徐沈慧

（江蘇省常州市金壇區(qū)第四中學(xué)）

高考數(shù)學(xué)中三角函數(shù)、立體幾何以及數(shù)列問題分析

徐沈慧

（江蘇省常州市金壇區(qū)第四中學(xué)）

為了更加有效地幫助學(xué)生提高高考成績，促進學(xué)生對三角函數(shù)、立體幾何、數(shù)列問題的學(xué)習(xí)效果，有必要針對高考數(shù)學(xué)中三角函數(shù)、立體幾何以及數(shù)列問題進行深入分析。

一、解答高考中三角函數(shù)問題的策略

高中三角函數(shù)知識中的難點較多，很多學(xué)生都難以理解深刻，因此學(xué)生對三角函數(shù)知識的掌握效果普遍不佳，而三角函數(shù)又是高考中主要考查的知識點之一，教師必須幫助學(xué)生攻克難關(guān)。我認為，教師應(yīng)該著重引導(dǎo)學(xué)生分散難點和轉(zhuǎn)化難點，當(dāng)學(xué)生遇到陌生而復(fù)雜的三角函數(shù)式子時，首先要認真審題，弄清本道題考查的知識點是什么，之后要利用三角函數(shù)的性質(zhì)，并充分運用倍角公式、降冪公式、化二為一公式來把該式將式子變形，分散和轉(zhuǎn)移難點，再利用所學(xué)知識進行解答。

例如，在求函數(shù)y=7-4sinxcosx+4cos2x-4cos4x的最大值和最小值時，假如學(xué)生對此式子感到陌生，此時教師就可以引導(dǎo)學(xué)生來分散和轉(zhuǎn)移難點，該題可以利用倍角公式降冪，再利用配方變?yōu)閺?fù)合函數(shù)，通過教師一步步的引導(dǎo)，最終學(xué)生可以將y=7-4sinxcosx+ 4cos2x-4cos4x轉(zhuǎn)化為y=（1-sin2x）2+6，這樣一來此題就容易解答了，因為函數(shù)z=（u-1）2+6在［-1，1］中的最大值為Zmax=（-1-1）2+6= 10，最小值為Zmin=（1-1）2+6=6，因此該題最終答案即是“當(dāng)sin2x=-1時y取得最大值10，當(dāng)sin2x=1時y取得最小值6”。

二、解答高考中立體幾何問題的策略

很多高考學(xué)生在解答立體幾何問題時出現(xiàn)錯誤，都是因為對知識掌握不牢固，或者是因為學(xué)生頭腦中缺乏空間感和立體感，也有個別學(xué)生由于書寫不規(guī)范導(dǎo)致沒能取得理想的成績。教師應(yīng)該帶領(lǐng)學(xué)生進行易錯題練習(xí)，教師在平時的日常教學(xué)過程中，一定要善于總結(jié)，歸納出學(xué)生容易產(chǎn)生錯誤的題型，進而針對性地進行訓(xùn)練，并且在訓(xùn)練過程中要帶領(lǐng)學(xué)生進行總結(jié)，分析每道題中容易出現(xiàn)錯誤的環(huán)節(jié)，讓學(xué)生引以為鑒。

例如，在下面這個圖形中：

已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱長等于b，斜三棱柱的底面為正三角形，正三角形的邊長等于a，AB和AC是底面兩條鄰邊，AB、AC與側(cè)棱AA1都成45°角，求斜三棱柱的側(cè)面積。

在解答這道題時，一些學(xué)生沒有給出任何證明而直接計算結(jié)果，也有一部分學(xué)生在作直截面時出現(xiàn)了錯誤，過BC作平面AA1垂直于M，還有一些學(xué)生由∠A1AB=∠A1ACAA1在底面ABC上的射影是∠BAC的平分線，沒有給出結(jié)論，這些都是學(xué)生比較容易出現(xiàn)的錯誤，針對這些問題，教師應(yīng)該先引導(dǎo)學(xué)生找到正確答案，引導(dǎo)學(xué)生過點B作BM⊥AA1于M，之后再啟發(fā)學(xué)生連結(jié)CM，最后一步步指引學(xué)生找出正確的解題思路：在ABM和ACM中，AB=AC，同時∠MAB=∠MAC=45°，并且MA為公用邊，所以可以證明ABMACM，進而又可以證明∠AMC=∠AMB=90°，因此AA1⊥面BHC，根據(jù)上述步驟就可以證明平面BMC為直截面，在此基礎(chǔ)上通過BM=CM=ABsin45°=a，又可以證明BMC的周長等于a+a=（1+）a，已知條件中給出了棱長等于b，所以最終S側(cè)=（1+）ab。

高中學(xué)生在解答立體幾何問題時，常常由于缺乏立體感和空間感而出現(xiàn)錯誤，因此教師還應(yīng)該加強學(xué)生的立體感和空間感。

例如以下這道題：一個密封的正方體盒子中有一個小球，正方體盒子的棱長為6 cm，小球的半徑為1 cm，無論怎樣搖動這個正方體盒子，盒子中都有一部分空間是小球不能到達的，求小球在盒子中不能到達的空間的體積。

這道題的題目只有文字敘述，沒有圖形，因此需要學(xué)生在大腦中形成立體圖形，個別學(xué)生在解答過程中，誤以為小球就是正方體的內(nèi)切球，直接用正方體的體積減去內(nèi)切球的體積，這樣就出現(xiàn)了錯誤，而出現(xiàn)錯誤的一個主要原因就是學(xué)生想象力不足，缺乏立體感和空間感，教師應(yīng)該多通過類似的練習(xí)題來提升學(xué)生的立體感和空間感。

另外，書寫是否規(guī)范也對學(xué)生的成績有一定影響，因此教師還要幫助學(xué)生鍛煉書寫能力，使學(xué)生能夠熟練做好“作”“證”“算”各個步驟，幫助學(xué)生正確地表述，糾正他們的邏輯錯誤，使他們可以將自己想表達的內(nèi)容完整、有序地表達出來。

三、解答高考數(shù)列問題的策略

在解答數(shù)列問題時，教師應(yīng)該幫助學(xué)生明確以下幾條思路：

（1）在處理數(shù)列的計算問題時，應(yīng)充分、靈活地利用等比以及等差數(shù)列的通項公式、前n項和的公式，同時要妥善利用數(shù)列的性質(zhì)；

（2）在處理等比以及等差數(shù)列的證明問題時，要充分運用定義；

（3）在遇到數(shù)列方面的難題時，應(yīng)進行轉(zhuǎn)化，將數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，這樣就可以通過數(shù)學(xué)知識來解答問題；

（4）想要順利地處理數(shù)列問題，就要熟練掌握一些數(shù)學(xué)思想，包括分類討論思想、函數(shù)方程思想、整體解決問題思想等等，因此教師要幫助學(xué)生強化數(shù)學(xué)思想。

此外，教師應(yīng)該帶領(lǐng)學(xué)生在平時的學(xué)習(xí)過程中多積累知識，首先應(yīng)該讓學(xué)生勤看課本，課本中的范例難度適中，有助于幫助學(xué)生加深對立體幾何知識的印象。當(dāng)學(xué)生熟練掌握課本內(nèi)容之后，再帶領(lǐng)學(xué)生進行習(xí)題訓(xùn)練，教師一定要注意，開展習(xí)題練習(xí)不能盲目采取題海戰(zhàn)術(shù)，習(xí)題練習(xí)不僅需要“量”，更需要“質(zhì)”，一定要明確學(xué)生的學(xué)習(xí)難點，有針對性地進行訓(xùn)練。

在高中數(shù)學(xué)知識中，三角函數(shù)、立體幾何、數(shù)列問題是三個重要的知識點，在多年的高考試題中，都要涉及這三個知識點，本文分別探討了解答這三種問題的策略，希望對教學(xué)工作有所借鑒。

·編輯薄躍華