熊良宵，虞利軍

(1.寧波大學(xué) 建筑工程與環(huán)境學(xué)院, 浙江 寧波　315211; 2.浙江省巖土基礎(chǔ)公司, 浙江 寧波　315040)

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三種Mohr強(qiáng)度準(zhǔn)則的對(duì)比分析

熊良宵1，虞利軍2

(1.寧波大學(xué) 建筑工程與環(huán)境學(xué)院, 浙江 寧波315211; 2.浙江省巖土基礎(chǔ)公司, 浙江 寧波315040)

摘要：簡(jiǎn)述了Mohr-Coulomb強(qiáng)度準(zhǔn)則、拋物線型Mohr強(qiáng)度準(zhǔn)則和雙曲線型Mohr強(qiáng)度準(zhǔn)則，并采用3種高應(yīng)力下巖石的真三軸試驗(yàn)結(jié)果對(duì)這3種強(qiáng)度準(zhǔn)則進(jìn)行對(duì)比分析。研究結(jié)果表明：在高應(yīng)力條件下，硬巖的試驗(yàn)值與Mohr-Coulomb強(qiáng)度準(zhǔn)則和雙曲線型Mohr強(qiáng)度準(zhǔn)則的預(yù)測(cè)值均比較接近。Mohr-Coulomb強(qiáng)度準(zhǔn)則是線性強(qiáng)度準(zhǔn)則，雙曲線型Mohr-Coulomb強(qiáng)度準(zhǔn)則是非線性強(qiáng)度準(zhǔn)則，因此，可認(rèn)為雙曲線型Mohr強(qiáng)度準(zhǔn)則更適合用于描述高應(yīng)力條件下巖石的強(qiáng)度變形特征。

關(guān)鍵詞：巖石力學(xué)；高應(yīng)力；Mohr-Coulomb強(qiáng)度準(zhǔn)則；拋物線型Mohr強(qiáng)度準(zhǔn)則；雙曲線型Mohr強(qiáng)度準(zhǔn)則；真三軸試驗(yàn)

1研究背景

巖石強(qiáng)度準(zhǔn)則是巖石工程結(jié)構(gòu)計(jì)算和設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)理論，研究巖石強(qiáng)度準(zhǔn)則對(duì)理論創(chuàng)新和工程應(yīng)用都具有重要意義[1]。多年來(lái)，有關(guān)巖石強(qiáng)度準(zhǔn)則的研究成果層出不窮，比較有代表性的強(qiáng)度準(zhǔn)則有Mohr-Coulomb準(zhǔn)則、Hoek-Brown準(zhǔn)則和Drucker-Prager準(zhǔn)則等[2]，但這些強(qiáng)度準(zhǔn)則都具有一定的局限性。而近幾年來(lái)，深部巖石工程越來(lái)越常見(jiàn)，巖石往往處于復(fù)雜的應(yīng)力狀態(tài)下，因此，若繼續(xù)采用上述常用的強(qiáng)度準(zhǔn)則來(lái)描述巖石的破壞形式和強(qiáng)度特征，將與實(shí)際存在很大的差別，也就需要研究出適合于高應(yīng)力狀態(tài)下巖石的強(qiáng)度準(zhǔn)則[3]。

目前，關(guān)于高應(yīng)力狀態(tài)下巖石的強(qiáng)度準(zhǔn)則研究，也有相關(guān)文獻(xiàn)進(jìn)行了報(bào)道。如Aubertin等[4]提出了一個(gè)各向同性巖石強(qiáng)度準(zhǔn)則，即MSDPu準(zhǔn)則，在低應(yīng)力狀態(tài)下，該準(zhǔn)則與Mises-Schleicher準(zhǔn)則相同，在高應(yīng)力狀態(tài)下，與Drucker-Prager 準(zhǔn)則相同。昝月穩(wěn)等[5]考慮到高靜水應(yīng)力作用下巖石的脆性破壞和韌性破壞特征，提出了高靜水應(yīng)力狀態(tài)下非線性統(tǒng)一強(qiáng)度理論和廣義非線性統(tǒng)一強(qiáng)度理論。周小平等[6]基于斷裂力學(xué)知識(shí)，推導(dǎo)了新的深部巖體強(qiáng)度準(zhǔn)則。陳景濤[7]提出了一個(gè)有關(guān)高應(yīng)力硬巖的三剪強(qiáng)度準(zhǔn)則。高紅[8]基于Mohr-Coulomb單剪屈服準(zhǔn)則，對(duì)考慮3個(gè)剪切面的能量屈服準(zhǔn)則進(jìn)行探討，建立了適用于巖土材料的三剪能量強(qiáng)度準(zhǔn)則。路德春等[9]基于SMP準(zhǔn)則和Mises準(zhǔn)則，提出了巖石廣義非線性強(qiáng)度理論。T.Benz等[10]則采用了與文獻(xiàn)[9]類(lèi)似的方法，基于SMP準(zhǔn)則和Hoek-Brown準(zhǔn)則，建立一個(gè)巖體廣義HB-MN準(zhǔn)則。

上述這些新的強(qiáng)度準(zhǔn)則相對(duì)于以往的常用強(qiáng)度準(zhǔn)則是有很大的提高，比如考慮了中間主應(yīng)力的影響、考慮子午線的非線性等。但也存在不可回避的缺點(diǎn)，如文獻(xiàn)[5]提出的強(qiáng)度準(zhǔn)則，在高應(yīng)力狀態(tài)下與Drucker-Prager準(zhǔn)則相同，無(wú)法考慮巖石的拉壓異性。文獻(xiàn)[7]提出的三剪強(qiáng)度準(zhǔn)則，但參數(shù)只能通過(guò)遺傳算法確定，沒(méi)有物理意義。而文獻(xiàn)[2]和文獻(xiàn)[6]雖然都考慮了巖石的中間主應(yīng)力、巖石拉壓異性等因素的影響，但參數(shù)過(guò)多，形式過(guò)于復(fù)雜。俞茂宏等[11]認(rèn)為屈服準(zhǔn)則的創(chuàng)新應(yīng)該滿(mǎn)足：新、比原來(lái)準(zhǔn)則更好、能夠?qū)嵤?、便于?shí)際應(yīng)用。

鑒于此，本文立足于Mohr強(qiáng)度理論，在仔細(xì)分析趙彭年[12]提出的拋物線型Mohr強(qiáng)度準(zhǔn)則和雙曲線型Mohr強(qiáng)度準(zhǔn)則的基礎(chǔ)上，與Mohr-Coulomb強(qiáng)度準(zhǔn)則進(jìn)行比較，找到適合于高應(yīng)力狀態(tài)下的巖石強(qiáng)度準(zhǔn)則。

圖1　Mohr圓及其包絡(luò)線

2三種Mohr強(qiáng)度準(zhǔn)則簡(jiǎn)述及對(duì)比

Mohr認(rèn)為破壞發(fā)生在材料的某個(gè)面上，在該面上的法向應(yīng)力σn與剪應(yīng)力τ滿(mǎn)足下列函數(shù)關(guān)系[13]：

(1)

在一般情況下，Mohr強(qiáng)度包絡(luò)線在σ-τ平面上可表達(dá)成直線，也可表達(dá)成雙曲線、拋物線、擺線等非線性曲線，見(jiàn)圖1。

2.1Mohr-Coulomb強(qiáng)度準(zhǔn)則

將Mohr包絡(luò)線簡(jiǎn)化為直線方程時(shí)，即為Mohr-Coulomb準(zhǔn)則，其表達(dá)式為

(2)

本文定義壓應(yīng)力為正，拉應(yīng)力為負(fù)，因此，式(2)可以用主應(yīng)力σ1和σ3表示：

σ1(1-sinφ)-σ3(1+sinφ)-2ccosφ=0。

(3)

由于在主應(yīng)力空間中有

(4)

用I1，J2，θσ代替σ1和σ3，則可得

(5)

(6)

Mohr-Coulomb強(qiáng)度準(zhǔn)則的子午線是直線，在主應(yīng)力空間內(nèi)的極限面為不規(guī)則的六角形截面的角錐體表面。

2.2二次拋物線型Mohr強(qiáng)度準(zhǔn)則

趙彭年[12]提出了二次拋物線型莫爾強(qiáng)度準(zhǔn)則：

(7)

式中：σt為單軸抗拉強(qiáng)度；λ為待定正常數(shù)，其值與巖石的單軸拉壓比有關(guān)。

李順群等[14]又重新建立了二次拋物線型Mohr強(qiáng)度準(zhǔn)則：

(8)

其中a和b為待定系數(shù)。

通過(guò)對(duì)比式(7)、式(8)可以發(fā)現(xiàn)，式(7)可以很好地反映巖石的抗拉強(qiáng)度，且待定參數(shù)λ的值并不只是根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果擬合得到，而是與巖石單軸拉壓比有關(guān)，式(7)比式(8)更加合理。因此，本文主要對(duì)式(7)進(jìn)行擴(kuò)展。

式(7)用主應(yīng)力可表達(dá)為

(9)

用I1，J2，θσ代替σ1和σ3，則可得

(10)

或?qū)憺?/p>

(11)

拋物線型Mohr強(qiáng)度準(zhǔn)則的子午線是曲線，在主應(yīng)力空間內(nèi)的極限面為拋物面。

2.3雙曲線型Mohr強(qiáng)度準(zhǔn)則

文獻(xiàn)[12]提出了雙曲線型Mohr強(qiáng)度準(zhǔn)則：

(12)

式中a，b，d為待定常數(shù)，其值也與巖石的單軸抗拉強(qiáng)度和抗壓強(qiáng)度有關(guān)。

式(12)用主應(yīng)力可表達(dá)為

(13)

用I1，J2，θσ代替σ1和σ3，則可得

(14)

雙曲線型Mohr強(qiáng)度準(zhǔn)則的子午線是曲線，在主應(yīng)力空間內(nèi)的極限面為雙曲面。

3試驗(yàn)值與理論值對(duì)比

為了分析上述哪一種Mohr強(qiáng)度準(zhǔn)則更適合于高應(yīng)力條件下的巖石，作者參考了不同巖石的3組真三軸試驗(yàn)數(shù)據(jù)，這3組巖石試驗(yàn)的圍壓均比較高，可以較好地模擬巖石的高應(yīng)力狀態(tài)。

表1為部分Westerly花崗巖試驗(yàn)值[15]。

表1　Westerly花崗巖試驗(yàn)值Table 1　Test values of Westerly granite

圖2為Westerly花崗巖試驗(yàn)值與理論值在p-q平面上的比較。Mohr-Coulomb準(zhǔn)則計(jì)算參數(shù)為：c=57.47 MPa，φ=52°。拋物線型Mohr強(qiáng)度準(zhǔn)則計(jì)算參數(shù)：λ=132.08，σt=44.74 MPa,σc=334.76 MPa。雙曲線型Mohr強(qiáng)度準(zhǔn)則計(jì)算參數(shù)為：a=0.53，b=64.70，d=446.57。

圖2　Westerly花崗巖的試驗(yàn)值與理論值比較

由圖2可知，在p-q平面上，Westerly花崗巖的試驗(yàn)值與Mohr-Coulomb強(qiáng)度準(zhǔn)則和雙曲線型Mohr強(qiáng)度準(zhǔn)則得到的預(yù)測(cè)值比較接近，且雙曲線型Mohr強(qiáng)度準(zhǔn)則得到的預(yù)測(cè)值略偏小于Mohr-Coulomb強(qiáng)度準(zhǔn)則得到的預(yù)測(cè)值。而拋物線型強(qiáng)度準(zhǔn)則得到的預(yù)測(cè)值與試驗(yàn)值相差很大，平均主應(yīng)力p越大，差距越大。

圖3為Westerly花崗巖每個(gè)試樣采用這3種強(qiáng)度準(zhǔn)則時(shí)q的預(yù)測(cè)值與試驗(yàn)值之間的誤差。

圖3　Westerly花崗巖理論值的誤差

由圖3可知，采用Mohr-Coulomb強(qiáng)度準(zhǔn)則和雙曲線型Mohr強(qiáng)度準(zhǔn)則時(shí)q的預(yù)測(cè)值與試驗(yàn)值之間的誤差比較接近，當(dāng)平均主應(yīng)力比較小時(shí)，采用這2種準(zhǔn)則預(yù)測(cè)時(shí)誤差均比較大，但隨著平均主應(yīng)力的增大，誤差基本在±10%內(nèi)。而采用拋物線型Mohr強(qiáng)度準(zhǔn)則時(shí)，當(dāng)平均主應(yīng)力較小時(shí)，預(yù)測(cè)值與試驗(yàn)值之間的誤差比較小，但隨著平均主應(yīng)力的增加，預(yù)測(cè)值與試驗(yàn)值之間的誤差越來(lái)越大。

表2為部分KTB Amphibolite巖試驗(yàn)值[15]。

表2　KTB Amphibolite巖試驗(yàn)值Table 2　Test values of KTB Amphibolite

圖4　KTB Amphibolite巖試驗(yàn)值與理論值比較

圖4為KTB Amphibolite巖試驗(yàn)值[15]與理論值在p-q平面上的比較。Mohr-Coulomb準(zhǔn)則計(jì)算參數(shù)為：c=57.54 MPa，φ=48°。拋物線型Mohr強(qiáng)度準(zhǔn)則計(jì)算參數(shù)為：λ=111.55，σt=51.76 MPa, σc=

300.06 MPa。雙曲線型Mohr強(qiáng)度準(zhǔn)則計(jì)算參數(shù)為：a=0.413，b=88.76，d=957.67。

圖5為KTB Amphibolite巖每個(gè)試樣采用這3種強(qiáng)度準(zhǔn)則時(shí)q的預(yù)測(cè)值與試驗(yàn)值之間的誤差。

圖5　KTB Amphibolite巖理論值的誤差

表3為部分Dense大理巖試驗(yàn)值[16]。

表3　Dense大理巖試驗(yàn)值Table 3　Test values of Dense Marble

圖6　Dense大理巖試驗(yàn)值與理論值比較

圖6為Dense大理巖試驗(yàn)值[16]與理論值在p-q平面上的比較。Mohr-Coulomb準(zhǔn)則計(jì)算參數(shù)為：c=11.01 MPa，φ=51°。拋物線型Mohr強(qiáng)度準(zhǔn)則計(jì)算參數(shù)為：λ=24.16，σt=8.91 MPa, σc=62.18 MPa。雙曲線型Mohr強(qiáng)度準(zhǔn)則計(jì)算參數(shù)為：a=0.50，b=13.40，d=20.00。

圖7為Dense大理巖每個(gè)試樣采用這3種強(qiáng)度準(zhǔn)則時(shí)q的預(yù)測(cè)值與試驗(yàn)值之間的誤差。

圖7　Dense大理巖理論值的誤差

由圖4至圖7可知，在p-q平面上，KTB Amphibolite巖和Dense大理巖的預(yù)測(cè)值與實(shí)際值的比較結(jié)果與Westerly花崗巖的比較結(jié)果基本一致，即Mohr-Coulomb強(qiáng)度準(zhǔn)則和雙曲線型Mohr強(qiáng)度準(zhǔn)則得到的預(yù)測(cè)值與試驗(yàn)值比較接近，而拋物線型強(qiáng)度準(zhǔn)則得到的預(yù)測(cè)值與試驗(yàn)值相差很大。

綜合上述分析，可認(rèn)為在高應(yīng)力條件下，硬巖的試驗(yàn)值與Mohr-Coulomb強(qiáng)度準(zhǔn)則和雙曲線型Mohr強(qiáng)度準(zhǔn)則的預(yù)測(cè)值比較接近。但由于當(dāng)巖石處于高應(yīng)力狀態(tài)下時(shí)，其強(qiáng)度變形特征是非線性的，而Mohr-Coulomb強(qiáng)度準(zhǔn)則是線性強(qiáng)度準(zhǔn)則，雙曲線型Mohr-Coulomb強(qiáng)度準(zhǔn)則是非線性強(qiáng)度準(zhǔn)則，因此，可認(rèn)為在這3種Mohr強(qiáng)度準(zhǔn)則中，雙曲線型Mohr強(qiáng)度準(zhǔn)則更適合用于描述高應(yīng)力條件下巖石的強(qiáng)度變形特征。

4結(jié)語(yǔ)

目前，有關(guān)巖石的強(qiáng)度準(zhǔn)則已比較多，但適合用于描述高應(yīng)力下巖石的強(qiáng)度變形特征的準(zhǔn)則并不多。雖然迄今已有很多種準(zhǔn)則，但Mohr強(qiáng)度準(zhǔn)則還是使用得最廣泛的。本文通過(guò)對(duì)3種Mohr強(qiáng)度準(zhǔn)則進(jìn)行對(duì)比分析，希望從中可以找到適合用于描述高應(yīng)力下巖石的強(qiáng)度變形特征。

通過(guò)對(duì)比研究表明，對(duì)于處于高應(yīng)力條件下的巖石，采用雙曲線型Mohr強(qiáng)度準(zhǔn)則時(shí)q的預(yù)測(cè)值與試驗(yàn)值比較接近，誤差基本在±10%內(nèi)，且雙曲線型Mohr強(qiáng)度準(zhǔn)則是非線性的，比較適合用于描述高應(yīng)力條件下巖石的強(qiáng)度變形特征。

參考文獻(xiàn)：

[1]王明洋, 周澤平, 錢(qián)七虎. 深部巖體的構(gòu)造和變形與破壞問(wèn)題[J]. 巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào),2006,25(3):448-455.

[2]黃書(shū)嶺, 馮夏庭, 張傳慶. 脆性巖石廣義多軸應(yīng)變能強(qiáng)度準(zhǔn)則及試驗(yàn)驗(yàn)證[J]. 巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào),2008, 27(1):124-134.

[3]周宏偉, 謝和平, 左建平. 深部高應(yīng)力下巖石力學(xué)行為研究進(jìn)展[J].力學(xué)進(jìn)展,2005, 35(1):91-99.

[4]AUBERTIN M, LI L, SIMON R. Formulation and Application of a Short-term Strength Criterion for Isotropic Rocks[J]. Canadian Geotechnical Journal, 1999,36(5):947-960.

[5]昝月穩(wěn), 俞茂宏, 趙堅(jiān), 等. 高應(yīng)力狀態(tài)下巖石非線性統(tǒng)一強(qiáng)度理論[J].巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào), 2004,23(13):2143-2148.

[6]周小平, 錢(qián)七虎, 楊海清. 深部巖體強(qiáng)度準(zhǔn)則[J]. 巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào),2008, 27(1):117-123.

[7]陳景濤. 高應(yīng)力下硬巖本構(gòu)模型的研究和應(yīng)用[D].武漢：中國(guó)科學(xué)院武漢巖土力學(xué)研究所, 2006.

[8]高紅. 巖土材料屈服破壞準(zhǔn)則研究[D]. 武漢：中國(guó)科學(xué)院武漢巖土力學(xué)研究所, 2007.

[9]路德春, 江強(qiáng), 姚仰平. 廣義非線性強(qiáng)度理論在巖石材料中的應(yīng)用[J].力學(xué)學(xué)報(bào),2005, 37(6):729-736.

[10]BENZ T, SCHWAB R, KAUTHER R A,etal. A Hoek-Brown Criterion with Intrinsic Material Strength Factorization[J]. International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences, 2008,45(2):210-222.

[11]俞茂宏, 劉繼明, ODA Y, 等. 論巖土材料屈服準(zhǔn)則基本特性和創(chuàng)新[J].巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào), 2007,26(9):1745-1757.

[12]趙彭年. 松散介質(zhì)力學(xué)[M]. 北京: 地震出版社, 1995.

[13]鄭穎人,沈珠江,龔曉南.巖土塑性力學(xué)原理[M].北京: 中國(guó)建筑工業(yè)出版社, 2002.

[14]李順群, 焦學(xué)英, 王芳. Mohr包線的二次曲線形式[J]. 遼寧工程技術(shù)大學(xué)學(xué)報(bào),2005, 24(6):853-855.

[15]CHANG Chan-dong. True Triaxial Strength and Deformability of Crystalline Rocks[D].USA: University of Wisconsin-Madison, 2001.

[16]YU Mao-hong, ZAN Yue-wen, ZHAO Jian,etal. A Unified Strength Criterion for Rock Material[J]. International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences, 2002, 39(8): 975- 989.

(編輯：曾小漢)

收稿日期：2015-02-03；修回日期：2015-03-04

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(41541021，41002108);長(zhǎng)江科學(xué)院開(kāi)放研究基金資助項(xiàng)目(CKWV2014207/KY)

作者簡(jiǎn)介：熊良宵(1982-), 男, 江西九江人， 副教授, 博士, 主要從事巖石力學(xué)與地下工程方面的教學(xué)與研究工作, (電話(huà))15968030959(電子信箱)xiongliangxiao@nbu.edu.cn。

doi:10.11988/ckyyb.20150119

中圖分類(lèi)號(hào)：TU45

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1001-5485(2016)04-0081-05

Comparative Study of Three Mohr Strength Criteria

XIONG Liang-xiao1, YU Li-jun2

(1.Faculty of Architectural, Civil Engineering and Environment, Ningbo University, Ningbo315211, China;2.Zhejiang Geotechnical & Foundation Company, Ningbo315040, China)

Abstract:Comparative analysis of Mohr-Coulomb strength criterion, parabolic Mohr strength criterion and hyperbolic Mohr strength criterion was presented in this paper based on the result of true triaxial test on three kinds of rocks under high stress. Research results show that in the presence of high geostress, the predicted values of hard rock using Mohr-Coulomb strength criterion and hyperbolic Mohr strength criterion are close with the experimental value. Mohr-Coulomb strength criterion is a linear strength criterion; whereas hyperbolic Mohr-Coulomb strength criterion is a nonlinear strength criterion. Therefore, the hyperbolic Mohr strength criterion is more suitable for describing the strength and deformation characteristics of rock under high stress.

Key words:rock mechanics; high geostress; Mohr-Coulomb strength criterion； parabolic Mohr strength criterion； hyperbolic Mohr strength criterion; true triaxial test

2016,33(04):81-85