陳寶鳳,趙明霞，石東洋

(1. 安陽(yáng)工學(xué)院 數(shù)理學(xué)院, 河南 安陽(yáng) 455000; 2.平頂山學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院， 河南 平頂山 467000； 3. 鄭州大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 河南 鄭州 450001)

0 引言

考慮非線性Sobolev-Galpern型濕氣遷移方程[1]:

(1)

其中：x=(x1,x2)；Ω?R2；系數(shù)a(x,t;u),c(t),f(x,t;u),e(t),g(x,t;u)為已知函數(shù)且滿足如下假設(shè)：

(I)存在正常數(shù)a0,a1,c0,c1,f0,f1,e0,e1使得對(duì)任意x∈Ω,u∈R,t∈(0,T]都有a0≤a(x,t;u)≤a1,c0≤c(t)≤c1,f0≤f(x,t;u)≤f1,e0≤e(t)≤e1.

(II)a(x,t;u),f(x,t;u),g(x,t;u)關(guān)于u滿足Lipschitz條件,并且a(x,t;u),f(x,t;u)關(guān)于u具有直至二階連續(xù)有界的導(dǎo)數(shù).

(III)方程(1)的精確解u∈C2(Ω)×[0,T]且存在唯一.

1 單元構(gòu)造性質(zhì)及逼近格式

ΣK={v1,v2,v3,v4,v5},

其中,

設(shè)Ih:H1(Ω)→Vh為Vh所誘導(dǎo)的插值算子,滿足：

則Vh具有下列重要性質(zhì)[9-10].

引理1 ?u∈H1(Ω),φ∈H2(Ω),vh∈Vh有

(2)

(3)

這里及以后出現(xiàn)的C均表示一個(gè)與h無(wú)關(guān)的正常數(shù),不同的地方可以不同.

在不發(fā)生混淆的情況下,以后仍記(u,v)h=(u,v).

(4)

這里簡(jiǎn)記a(u)=a(x,t;u),f(u)=f(x,t;u),g(u)=g(x,t;u).

方程(4)的逼近問(wèn)題為：求uh(·,t):(0,T]→Vh滿足

(5)

2 超逼近分析

本節(jié)我們給出超逼近性質(zhì).

定理1 設(shè)u和uh分別為方程(4)和(5)的解,u,ut∈H3(Ω)∩W,則有

‖Ihu-uh‖h≤

(6)

證明令ρ=u-Ihu,θ=Ihu-uh,則u-uh=ρ+θ.由方程(1)和方程(5)并在兩端加上f1(θ,vh)，得誤差方程為

(a(uh)θt,vh)+c(θt,vh)+f1(θ,vh)=

-(a(u)ρt,vh)-c(ρt,vh)+

(f(u)ρ,vh)-e(ρ,vh)+

((f(uh)+f1)θ,vh)-e(θ,vh)+

((g(uh)-g(u)),vh)+

((a(u)-a(uh))Ihut,vh)+

((f(u)-f(uh))Ihu,vh)+

(7)

這里的Ii(i=1,…,11)分別對(duì)應(yīng)式(7)中等號(hào)后面的相應(yīng)項(xiàng).在式(7)中取vh=θt，左端可估計(jì)為

(a(uh)θt,θt)+c(θt,θt)+f1(θ,θt)≥

(8)

下面估計(jì)式(7)右端各項(xiàng).為此,定義

則?φ∈W(Ω),

首先由式(2)及ε-Young不等式,得

Ch2|ut|2‖θt‖0≤

(9)

I2=c(ρt,θt)≤Ch2|ut|2‖θt‖0≤

(10)

同理,

I3=(f(u)ρ,θt)=

Ch2|u|2‖θt‖0≤

(11)

由單元的定義知

所以

I4=e(ρ,θt)=e(

e(

Ch2|u|2‖θt‖0≤

(12)

再由f和e的有界性及ε-Young不等式可得

I5=((f(uh)+f1)θ,θt)≤

C‖θ‖0‖θt‖0≤

(13)

I6=e(θ,θt)≤C‖θ‖0‖θt‖0≤

(14)

同理,利用g的Lipschitz連續(xù)性及式(2)得

I7=((g(uh)-g(u)),θt)≤

C‖u-uh‖0‖θt‖0≤

C(‖u-Ihu‖0+‖uh-Ihu‖0)‖θt‖0≤

Ch2‖u‖2‖θt‖0+C‖θ‖0‖θt‖0≤

(15)

另一方面,由假設(shè)u,ut∈H3(Ω)∩W,可知

‖Ihu‖≤Cu,‖Ihut‖≤Cu,

這里Cu表示與u有關(guān)的常數(shù),不妨仍記為C.再由a和f的光滑性,類似于I7的估計(jì)可得

I8+I9≤C‖u-uh‖0‖θt‖0≤

C(‖u-Ihu‖0+‖uh-Ihu‖0)‖θt‖0≤

Ch2‖u‖2‖θt‖0+C‖θ‖0‖θt‖0≤

(16)

由式(3)可得

I10+I11≤Ch2(‖u‖3+‖ut‖3)‖θt‖0≤

(17)

綜合式(8)-(17),利用‖θ‖0≤C‖θ‖0并取得

(18)

兩邊對(duì)t積分,并注意到θ(0)=0得

(19)

應(yīng)用Gronwall不等式得

故

(20)

證畢.

3 超收斂分析

為了得到整體超收斂結(jié)果,把Th中相鄰的4個(gè)小單元合并為一個(gè)大單元.同文獻(xiàn)[9]中一樣，構(gòu)造插值后處理算子I2h使其滿足下列性質(zhì)

I2hIhw=I2hw,?w∈H2(Ω),

‖I2hw-w‖h≤Ch2‖w‖3,?w∈H3(Ω),

‖I2hvh‖h≤C‖vh‖h,?vh∈Vh.

(21)

定理2 設(shè)I2h為上述構(gòu)造的插值后處理算子,在定理1的假設(shè)下，有下面的整體超收斂結(jié)果

‖I2huh-u‖h≤

(22)

證明由不等式(6)、(21)及三角不等式，可得

‖I2huh-u‖h≤

‖I2huh-I2hIhu‖h+‖I2hIhu-u‖h=

‖I2h(uh-Ihu)‖h+‖I2hu-u‖h≤

(23)

證畢.

4 結(jié)論