張曉霞，李云霞

(楚雄師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，云南 楚雄 675000)

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一類(lèi)函數(shù)的單調(diào)性研究*

張曉霞，李云霞

(楚雄師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，云南 楚雄 675000)

本文討論了一類(lèi)一般的冪指函數(shù)的單調(diào)性，獲得了三個(gè)一般性結(jié)果，同時(shí)得到了與之對(duì)應(yīng)的數(shù)列的單調(diào)性。

冪指函數(shù)；冪指數(shù)列；單調(diào)性

1.主要引理

(i) 若α>0，則

(ii)若α0，則在區(qū)間上，g(x)>0.

則

(1)

(2)

所以當(dāng)α-1<0，即0<α<1時(shí)，由洛必達(dá)法則得

(3)

于是

(4)

若α-1>0，即α>1時(shí)，由(3)式同理可得

(5)

由洛必達(dá)法則得

(6)

所以

(7)

(8)

綜上所述, 引理中的(i)得證.

(9)

由洛必達(dá)法則得

又由(6)式可得

(10)

綜上所述，故引理中的(ii)得證.

2.主要結(jié)論

(ii)當(dāng)α0時(shí)，函數(shù)f(x)在上均為嚴(yán)格遞增函數(shù).

(11)

① 當(dāng)0<α<1時(shí)，g(x)>0，f′(x)>0，從而f(x)在該區(qū)間上為嚴(yán)格遞增函數(shù)；

② 當(dāng)α>1時(shí)，g(x)<0，f′(x)<0，從而f(x)在該區(qū)間上為嚴(yán)格遞減函數(shù).

(ii)若α0時(shí)，由(11)式及(ii)，均有g(shù)(x)>0，則(x)>0，從而f(x)在區(qū)間均為嚴(yán)格遞增函數(shù).

綜上所述，定理得證.

由定理可知，當(dāng)x取自然數(shù)n時(shí)有

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(上冊(cè))(第四版)[M].北京：高等教育出版社，2010:23-60,165——166.

[2]朱勻華.微積分入門(mén)指導(dǎo)與思考方法[M].廣東：中山大學(xué)出版社，1987：270—280.

[3]張全新，郭世平.一類(lèi)數(shù)列單調(diào)性的探究[J].合肥師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2009.27(03)：29—31.

(責(zé)任編輯 李艷梅)

The Monotonicity of a Kind of Function

ZHANG Xiaoxia & LI Yunxia

(SchoolofMathematics&Statistics,ChuxiongNormalUniversity,Chuxiong, 675000,YunnanProvince)

In this paper, we first discuss the monotonicity of a kind of power exponential function and prove three general results of it. Secondly, we obtain the monotone property of the corresponding sequence.

The power exponent function；The power exponent sequence；Monotonicity

2016 - 04 - 12通訊作者：李云霞(1970—)，女，教授，研究方向：函數(shù)論。

O174.3

A

1671 - 7406(2016)06 - 0001 - 04