董天舒 何英姿,2

1.北京控制工程研究所，北京 100190 2.空間智能控制技術(shù)重點實驗室，北京 100190

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基于增益分配的航天器高精度指向跟蹤控制

董天舒1何英姿1,2

1.北京控制工程研究所，北京 100190 2.空間智能控制技術(shù)重點實驗室，北京 100190

研究剛體衛(wèi)星的高精度大角度指向跟蹤控制問題。為保證姿態(tài)描述的全局性，由修正Rodrigues參數(shù)描述相對姿態(tài)。設計PD型姿態(tài)指向跟蹤控制器，可同時實現(xiàn)角度跟蹤和角速度跟蹤。為提高控制精度，同時避免控制輸出進入飽和域，本文在控制器的基礎上設計了增益分配律。通過數(shù)值仿真，在存在初始指向偏差和輸出飽和約束條件下，控制器可實現(xiàn)大橢圓軌道衛(wèi)星對靜止軌道衛(wèi)星的高精度姿態(tài)指向跟蹤。當轉(zhuǎn)動慣量存在常值誤差時，控制器仍然適用。 關鍵詞 姿態(tài)指向跟蹤；PD型控制；增益分配

在一些空間任務中，需要航天器對合作或非合作目標進行大角度指向跟蹤，例如進行監(jiān)視、抓捕或者加注任務。其中難度較大的是大橢圓軌道衛(wèi)星對靜止軌道衛(wèi)星進行姿態(tài)指向跟蹤任務，在任務中衛(wèi)星本體系X軸要實時指向靜止軌道上的目標衛(wèi)星。由于兩星軌道交會時間短、視線方向變化大、變化快，衛(wèi)星指向跟蹤過程需要進行大角度快速機動，對控制器要求具備高精度的大角度跟蹤和角速度跟蹤能力。

文獻[1-2]說明了非線性狀態(tài)反饋控制方法能實現(xiàn)剛體航天器姿態(tài)rest-to-rest 型機動控制。文獻[3]指出了利用期望姿態(tài)和航天器實際姿態(tài)的相對姿態(tài)建立的運動學和動力學方程，可將姿態(tài)跟蹤問題轉(zhuǎn)化為對相對姿態(tài)的調(diào)節(jié)問題。文獻[4]給出一種基于四元數(shù)的PD型控制器，可實現(xiàn)角度跟蹤和角速度跟蹤。文獻[5]針對剛體衛(wèi)星受外力矩干擾時的姿態(tài)跟蹤控制問題，設計了在一定條件下相對姿態(tài)可全局漸進穩(wěn)定的PD型控制器。文獻[6]對近地軌道小衛(wèi)星的跟蹤控制問題進行了研究，對輸出力矩存在飽和約束，給出一個近似全局收斂的PD型姿態(tài)跟蹤控制器。文獻[7]針對剛體衛(wèi)星，給出基于磁力矩器和單/雙反作用輪的PD型姿態(tài)跟蹤控制器。

本文在相對姿態(tài)運動學和動力學方程的基礎上，設計了PD型姿態(tài)指向跟蹤控制器，實現(xiàn)衛(wèi)星大角度跟蹤和角速度跟蹤。由于控制輸出存在飽和約束，本文設計了增益分配律，可在提高控制精度的同時避免控制輸出進入飽和域。通過仿真表明，該控制器能實現(xiàn)大橢圓軌道衛(wèi)星對靜止軌道衛(wèi)星高精度姿態(tài)指向跟蹤，同時對轉(zhuǎn)動慣量常值誤差有很好的魯棒性。

1 問題描述

1.1 剛體衛(wèi)星姿態(tài)運動學和動力學模型

本體系下，衛(wèi)星姿態(tài)運動學方程為：

(1)

其中，C為衛(wèi)星本體系相對慣性系的方向余弦矩陣，ω為衛(wèi)星本體相對慣性系的角速度。(·)×運算定義為：

剛體衛(wèi)星姿態(tài)動力學方程為：

(2)

其中,J為轉(zhuǎn)動慣量矩陣，Td為空間環(huán)境干擾力矩，uc為控制力矩。

1.2 指向跟蹤期望姿態(tài)描述

與姿態(tài)跟蹤不同的是，指向跟蹤中的期望姿態(tài)有明確的定義。根據(jù)任務要求，跟蹤衛(wèi)星的本體X軸要實時指向目標衛(wèi)星，首先在軌道系下定義指向方位角α和仰角β。

圖1 期望姿態(tài)的定義

圖1中,Ooxoyozo系為衛(wèi)星的第二軌道坐標系，zo軸由衛(wèi)星質(zhì)心指向地心，xo軸在軌道平面內(nèi)與zo軸垂直并指向衛(wèi)星速度方向，yo軸與xo和zo軸右手正交并垂直于軌道平面的法線；rbt為由衛(wèi)星質(zhì)心指向目標衛(wèi)星質(zhì)心的單位向量；方位角α為rbt在xoOozo平面上的投影與xo軸的夾角，仰角β為rbt與rbt在xoOozo平面上的投影之間的夾角。

指向跟蹤期望姿態(tài)可通過2次主軸轉(zhuǎn)動得到，方向余弦矩陣Cro：

(3)

相對慣性系的期望角速度可表示為

(4)

其中，ωo為衛(wèi)星第二軌道系相對慣性系的角速度。

1.3 相對姿態(tài)運動學和動力學模型

描述相對姿態(tài)有多種方法，例如歐拉角法、四元數(shù)法、Rodrigues參數(shù)法和修正Rodrigues參數(shù)法(MRPs)。但是，歐拉角法在姿態(tài)轉(zhuǎn)角為π/2時，存在奇異點，不適用于描述相對姿態(tài)大范圍變化的情況；四元數(shù)法不存在奇異點，有很好的全局性，但在SO(3)空間內(nèi)不連續(xù)，可能引起unwinding現(xiàn)象[8]；Rodrigues參數(shù)在姿態(tài)轉(zhuǎn)角為π時，存在奇異，同樣不適用于描述相對姿態(tài)大范圍變化的情況。MRPs是剛體姿態(tài)近似全局的最小描述方法，不存在四元數(shù)的單位約束條件，易于實現(xiàn)。其在姿態(tài)轉(zhuǎn)角為2π時存在奇異，在實際應用中相對姿態(tài)不容易達到這一點，可認為是近似全局的，因此本文采用MRPs描述相對姿態(tài)。定義MRPs：

(5)

其中，q0，qi(i=1,2,3)為四元數(shù)參數(shù)。

方向余弦矩陣表示相對姿態(tài)，可表示為：

(6)

式中,Cbo為衛(wèi)星本體系相對軌道系的方向余弦矩陣，δσ為由MRPs描述的相對姿態(tài)。根據(jù)MRPs定義，δσ與四元數(shù)[δq0,δqv]有如下關系：

(7)

式(7)等號兩側(cè)對時間求導數(shù)

(8)

(9)

δω為航天器角速度誤差，定義為：

δω=ω-Cbr(δσ)ωri

(10)

其中，ω為衛(wèi)星本體相對慣性系的角速度，ωri的定義參見式(4)。

將式(7)和(9)帶入式(8)，可得到相對姿態(tài)運動學方程：

(11)

式(10)等號兩側(cè)對時間求導數(shù)，有

式(12)等號兩側(cè)乘以衛(wèi)星轉(zhuǎn)動慣量矩陣J，再將式(2)帶入式(12)，可得到相對姿態(tài)的動力學方程：

JCbr(δσ)ωri-J(Cbr(δσ)ωri)×δω-

(13)

2 姿態(tài)指向跟蹤控制律設計

2.1 輸出飽和約束

考慮到衛(wèi)星能提供的輸出力矩是有限的，為貼近實際情況，這里對控制力矩設定飽和約束條件?？刂屏豼c在本體系下表述為：

(14)

其中,ucx，ucy和ucz為投影在本體系主軸上的控制力矩，統(tǒng)一表示為uci,i=x,y,z。

輸出飽和約束可表示為：

(15)

2.2PD型控制器設計

本節(jié)設計了PD型控制器，并嚴格證明控制器可使相對姿態(tài)δσ和相對角速度δω漸進穩(wěn)定。式(15)可見，輸出力矩的飽和約束為強非線性，本節(jié)假設控制器輸出是在線性域內(nèi)。參考文獻[4]的PD型控制器設計思路，定義中間變量ωc和ωt,

(16)

其中，kv,kp為正實數(shù)。

ωt定義為：

(17)

假設ωt滿足以下條件：

(18)

為使ωt滿足式(18)條件，將式(17)等號兩側(cè)乘以轉(zhuǎn)動慣量J并對時間求導，有

(19)

并將式(11)和(13)帶入式(19)，可得到控制律uc為

(20)

下面利用Lyapunov理論證明控制器(式(20))可使相對姿態(tài)δσ和相對角速度δω漸進穩(wěn)定。選擇Lyapunov函數(shù)為：

(21)

式(21)等號兩側(cè)對時間求導數(shù)，并將式(11),(17)和(18)代入，有

(22)

(23)

(24)

證畢。PD型控制器可使相對姿態(tài)δσ和相對角速度δω漸進穩(wěn)定，說明控制器能夠?qū)崿F(xiàn)姿態(tài)指向跟蹤。

3 增益分配律

當航天器指向跟蹤存在初始指向偏差時，若控制器參數(shù)kp和kv的取值較大，控制輸出會進入飽和域；如果控制器參數(shù)選取的數(shù)值較小，使控制輸出保持在線性域內(nèi)，當指向跟蹤穩(wěn)定后，控制器又難以敏感小角度偏差，無法實現(xiàn)高精度的指向跟蹤。為解決這一矛盾，本文設計了增益分配律：

(25)

其中，t0，tt為增益切換時刻，(kv 0,kp0)和(kvt,kpt)分別為初始控制參數(shù)和穩(wěn)態(tài)控制參數(shù)。

通過初始控制參數(shù)(kv 0,kp0)的選取，可實現(xiàn)初始指向誤差的收斂，并且避免控制輸出進入飽和域；通過穩(wěn)態(tài)控制參數(shù)(kv t,kpt)的選取可實現(xiàn)指向跟蹤進入穩(wěn)態(tài)后高精度指向跟蹤。增益分配律則提供了控制參數(shù)從(kv0,kp0)到(kvt,kpt)的途徑，保證在參數(shù)切換過程中閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，同時控制輸出在過程中不發(fā)生跳變，這一結(jié)論可通過仿真證明。

4 數(shù)值仿真

4.1 仿真參數(shù)

為驗證控制器的有效性，利用Simulink軟件搭建閉環(huán)系統(tǒng)，對大橢圓軌道衛(wèi)星(跟蹤星)指向跟蹤靜止軌道衛(wèi)星(目標星)進行數(shù)值仿真。下面給出仿真中的關鍵參數(shù)。

跟蹤星和目標星軌道要素如表1。

表1 衛(wèi)星軌道要素

跟蹤星轉(zhuǎn)動慣量矩陣為：

為驗證控制器的魯棒性，設定轉(zhuǎn)動慣量誤差陣δJ，主軸誤差取1%：

跟蹤星初始角速度ω(0)設為0，初始姿態(tài)由初始指向偏差設定，初始指向偏差為：初始方位角α0=2°，初始仰角β0=1°?？刂破黠柡图s束設定為：ucimax=60N·m,ucimin=-60N·m,i=x,y,z。

控制器參數(shù)kv與kp的對應關系見圖2(a)，kv隨時間的變化曲線見圖2(b)。

圖2 控制器參數(shù)變化曲線

4.2 仿真結(jié)果及分析

仿真結(jié)果可見圖3～9。圖3為跟蹤星與目標星相對距離隨時間的變化曲線。圖4為期望姿態(tài)、期望角速度曲線。從圖3和4中可見兩星交會時間很短，從初始時刻到兩星距離10km處僅65s，整個指向跟蹤過程僅130s，在整個跟蹤過程中，期望姿態(tài)的變化在俯仰軸方向有范圍大、變化快的特點。

圖5為由修正Rodrigues參數(shù)描述的相對姿態(tài)的變化曲線。圖6為相對角速度變化曲線。圖7為跟蹤過程中控制力矩輸出曲線。由圖5～7可見，存在初始指向偏差和輸出飽和約束的條件下，控制器能實現(xiàn)大橢圓軌道衛(wèi)星對靜止軌道目標衛(wèi)星的指向跟蹤，相對姿態(tài)δσ和相對角速度δω可在20s內(nèi)收斂，說明控制器具有良好的跟蹤性能。通過增益分配律的設計，控制輸出力矩沒有進入飽和域，并且始終為平滑曲線。

圖3 大橢圓軌道衛(wèi)星與目標星相對距離曲線

圖4 期望姿態(tài)及期望角速度曲線

為比較不同控制器的控制精度，在相同仿真環(huán)境內(nèi)對文獻[4]中的“PD+型姿態(tài)跟蹤控制器”進行仿真，并與本文設計的控制器仿真結(jié)果對比，見圖8，“PD+”表示文獻[4]的仿真結(jié)果，“MRP”為本文設計的控制器的仿真結(jié)果。定義指向夾角ε為衛(wèi)星本體X軸與rbt(見圖1)的夾角，由ε衡量指向跟蹤精度。從圖8(a)可見，兩種控制器均能實現(xiàn)指向跟蹤，初始指向誤差收斂并一直保持；圖8(b)為ε的放大圖， 40s后本文設計的控制器的跟蹤精度可達到2″，可見在精度上要明顯優(yōu)于“PD+”控制器。

為貼近實際情況，考慮航天器質(zhì)量會發(fā)生變化，對無慣量誤差、1倍、6倍、10倍、20倍、30倍、40倍和50倍慣量誤差δJ的情況進行仿真。由圖9可見，盡管指向夾角ε隨慣量誤差的增大而降低，但仍可進行角秒級精度的指向跟蹤控制，說明指向跟蹤控制器仍然適用。

圖5 相對姿態(tài)曲線

圖6 相對角速度曲線

圖7 控制輸出曲線

圖8 不同控制律的指向夾角曲線和放大圖

圖9 不同慣量誤差指向夾角放大圖

5 結(jié)論

采用修正Rodrigues參數(shù)描述相對姿態(tài)，給出一種可實現(xiàn)角度跟蹤和速度跟蹤的PD型姿態(tài)指向跟蹤控制器，并應用Lyapunov理論嚴格證明相對姿態(tài)和相對角速度漸進穩(wěn)定。對控制中經(jīng)常遇到的輸出飽和約束問題，本文設計了增益分配律，可在提高精度的同時避免控制器輸出進入飽和域。仿真結(jié)果表明，在存在初始指向偏差和飽和約束的情況下，該控制器能實現(xiàn)大橢圓軌道衛(wèi)星對靜止軌道衛(wèi)星高精度姿態(tài)指向跟蹤，穩(wěn)態(tài)跟蹤精度達到2″。當存在慣量誤差時，控制器仍能實現(xiàn)高精度指向跟蹤。

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A High Precision Attitude Pointing Tracking Control for Spacecraft Based on the Gain Schedule

Dong Tianshu1, He Yingzi1,2

1. Beijing Institute of Control Engineering, Beijing 100190, China 2. Science and Technology on Space Intelligent Control Laboratory, Beijing 100190, China

Itisinvestigatedthatthehighprecisionandlargeangleofattitudepointingtrackingcontrolproblemforrigidspacecraftinthispaper.Forensuringtherepresentationofattitudeisgloballydefined,weusethemodifiedRodriguesparameterstorepresenttherelativeattitude.AkindofPDtypeattitudepointingtrackingcontrollerisdeveloped,whichcanguaranteetherelativeattitudeandrelativeangularvelocitybeasymptoticallystable.Furthermore,akindofgainscheduleisdesignedtoimprovetheaccuracyofcontrolandavoidthesaturationlimits.Numericalsimulationresultsthatthecontrolalgorithmisabletokeepthehigheccentricobitsatellitepointingtrackingthegeostationarysatelliteunderthesituationofexistinginitialpointingerrorandthesaturationlimits.Thecontrolalgorithmperformsrobustness,duringchangingofsatelliteinertiamatrix.

Attitudetrackingcontrol; PDtypecontrol;Gainschedule

2015-06-18

董天舒(1991-)，男，北京人，碩士研究生，主要研究方向為航天器控制技術(shù)；何英姿(1970-)，女，湖南人，博士，研究員，主要研究方向為航天器制導、導航與控制系統(tǒng)方案設計。

V448

A

1006-3242(2016)01-0050-07