肖子豪,肖　明,陳俊濤

(1.武漢大學(xué)水資源與水電工程科學(xué)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,湖北武漢430072；2.武漢大學(xué)水工巖石力學(xué)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,湖北武漢430072)

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改進(jìn)的巖體屈服準(zhǔn)則在地下廠房穩(wěn)定性分析中的應(yīng)用

肖子豪1,2,肖明1,2,陳俊濤1,2

(1.武漢大學(xué)水資源與水電工程科學(xué)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,湖北武漢430072；2.武漢大學(xué)水工巖石力學(xué)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,湖北武漢430072)

摘要：改進(jìn)的巖體屈服準(zhǔn)則集合了德魯克-普拉格(D-P)屈服準(zhǔn)則和摩爾-庫倫(M-C)屈服準(zhǔn)則的優(yōu)點(diǎn),計(jì)算結(jié)果更加符合實(shí)際,同時(shí)還避免了角點(diǎn)缺陷。將此改進(jìn)準(zhǔn)則開發(fā)進(jìn)有限元程序中,通過一個(gè)小的三維有限元模型計(jì)算分析對比發(fā)現(xiàn),改進(jìn)的巖體屈服準(zhǔn)則計(jì)算結(jié)果和理論規(guī)律相一致,說明了程序開發(fā)的正確性,在工程數(shù)值模擬計(jì)算中具有一定的實(shí)際應(yīng)用意義。

關(guān)鍵詞：屈服準(zhǔn)則；角點(diǎn)缺陷；π平面；有限元

0引言

屈服函數(shù)的應(yīng)用是巖土工程中最基礎(chǔ)和重要的問題,前人已經(jīng)做了大量的研究工作并且取得了很多成果。摩爾-庫倫(M-C)準(zhǔn)則應(yīng)用最廣,但在三維應(yīng)力空間中的屈服面存在尖頂和棱角的不連續(xù)點(diǎn),導(dǎo)致數(shù)值計(jì)算不收斂[1]；德魯克-普拉格(D-P)屈服函數(shù)屈服面在主應(yīng)力空間上是一個(gè)圓錐面,雖然克服了角點(diǎn)缺陷,但計(jì)算結(jié)果偏于保守,因而沒有得到廣泛的應(yīng)用[2]。辛克維支-播德(Z-P)進(jìn)一步提出在子午平面上為二次曲線的改進(jìn)屈服準(zhǔn)則,克服了屈服面的尖點(diǎn)缺陷,應(yīng)用比較廣泛,但是它的屈服函數(shù)并不總是外凸的。為此,楊光華教授提出了一個(gè)既能保證屈服面外凸性,在π平面又不存在角點(diǎn)的新函數(shù),比德魯克-普拉格準(zhǔn)則更加接近摩爾-庫倫準(zhǔn)則,又能同時(shí)具備這2個(gè)準(zhǔn)則的優(yōu)點(diǎn)。

1改進(jìn)的巖體屈服準(zhǔn)則

改進(jìn)的巖體屈服準(zhǔn)則的表達(dá)式為

(1)

式中,F為屈服函數(shù)；θ為洛德角；σm為平均主應(yīng)力；J2為應(yīng)力偏張量的第二不變量；α、k為系數(shù)；c、φ分別為粘聚力和內(nèi)摩擦角。

f(θ)的函數(shù)表達(dá)式則由以下6個(gè)條件來確定：

(1)K≤f(θ)≤1,K=(3-sinφ)/(3+sinφ),K為參數(shù)。

(2)f(-π/6)=1,改進(jìn)的巖體屈服準(zhǔn)則以D-P準(zhǔn)則為其下限。

(4)改進(jìn)的準(zhǔn)則在π平面上不存在棱角,即當(dāng)θ=±π/6時(shí),df(θ)/dθ=0。

(5)無論在什么條件下,要求屈服面都是外凸的,即f(θ)+f′(θ)≥0。

(6)π平面上洛德角θ=±π/6時(shí)所對應(yīng)的徑長之比與φ的關(guān)系是反映材料拉壓強(qiáng)度差異程度的重要特征,最好與M-C準(zhǔn)則一致。

基于以上6個(gè)條件,考慮到每個(gè)條件重要性的不同,并且要推導(dǎo)的公式簡單實(shí)用,從全局最優(yōu)化的角度推出f(θ)公式為

f(θ)=((1+K)+1.125(1-K)2)-((1-K)-1.125(1-K)2)sin3θ)/2

(2)

由于推導(dǎo)過程比較復(fù)雜,在此省略。得到的f(θ)函數(shù)使得屈服面始終是保持外凸性的,并且滿足在π平面上光滑的條件[3]。

2改進(jìn)屈服準(zhǔn)則在有限元中的實(shí)現(xiàn)

屈服函數(shù)為F,由全微分法則可知,dF可以用下式表示為

dF=?F/?σ1×dσ1+?F/?σ2×dσ2+…+?F/?K×dK

(3)

式中,σ1、σ2分別為第一和第二主應(yīng)力。

對屈服函數(shù)F求復(fù)合偏導(dǎo)數(shù)得

(4)

式中,J3為應(yīng)力偏張量的第三不變量。

通過以上公式,可以求出?F/?(σ),從而計(jì)算得到塑性矩陣,即可進(jìn)行塑性應(yīng)力修正。

將以上改進(jìn)后的屈服函數(shù)和各個(gè)系數(shù)編進(jìn)有限元程序中[4]。同時(shí)，將M-C和D-P準(zhǔn)則和各個(gè)系數(shù)相應(yīng)地分別編寫進(jìn)入有限元程序中進(jìn)行計(jì)算。本文通過工程實(shí)例,分別采用3種屈服準(zhǔn)則計(jì)算,并將結(jié)果進(jìn)行對比分析[5-6]。

3工程實(shí)例

3.1模型建立

模型依據(jù)拉西瓦水電站地下廠房工程實(shí)例進(jìn)行建模。該地下廠房洞室分9期開挖,網(wǎng)格模型模擬4～6號(hào)機(jī)組段。模型范圍：X方向?yàn)?154.0～367.9m,Y方向?yàn)?33～198m,Z方向?yàn)? 012～2 481m。模型巖體主要為Ⅱ、Ⅲ類巖體,計(jì)算時(shí)取參數(shù)建議值的中間值,分別在不同的屈服條件下進(jìn)行三維有限元計(jì)算分析。巖體物理力學(xué)參數(shù)建議值見表1。建立的三維有限元模型見圖1。

表1巖體物理力學(xué)參數(shù)建議值

圍巖類別抗拉強(qiáng)度/MPa變形模量/GPa抗剪斷強(qiáng)度f'c'/MPaⅡ0.5～1.515.0～25.01.2～1.41.5～2.5Ⅲ0.4～1.210.0～20.01.0～1.21.0～1.5

圖1　有限元模型

3.2對比分析

3.2.1塑性區(qū)

將地下洞室開挖卸載產(chǎn)生的塑性區(qū)的總體積作為對比3種屈服準(zhǔn)則下圍巖破壞程度的指標(biāo)。計(jì)算得到的塑性區(qū)體積見表2。塑性區(qū)體積變化曲線見圖2。從表2和圖2可知,D-P準(zhǔn)則偏于保守,計(jì)算得到的破壞區(qū)會(huì)偏大很多[7- 8]；改進(jìn)準(zhǔn)則計(jì)算結(jié)果與M-C準(zhǔn)則比較接近,稍稍大于M-C準(zhǔn)則的結(jié)果。

3種屈服準(zhǔn)則在π平面上的關(guān)系見圖3。從圖3可知,3種屈服條件在π平面的應(yīng)力空間大小是：D-P準(zhǔn)則<改進(jìn)準(zhǔn)則

表2　塑性區(qū)體積　105 m3

圖2　不同分期塑性區(qū)體積變化

圖3　3種屈服準(zhǔn)則在π平面上的關(guān)系

3.2.2主應(yīng)力

取不同分期頂拱和邊墻單元的主應(yīng)力大小進(jìn)行對比,主應(yīng)力大小分別見表3、4,主應(yīng)力變化曲線見圖4。

從主廠房頂拱和邊墻的主應(yīng)力變化來看,在不同的屈服條件下,應(yīng)力變化的趨勢比較接近。M-C和D-P屈服條件下所得的第一主應(yīng)力值接近。D-P屈服條件下的第一主應(yīng)力值最小,而改進(jìn)屈服條件下的第一主應(yīng)力最大,應(yīng)力值明顯比其他2個(gè)屈服條件大。

表3　主廠房頂拱第一主應(yīng)力　MPa

表4　主廠房邊墻第一主應(yīng)力　MPa

圖4　不同分期主廠房第一主應(yīng)力變化

從圖3可知,隨著加載的增加,D-P準(zhǔn)則下的單元最先進(jìn)入屈服狀態(tài),其次是M-C準(zhǔn)則,最后是改進(jìn)準(zhǔn)則。在理想的塑性理論情況下,單元進(jìn)入塑性后應(yīng)力狀態(tài)點(diǎn)只能在屈服面上流動(dòng)。故得到單元的應(yīng)力狀態(tài)呈現(xiàn)出D-P準(zhǔn)則

3.2.3洞周位移

通過對比主廠房洞周相對位移量,分析討論3種屈服準(zhǔn)則對洞室圍巖穩(wěn)定性的影響,將3種準(zhǔn)則計(jì)算的位移結(jié)果進(jìn)行對比。計(jì)算得到的位移值見表5、6。位移變化曲線見圖5。

表5　主廠房頂拱位移　mm

表6　主廠房邊墻位移　mm

從頂拱和邊墻的位移變化規(guī)律可以看出,3種屈服條件下的位移變化規(guī)律基本相同,位移都在第4或5期有所起伏,之后繼續(xù)出現(xiàn)回彈的趨勢[11-12]。頂拱和邊墻最終位移大小：D-P屈服條件所得的位移最大,M-C屈服條件次之,改進(jìn)屈服條件最小。由3種屈服曲線在應(yīng)力空間的相對位置可以看出,隨著荷載的增加,最先進(jìn)入屈服的發(fā)生的塑性應(yīng)變會(huì)越大,出現(xiàn)上述的結(jié)果是符合規(guī)律的[13-14]。

綜上分析,計(jì)算結(jié)果在理論上是合理的,說明所編寫的計(jì)算程序是正確的。

4結(jié)語

圖5　不同分期主廠房位移變化

本文將一種改進(jìn)的巖體屈服準(zhǔn)則開發(fā)進(jìn)有限元程序中,采用改進(jìn)準(zhǔn)則與M-C準(zhǔn)則和D-P準(zhǔn)則分別對拉西瓦水電站地下廠房三維小模型進(jìn)行計(jì)算驗(yàn)證。得到的塑性區(qū)、應(yīng)力、位移對比發(fā)現(xiàn),計(jì)算結(jié)果和理論規(guī)律符合,說明開發(fā)的改進(jìn)巖體屈服準(zhǔn)則是正確的。

改進(jìn)準(zhǔn)則屈服函數(shù)的推導(dǎo)過程可以克服M-C準(zhǔn)則存在的6個(gè)角點(diǎn)缺陷問題,計(jì)算更加方便。由于D-P準(zhǔn)則偏于保守,計(jì)算結(jié)果偏大。對比塑性區(qū)的大小和分布可以看出,改進(jìn)準(zhǔn)則計(jì)算結(jié)果與M-C準(zhǔn)則比較接近,能更好地反映巖體在不同應(yīng)力狀態(tài)下的強(qiáng)度特征,且同時(shí)具備M-C準(zhǔn)則和D-P準(zhǔn)則的優(yōu)點(diǎn),在實(shí)際工程中有一定的應(yīng)用價(jià)值。

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(責(zé)任編輯楊健)

收稿日期：2016- 01- 13

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51579191,51209164)

作者簡介：肖子豪(1992—),男,湖北鄂州人,碩士研究生,研究方向?yàn)榈叵露词覈鷰r穩(wěn)定；肖明(通訊作者)．

中圖分類號(hào)：TV223.1

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：0559- 9342(2016)04- 0041- 04

ApplicationofImprovedYieldCriterionofRockMassinStabilityAnalysisofUndergroundPowerhouse

XIAOZihao1,2,XIAOMing1,2,CHENJuntao1,2

(1.StateKeyLaboratoryofWaterResourcesandHydropowerEngineeringScience,WuhanUniversity,Wuhan430072,Hubei,China; 2.KeyLaboratoryofRockMechanicsinHydraulicStructuralEngineering,MinistryofEducation,WuhanUniversity,Wuhan430072,Hubei,China)

Abstract:The improved yield criterion of rock mass combines the advantages of Drucker-Prager yield function and Mohr-Coulomb yield criterion, which can get more realistic calculation results and avoid the angular point defects. The finite element program of improved yield criterion is developed and a case is calculated by a small three dimensional finite element model. The comparison between calculation results show that the calculation results of improved yield criterion are in line with the theoretical analyses, which proves the validity of program development. The finite element program of improved yield criterion has a certain practical significance in engineering numerical simulation．

Key Words:yield criterion; angular point defect; π plane; finite element