孫 欣, 馬思佳, 李銘輝

(沈陽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院, 沈陽 110034)

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解析幾何課程中求四面體體積新方法探究

孫 欣, 馬思佳, 李銘輝

(沈陽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院, 沈陽 110034)

對數(shù)學(xué)類專業(yè)開設(shè)的解析幾何課程教材中求以不共面的4個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)組成的四面體體積問題進(jìn)行了研究。教材只給出了從四面體一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的3個(gè)不共面向量求其混合積求體積的方法。事實(shí)上,只要從4個(gè)頂點(diǎn)中任取3個(gè)不共面向量,求其混合積就可以求四面體體積,并利用2種方法證明了所得結(jié)論。最后,以一個(gè)數(shù)值算例說明所用方法的正確性與有效性,對教材內(nèi)容進(jìn)行了深化與拓展。

四面體體積; 《解析幾何》課程; 向量混合積

0 引 言

求四面體體積問題,一直是數(shù)學(xué)類問題研究的熱點(diǎn)。文獻(xiàn)[1-4]利用6條棱長給出四面體體積計(jì)算公式;文獻(xiàn)[5-6]利用四面體由一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的3條棱長及其中每2條棱的夾角求體積;文獻(xiàn)[7-8]利用4個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo),形成由1個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的3條不共面向量,以行列式的形式給出四面體體積計(jì)算公式。文獻(xiàn)[9]計(jì)算從1個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的3個(gè)向量混合積,求其絕對值再除以6,這樣的3個(gè)向量共點(diǎn)卻不共面,取法共有4種。事實(shí)上,不共面的3個(gè)向量除了這4種外,還有12種,即2個(gè)向量共點(diǎn)而第3個(gè)向量與2個(gè)向量既不共點(diǎn)也不共面,只要計(jì)算出3個(gè)向量混合積的絕對值再除以6就等于四面體體積。本文將用2種方法證明這16種不共面3個(gè)向量的混合積的絕對值都相等,等于已知四面體體積的6倍,由此給出求四面體體積的新方法。

1 問題的形成

圖1 四面體A-BCDFig.1 Tetrahedron A-BCD

下面用2種方法證明這16種不共面的3個(gè)向量的混合積的絕對值都相等,等于以這3個(gè)向量為棱組成的四面體體積的6倍。

2 利用向量內(nèi)積、外積法證明不共面3個(gè)向量的混合積絕對值相等

分別考慮2種情況證明不共面3個(gè)向量的混合積絕對值相等。

1) 情況Ⅱ 3個(gè)向量共點(diǎn)

同理,從B、C、D點(diǎn)分別出發(fā)的3組3個(gè)向量的混合積的絕對值分別等于四面體B-ACD、C-ABD、D-ABC體積的6倍,即等于四面體ABCD體積的6倍。即

2) 情況Ⅲ 2向量共點(diǎn),第3個(gè)向量與2向量既不共點(diǎn)也不共面

圖2 四面體D-ABCFig.2 Tetrahedron D-ABC

其他組3個(gè)向量有

綜上可知,情況Ⅲ的12組不共面的3個(gè)向量的混合積的絕對值都相等,等于四面體A-BCD體積的6倍。

3 利用行列式法證明不共面3個(gè)向量的混合積絕對值相等

設(shè)四面體A-BCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3),D(x4,y4,z4),利用點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算3個(gè)向量混合積。分別考慮如下2種情況:

情況Ⅱ 3個(gè)向量共點(diǎn)

由向量混合積的幾何意義知,從四面體任意一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的3個(gè)向量的混合積的絕對值都等于四面體體積的6倍。這樣的3個(gè)向量有4組,它們的混合積分別為

情況Ⅲ 2個(gè)向量共點(diǎn),第3個(gè)向量與這2個(gè)向量既不共點(diǎn)又不共面,它們的混合積分別為

其中ri+krj表示第j行的k倍加到第i行上,i,j=1,2,3。

其中ri?rj表示將第i行與第j行對調(diào),i,j=1,2,3。

綜上,情況Ⅲ中2種不共面3個(gè)向量的混合積的絕對值都相等,等于四面體A-BCD體積的6倍。至此,16種不共面的3個(gè)向量的混合積絕對值都相等且等于四面體體積的6倍,證畢。

4 數(shù)值算例[9]

已知四面體A-BCD頂點(diǎn)A(0,0,0),B(6,0,6),C(4,3,0),D(2,-1,3),求它的體積。

可以看出,3個(gè)向量混合積的絕對值為6,當(dāng)3個(gè)向量依次順序構(gòu)成右手系時(shí),混合積為正,值為6;當(dāng)3個(gè)向量依次順序構(gòu)成左手系時(shí),混合積為負(fù),值為-6。根據(jù)向量混合積的幾何意義,可以得到四面體ABCD的體積為1?？梢钥闯?計(jì)算四面體體積,只需利用不共面的3個(gè)向量求其混合積即可得到,而非只能利用從1個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的不共面3個(gè)向量求混合積得到,本文提出的方法使用條件更寬泛。

5 結(jié) 語

本文研究了由不共面四點(diǎn)坐標(biāo),利用向量混合積求四面體體積的問題。提出了一種新的簡單易行的求四面體體積方法,即利用四點(diǎn)構(gòu)成不共面的3個(gè)向量,求其混合積,取絕對值除以6,得到四面體體積。本文的方法簡潔、高效,對求四面體體積具有實(shí)效性和普遍性。

[1]毛其吉. 四面體的“六斜”求積公式[J]. 蘇州教育學(xué)院學(xué)報(bào), 2003, 20(3):65-66.

[2]余志. 四面體的六棱求積公式[J]. 數(shù)學(xué)通訊, 2003(19):31.

[3]黃耿躍. 再談四面體的六棱求積公式[J]. 數(shù)學(xué)通訊, 2005(15):28-29.

[4]陳金輝. 四面體的求積公式[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào), 1985(3):1.

[5]胡國華. 四面體求積的另一公式[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào), 1986(5):27.

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[8]黃莉,湯茂林. 行列式在解析幾何中的應(yīng)用[J]. 貴陽學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2014,9(4):42-44.

[9]呂林根,許子道. 解析幾何[M]. 4版. 北京:高等教育出版社, 2014:57.

A new method of computing the volume of a tetrahedron in analytic geometry course

SU NXin, MA Sijia, LI Minghui

(College of Mathematics and Systems Science, Shenyang Normal University, Shenyang110034, China)

This paper focuses on the problem of computing the volume of a tetrahedron in virtue of four vertexes not on the same plane in analytic geometry course for mathematics. The textbook only introduces that the volume of a tetrahedron is obtained by mixed product of three vectors which are emitted from one vertex and not on the same plane. However, the limited condition can be relaxed, that is, the volume of a tetrahedron can be obtained if the three vectors composed of four vertexes are not on the same plane, which is addressed in this paper. Two methods are adopted to prove the conclusion. Furthermore, a numerical example is presented to demonstrate the effectiveness of the proposed method and the results of textbook are deepended and widened in this paper.

the volume of a tetrahedron; analytic geometry course; mixed product of vectors

2016-02-23。

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61374043); 遼寧省科技廳自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2014020121)。

孫 欣(1972-),女,遼寧沈陽人,沈陽師范大學(xué)副教授,博士。

1673-5862(2016)03-0338-05

G434

A

10.3969/ j.issn.1673-5862.2016.03.018