。

基于軌道根數(shù)差的編隊機動控制方法采用Gauss軌道攝動模型和軌道根數(shù)差相對運動學方程，主要包括解析的雙脈沖控制方法[20-21]，三沖量方法[22]，基于燃料當量分析的編隊機動制導方法[23]，近優(yōu)反饋控制方法[24]和小推力燃料優(yōu)化機動控制方法[25]等。

總體來說，針對燃料最優(yōu)編隊機動問題，已有研究多采用數(shù)值方法進行求解，或者在脈沖次數(shù)固定情況下獲得解析的脈沖值。數(shù)值方法并不能得到真正意義上的最優(yōu)解，且計算量大，不具有普遍意義；脈沖次數(shù)限制則增加了約束條件，使最優(yōu)解可能被排除在外，況且最優(yōu)解既有可能是脈沖推力，也有可能是連續(xù)推力，或者理論上就不存在。

本文在構型參數(shù)空間中展開研究，分析燃料下界及其可達性，由此得到燃料最優(yōu)的條件和可行的解析解，并分析了各種初始條件下最優(yōu)解的存在性、推力是脈沖的還是連續(xù)的。采用數(shù)值方法對交會過程和水平投影圓編隊機動進行仿真，驗證了理論分析的正確性。

1 問題描述

航天器之間的相對運動關系一般在主航天器軌道坐標系中描述，一階近似模型為Clohessy-Wiltshire方程。假設航天器能提供3個軸向的推力，這時燃料消耗與控制力的1-范數(shù)成正比，燃料最優(yōu)編隊機動可以寫成

(1)

其中：J為燃料消耗量，ΔX0為初始狀態(tài)誤差；tf為機動時間；U(t)=[ux(t),uy(t),uz(t)]T為控制力向量，脈沖控制時為δ函數(shù)的級數(shù)；Φ(t)為Clohessy-Wiltshire方程的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，

(2)

其中，n為主航天器的平均軌道角速度。

定義構型參數(shù)P=[p,φ,s,l,q,θ]T如下：

(3)

其中：p,q,s和l為尺寸參數(shù)，φ和θ∈[0, 2π)為相位參數(shù)。

采用構型參數(shù)P表示的誤差向量ΔX(t)為

Δx(t)=-pcos(nt+φ)+s,

Δy(t)=2psin(nt+φ)+l-1.5nts,

Δz(t)=qsin(nt+θ),

(4)

顯然，參數(shù)p和φ表示軌道平面內(nèi)運動的尺寸和相位，s和l表示軌道平面內(nèi)運動的中心偏移，q和θ表示軌道平面外運動的尺寸和相位。

根據(jù)初始誤差狀態(tài)ΔX0和構型參數(shù)P之間的關系，優(yōu)化問題式(1)可以整理為

(5)

2 問題求解

定理 對于區(qū)間[0,tf],tf≥0上任意的實可積函數(shù)f(t)和g(t)，不等式

(6)

恒成立。

證明：定義平面曲線L為

(7)

顯然，初始點L(0)=(0, 0)就是坐標原點O，如圖1所示。

圖1 曲線L示意圖

(8)

其中，(·)′表示對變量t的導數(shù)。在平面Oxy內(nèi)，連接點O和點Lf之間任意曲線的長度都大于直線OLf的長度

h2≥|OLf|2=x2(tf)+y2(tf)

(9)

其中，Lf=L(tf)是曲線L的終點。將式(7)和式(8)代入式(9)可得

(10)

當式(10)中的等號成立時，曲線L(t)變成直線OLf，此時滿足

f(t)x(tf)≥0;g(t)y(tf)≥0

(11)

其中，κ(t)為曲線L的斜率。式(11)表明終點Lf決定了滿足式(10)的曲線L的性質(zhì)。

2.1 軌道平面外運動

根據(jù)方程式(5)可知，軌道平面外運動的最優(yōu)機動為

(12)

根據(jù)不等式(6)可知燃料消耗Jz滿足

=nq

(13)

因此，nq是Jz的一個下界。僅當下列條件

(14)

(15)

(16)

式(16)為優(yōu)化問題式(12)的解析解?？芍顑?yōu)解不存在連續(xù)推力，只能是脈沖序列。最少僅需一次脈沖，如在t=T-Tθ時刻施加正向脈沖nq，或在t=1.5T-Tθ時刻施加負向脈沖-nq。

2.2 軌道平面內(nèi)運動

根據(jù)式(5)可知，軌道平面內(nèi)最優(yōu)機動可以描述成

(17)

根據(jù)式(17)的前2個約束可得

(18)

因此，0.5np是燃料消耗Jxy的一個下界。當Jxy=0.5np時，燃料達到最小值，控制力需滿足

(19)

(20)

(21)

上式表明Jxy有第2個下界，此時控制力滿足

(22)

也就是徑向控制力為0，切向控制力始終為正或負，取決于初始構型中心偏移參數(shù)s。

綜合前面的討論可知，軌道平面內(nèi)的燃料消耗Jxy滿足

(23)

下面針對3種不同情況分別進行討論。

Case1:p=|s|=0,l≠0

uy(1)=-uy(2)=-l/(3kT),t2=t1+kT;k∈Z+

(24)

此時燃料消耗為

Jxy=2|l|/(3kT)

(25)

Case2:p>|s|

由式(23)可知，此時最小燃料為0.5np。將式(19)代入式(17)中的其它約束,可得最優(yōu)解滿足

(26)

由于式(26)中對脈沖大小有3個等式約束，因此最少三脈沖就可以實現(xiàn)。不妨令2次為負脈沖，1次為正脈沖，此時可得

(27)

其中：α∈[0, 1]，且滿足

(28)

式(28)可稱為p>|s|時最優(yōu)三脈沖編隊機動的基本方程，其解為：

(29)

Case3:p≤|s|

(30)

根據(jù)后2個等式約束，則sl≤0時不存在最優(yōu)解，只能進行次優(yōu)控制。

針對式(30)前3個約束，定義平面曲線S如下

(31)

這里滿足uy(t)s≥0。曲線S的起點為坐標原點O，終點Sf的坐標為(0.5npcosφ, -0.5npsinφ)，如圖2所示。

圖2 曲線S示意圖

(32)

定義推力uy(t)與時間t乘積的積分為推力影響

(33)

進一步可知，曲線的斜率κ(t)和曲率半徑ρ(t)分別為

(34)

可知κ(t)僅與時間相關，ρ(t)為控制力的1/n。

β=sinc-1(p/|s|)≥0,R=0.25n|s|/β

(35)

其中：R和β分別為圓的半徑和半圓心角，sinc(x)=sin(x)/x。

根據(jù)式(34)和(35)可知，最優(yōu)控制力為

(36)

其中

(37)

(38)

對于編隊機動(s,p)，令兩段推力產(chǎn)生的效果分別為(s1,p1)和(s2,p2)

(39)

因此有

(41)

(42)

考慮到約束|s1|≥p1，|s2|≥p2和ε,η∈[0,1]，因此η的范圍為

(43)

此外，也可以采用脈沖推力實現(xiàn)編隊機動。假設脈沖時刻為

(44)

其中：kj∈Z+，my為脈沖次數(shù)，上標“o”和“e”分別表示kj為奇數(shù)和偶數(shù)時的脈沖。由式(30)可得

(45)

(46)

比較式(46)和式(26)的形式可知，兩者僅僅變量不同，可以采用相同方法進行求解。

當sl≤0時，最優(yōu)解不存在，只存在次優(yōu)解。一種策略就是分2次進行控制，第1次將p，φ和s控制為0，第2次將l控制為0。總體上是一種次優(yōu)控制策略，因為將l控制為0所需的燃料隨著時間的增加呈反比例下降。

3 仿真示例

3.1 交會過程

假設目標航天器運行在800km高的近圓軌道上，軌道周期為T=6052.4s，追蹤航天器位于目標航天器后方3000m、下方100m的軌道上。初始時刻的構型參數(shù)為

P=[0m, 0°, 100m, 3000m, 0m, 0°]T

可知交會過程符合p≤|s|，且sl>0的情況。根據(jù)前面的分析結果可知，采用連續(xù)推力和脈沖推力兩種方式都可以實現(xiàn)最優(yōu)機動。

采用連續(xù)推力控制，最優(yōu)控制力為

總?cè)剂舷臑?/p>

采用脈沖推力控制，一種最優(yōu)脈沖序列為

t(1)=to(1)=0.5T,

t(2)=to(2)=1.5T,

t(3)=te=5T,

燃料消耗為

仿真結果如圖3所示，2種機動方式都是燃料最優(yōu)的。

3.2 水平投影圓編隊機動

水平投影圓編隊是指輔航天器圍繞主航天器飛行，其繞飛軌跡在當?shù)厮矫鎯?nèi)投影為圓形的編隊。該編隊構型可以用圓的半徑R和初始相位γ來描述。從一個水平圓構型(R0,γ0)到另一個水平圓構型(Rd,γd)進行機動時，相對構型參數(shù)為

P=[0.5R,γ, 0, 0,R,γ+0.5π]T。

其中，

根據(jù)前面分析可知軌道平面外采用一次脈沖

軌道平面內(nèi)采用3次脈沖就可以實現(xiàn)燃料最優(yōu)編隊機動

圖3 燃料最優(yōu)交會

仿真結果如圖4所示，相位參數(shù)φ和θ保持不變，脈沖施加時刻滿足Δx(t)=0或Δz(t)=0。

圖4 燃料最優(yōu)編隊機動

4 結論

針對燃料最優(yōu)編隊機動控制，采用構型參數(shù)空間分析方法得到了解析解。結果表明，燃料最優(yōu)解的存在性與初始條件有關，最優(yōu)解只要存在就有多種，燃料消耗與相對尺寸參數(shù)有關。該解析控制方法不僅可以用在編隊機動上，同時也可用在航天器交會過程中。

[1]ScharfDP,HadaeghFY，PloenSR.Asurveyofspacecraftformationflyingguidanceandcontrol(part1):guidance[C].Proc.ofthe2003AmericanControlConference,Dayton,Ohio,June2003: 1733-1739.

[2]IchimuraY，IchikawaA.Optimalimpulsiverelativeorbittransferalongacircularorbit[J].JournalofGuidanceControlandDynamics, 2008, 31(4): 1014-1027.

[3]ClohessyWH,WiltshireRS.Terminalguidancesystemforsatelliterendezvous[J].JournalofAerospaceSciences, 1960, 27(9): 653-658.

[4]LawdenD.Fundamentalsofspacenavigation[J].JournaloftheBritishInterplanetarySociety, 1954, 13(2): 87-101.

[5]TschaunerJ.Ellipticorbitrendezvous[J].AIAAJournal, 1967, 5(6): 1110-1113.

[6]TillersonM,InalhanG,HowJP.Co-ordinationandcontrolofdistributedspacecraftsystemsusingconvexoptimizationtechniques[J].InternationalJournalofRobustandNonlinearControl, 2002, 12(2): 207-242.

[7]UmeharaH,McInnesCR.Fuel-optimumnear-missavoidancecontrolforclusteredsatellites[C].Proc.ofthe18thnternationalSymposiumonSpaceFlightDynamics,Munich,Germany, 2004.

[8]YangG,YangQS,KapilaV,PalmerD.Fueloptimalmaneuversformultiplespacecraftformationreconfigurationusingmulti-agentoptimization[C].Proc.ofthe40thIEEEConferenceonDecisionandControl, 2001: 1083-1088.

[9]WangS,ZhengC,WangY.Atime-fueloptimalforspacecraftformationreconfiguration[C].Proc.ofIEEECongressonEvolutionaryComputation, 2007: 994-998.

[10]CampbellME.Planningalgorithmforlargesatelliteclusters[J].JournalofGuidance,Control,andDynamics, 2003, 26(5): 770-780.

[11]ZanonDJ,CampbellME.Optimalplannerforspacecraftformationsinellipticalorbits[J].JournalofGuidance,Control,andDynamics, 2006, 29(1): 161-171.

[12]MailheLM,GuzmanJJ.Initializationandresizingofformationflyingusingglobalandlocaloptimizationmethods[C].Proc.ofIEEEAerospaceConf.,BigSky,Montana,March6-14, 2004: 547-556.

[13]KimDY,WooB,ParkSY,ChoiKH.Hybridoptimizationformultiple-impulsereconfigurationtrajectoriesofsatelliteformationflying[J].AdvancesinSpaceResearch, 2009, 44(11): 1257-1269.

[14]KumarBS,NgA.Time-optimallow-thrustformationmaneuveringusingahybridlinear/nonlinearcontroller[J].JournalofGuidanceControlandDynamics, 2009, 32(1): 343-347.

[15] 趙宇, 趙洪華. 橢圓軌道衛(wèi)星編隊燃料最優(yōu)機動實時算法[J]. 中國空間科學技術, 2009, 29(5): 33-41. (ZhaoYu,ZhaoHonghua.Real-timeAlgorithmforFormationSatelliteFuel-optimalManeuversinEllipticOrbits[J].ChineseSpaceScienceandTechnology, 2009, 29(5): 33-41.)

[16] 董曉光, 曹喜濱, 張錦繡, 等.編隊飛行最優(yōu)相對軌跡生成與跟蹤控制[J].系統(tǒng)工程與電子技術, 2013, 35(1): 138-145. (DongXiaoguang,CaoXibin,ZhangJinxiu,etal.Optimalrelativetrajectorygenerationandtrackingcontrolofformationflying[J].SystemsEngineeringandElectronics, 2013, 35(1): 138-145.)

[17]PalmerP.Reachabilityandoptimalphasingforreconfigurationinnear-circularorbitformations[J].JournalofGuidanceControlandDynamics, 2007, 30(5): 1542-1546.

[18]HughesSP.Generalmethodforoptimalguidanceofspacecraftformations[J].JournalofGuidanceControlandDynamics, 2008, 31(2): 414-423.

[19] 姜宇, 李恒年, 潘立公，等.衛(wèi)星編隊飛行相對繞飛控制策略[J].航天控制, 2014, 32(1): 55-62. (JiangYu,Lihengnian,PanLigong,etal.Relativefly-aroundcontrolstrategyforsatelliteformationflying[J].AerospaceControl, 2014, 32(1): 55-62.)

[20]VaddiSS,AlfriendKT,VadaliSR,SenguptaP.Formationestablishmentandreconfigurationusingimpulsivecontrol[J].JournalofGuidanceControlandDynamics, 2005, 28 (2): 262-268.

[21]SchaubH,AlfriendKT.ImpulsiveFeedbackcontroltoestablishspecificmeanorbitelementsofspacecraftformations[J].JournalofGuidance,Control,andDynamics, 2001, 24(4): 739-745.

[22] 姚紅, 曾國強, 胡敏. 基于相對軌道根數(shù)的航天器編隊控制三沖量方法[J].航天控制, 2009, 27(6): 46-51.(YaoHong,ZengGuoqiang,HuMin.Three-impulsemethodforformationcontrolofspacecraftbasedonrelativeorbitelements[J].AerospaceControl, 2009, 27(6): 46-51.)

[23]HamelJF,LafontaineJD.Fuel-equivalentrelativeorbitelementspace[J].JournalofGuidanceControlandDynamics, 2008, 31(1): 238-244.

[24]HuntingtonGT,RaoAV.OptimalreconfigurationofspacecraftformationsusingtheGausspseudospectralmethod[J].JournalofGuidanceControlandDynamics, 2008, 31(3): 689-698.

[25]WuBL,WangDW,PohEK,XuGY.Nonlinearoptimizationoflow-thrusttrajectoryforsatelliteformation:Legendrepseudospectralapproach[J].JournalofGuidanceControlandDynamics, 2009, 32(4): 1371-1381.

Analytical Solutions to Fuel-Optimal Spacecraft Formation Maneuver

Gong Deren1, Chen Ji’an1, Duan Dengping1, Chen Changya2

1.Shanghai Jiao Tong University, Shanghai 200240, China 2.Shanghai Institute of Satellite Engineering, Shanghai 200240, China

Anewsimplemethodisproposedforfuel-optimalspacecraftformationmaneuver,includinginitializationandreconfiguration,andanalyticalsolutionswithoptimal/suboptimalstrategiesareobtained.Themethodconsistsoftwostages.Firstly，anewformofparameterizationofformationmaneuverstateisdevelopedforsimplicity.Secondly,theout-of-planeandin-planemotionareseparatelystudiedastheyareuncoupled.Withthehelpofausefulinequalityintroducedandproved,thelowerboundofthefuelconsumptionandthecorrespondingconstraintsofthecontrolforcesarederivedandobtained.Theresultsshowthattheminimumtotalfuelconsumptiondependsontherelativesizeparametersandtheexistenceofoptimalcontrolalgorithmdependsupontheinitialconditions.Thenumericalsimulationsofthetwoapplicationsareproventhatthetheproposedmethodisvalideandefficient.

Spacecraft-formationflying;Fuel-optimalmaneuver;Configurationparameters;Parameterization;Analyticalsolutions

2014-10-29

龔德仁(1982-)，男，湖南婁底人，講師，主要從事分布式衛(wèi)星系統(tǒng)姿軌協(xié)同和相對導航控制研究；陳吉安(1965-)，男，吉林四平人，教授，博士生導師，主要從事飛行器結構和力學研究；段登平(1966-)，男，重慶銅梁人，教授，博士生導師，主要從事空間飛行器總體設計與研制；陳昌亞(1963-)，男，安徽安慶人，研究員，主要從事航天器總體設計和深空探測技術研究。

V448.22+4

A

1006-3242(2016)01-0037-08