王文革 趙龍

漸開線函數(shù)表的程序化處理

王文革 趙龍

（山東科技職業(yè)學(xué)院 濰坊 261053）

采用牛頓迭代法對(duì)齒輪漸開線函數(shù)表進(jìn)行程序化處理，把反漸開線函數(shù)的求值過程編制成子程序，可避免查閱漸開線函數(shù)表，這樣在用計(jì)算機(jī)編制程序?qū)X輪進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)和齒形加工進(jìn)行有關(guān)數(shù)值計(jì)算時(shí)可以直接調(diào)用，本程序用VisualBasic語言編制。

漸開線函數(shù)表；程序化；牛頓迭代法；VisualBasic語言

在齒輪設(shè)計(jì)、加工過程中經(jīng)常用到齒形漸開線函數(shù)θ=tgα-α，其中θ為齒形曲線上某點(diǎn)對(duì)應(yīng)的漸開線展角，α為該點(diǎn)的壓力角，漸開線函數(shù)θ=tgα-α為超越函數(shù)，不能通過普通計(jì)算求值，特別是已知展角θ求壓力角α的情況，因此，一般的機(jī)械設(shè)計(jì)資料都提供漸開線函數(shù)表，方便使用者查閱，對(duì)表中沒有的數(shù)據(jù)要進(jìn)行插值計(jì)算，精度與效率都比較低。在用計(jì)算機(jī)編程對(duì)齒輪傳動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)或齒形加工進(jìn)行有關(guān)計(jì)算時(shí)，查表法更是限制了程序的編制，因此有必要對(duì)漸開線函數(shù)表進(jìn)行程序化處理，方便編制程序?qū)X輪優(yōu)化設(shè)計(jì)和進(jìn)行齒形數(shù)值計(jì)算。

1 漸開線函數(shù)性質(zhì)研究

1.1 函數(shù)構(gòu)造及有解判斷

對(duì)于已知展角θ（θ=θ0θ0為大于零的已知數(shù)）求壓力角α，根據(jù)漸開線函數(shù)得到θ0=tgα-α，為此構(gòu)造函數(shù)f（α）=tgα-α-θ0，則在f（α）=0時(shí)的自變量值即為所求的壓力角α值，根據(jù)壓力角的定義和正切函數(shù)的定義域和值域可知f（α）的定義域?yàn)閇0，π/2），值域?yàn)閇-θ0，+∞），所以f（α）=tgα-α-θ0的圖像與 x軸有交點(diǎn)，即方程 tgα-α-θ0=0 有解。

1.2 f（α）的單調(diào)性研究

對(duì)f（α）求一次導(dǎo)數(shù)得到f′（α）=1/cos2α-1，在α∈[0，π/2]范圍內(nèi)，可知f′（α）≥0，所以f（α）為單調(diào)遞增函數(shù)，結(jié)合前述1可知α有唯一解。

1.3 f（α）的凸凹性研究

對(duì)f′（α）=1/cos2α-1繼續(xù)求導(dǎo)數(shù)得到f″（α）=2sinα/cos3α，在α∈[0，π/2）范圍內(nèi)，可知f″（α）≥0，所以f（α）為凹函數(shù)。

1.4 f（α）圖像形態(tài)研究

綜合前面1、2、3的結(jié)論可知在α∈[0，π/2）范圍內(nèi)，f（α）的圖像為一條與x軸有交點(diǎn)的單調(diào)遞增凹曲線，如圖1所示。

圖1

2 α0值求解方法

2.1 迭代規(guī)則

對(duì)于如圖1所示的函數(shù)圖像可用牛頓迭代法求f（α）=0時(shí)的自變量α0值，如圖2在曲線上取一點(diǎn)，作為迭代起始點(diǎn)，過該點(diǎn)作f（α）的切線與橫軸交于（αi+1，0）點(diǎn)，過（αi+1，0）點(diǎn)作垂直線與f（α）交于（αi+1，f（αi+1，0）），過該點(diǎn)再做切線，得到新的交點(diǎn)（αi+1，0），如此重復(fù)，則αi+1值就無限接近于所求的α0，根據(jù)幾何關(guān)系（如圖2所示）迭代公式為：αi+1=αi-f（αi）/f'（αi），設(shè)定f（αi+1）＜j時(shí)迭代終止，j為預(yù)先給定的小正數(shù)。

2.2 迭代起始點(diǎn)的確定

圖2

從圖 2 可以看出，迭代起始點(diǎn)（α1，0）必須在（α0，0）的右側(cè)，即必須有α1＞α0，迭代才能順利進(jìn)行，可以通過驗(yàn)算是否有f（α1）＞0判斷α1＞α0是否成立，起始點(diǎn)的具體確定可采用二分法，首先取區(qū)間[0，π/2）的中點(diǎn)π/4，驗(yàn)算f（π/4）＞0是否成立，如果成立，以（π/4，f（π/4））點(diǎn)為迭代初始點(diǎn)，如果不成立取區(qū)間[π/4，π/2）的中點(diǎn)繼續(xù)驗(yàn)算，直到找到f（α＞0）的點(diǎn)作為迭代起始點(diǎn)。

3 使用說明

（1）展角θ以10進(jìn)制數(shù)輸入。

（2）迭代終止精度以一個(gè)接近于零的小正數(shù)表示，根據(jù)程序使用實(shí)踐，當(dāng)?shù)萰=10-4時(shí)計(jì)算結(jié)果精度已超過查表精度；當(dāng)終止精度j=10-8時(shí)，因f′（α）=1/cos2α-1趨近于零，αi+1=αi-f（αi）/f′（αi）會(huì)發(fā)生溢出從而出現(xiàn)卡機(jī)現(xiàn)象，所以，程序運(yùn)行使用時(shí)可輸入10-4-10-7間的小正數(shù)作為迭代終止條件，為防止誤輸入造成卡機(jī)，在輸入精度后加入了一條判斷語句：“If j＜=0.0000001 Then j=0.0000001”即 j值過小或錯(cuò)誤輸入時(shí)，程序自動(dòng)設(shè)定迭代精度為j=10-7。

（3）壓力角α以10進(jìn)制度數(shù)、度分秒和弧度三種方式輸出，重新計(jì)算時(shí)，精度值可重新輸入，也可使用原精度值。運(yùn)行界面及結(jié)果如圖3所示。

圖3

[1]林卓然.VisualBasic程序設(shè)計(jì)教程[M].北京：電子工業(yè)出版社，2004.

[2]鄭文緯，等.機(jī)械原理[M].北京：高等教育出版社，1997.

[3]黃家驤.優(yōu)化方法與機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)[M].廣州：華南工學(xué)院出版社，1986.

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2016-11-13