趙世海，王婷慧，董九志，蔣秀明（1.天津工業(yè)大學(xué) 機械工程學(xué)院，天津 300387；2.天津工業(yè)大學(xué) 現(xiàn)代機電裝備技術(shù)天津市重點實驗室，天津 300387）

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具有等距密排微小孔穿刺模板的力學(xué)分析

趙世海1，2，王婷慧1，2，董九志1，2，蔣秀明1，2
（1.天津工業(yè)大學(xué) 機械工程學(xué)院，天津 300387；2.天津工業(yè)大學(xué) 現(xiàn)代機電裝備技術(shù)天津市重點實驗室，天津 300387）

穿刺模板用于正交疊層碳布織機中，其上開有近千個緊密排列的微孔使得力學(xué)分析較為困難.首先根據(jù)擬板理論用2種方法求出了等效彈性模量：一種是從細觀層次出發(fā)由漸進均勻化理論得出；另一種是從宏觀角度應(yīng)用薄板理論，分別得出了剩余彈性模量和孔密度的關(guān)系圖.然后根據(jù)工程需要利用擬板求出了穿刺模板的等效板厚和自振頻率.最后設(shè)計了實驗以測試理論分析所得的關(guān)系圖，綜合2種理論方法和實驗所得的3個結(jié)果找出了在不同孔密度區(qū)間里求等效彈性模量的最優(yōu)方法.

穿刺模板；等距密排微小孔；均勻化理論；等效彈性模量；擬板理論；力學(xué)分析

modulus；pseudo-plates theory；mechanical analysis

等距密排穿刺模板在碳布的整體穿刺工藝中用于制造碳纖維立體織物［1］.碳纖維立體織物是高性能碳纖維在三維空間多方向連續(xù)排布形成的纖維增強體.整體穿刺的過程是將鋼針放置成Z向鋼針陣列，固定于工作臺上，碳布置于穿刺模板下方，在穿刺模板帶動下穿過Z向鋼針陣列，重復(fù)上述過程直到滿足所需厚度，使用Z向纖維置換Z向鋼針，制成立體織物.

在整體穿刺過程中穿刺模板向下移動，接觸靜止的碳布后，帶動碳布一同穿過靜置的Z向鋼針陣列，當(dāng)碳布與鋼針陣列接觸時開始穿刺過程，鋼針對碳布有作用力，導(dǎo)致碳布變形，與此同時，碳布對穿刺模板的微小孔邊產(chǎn)生力的作用.

在此過程中穿刺模板起到為鋼針定位和給碳布加壓的作用，隨著碳布層數(shù)的增加，碳纖維立體織物的厚度加大，鋼針在穿刺中承受較大的反作用力后會傾斜、彎曲甚至折斷，穿刺模板的微小孔約束了鋼針的上述運動；另外，由于各層碳布是否密實直接影響立體織物的力學(xué)性能，這時穿刺模板起到了加壓的作用.因此，穿刺模板必須有足夠的剛度，以保證在整個穿刺過程中發(fā)生盡可能小的彎曲變形.由于開孔對板的彎曲剛度影響很大，含有近千個微小孔的穿刺模板和加工板所用的材料相比，其彎曲剛度大為削弱.

穿刺模板的外部尺寸符合薄板彎曲理論的條件，但是利用ANSYS直接建模分析時會出現(xiàn)2個障礙導(dǎo)致分析中止：一是由于孔很小，應(yīng)力和撓度以及其它變形分量等一些物理量隨位置變化呈現(xiàn)震蕩特征，使得力學(xué)分析過程復(fù)雜且結(jié)果不可靠；二是如果直接應(yīng)用有限元進行數(shù)值模擬，劃分網(wǎng)格時由于每個微孔的四周都有孔，每個孔的圓周上至少要分4個節(jié)點。穿刺模板上孔的數(shù)目多，描述該類結(jié)構(gòu)需要很密的網(wǎng)格從而形成很多單元，穿刺模板上有近千個孔使得上述計算量巨大，超出微型計算機的計算能力，導(dǎo)致無法求解或者求解精度過低.

穿刺模板的結(jié)構(gòu)特點是在板的中心區(qū)域按照一定規(guī)律開了很多孔，孔徑比板的輪廓尺寸小得多.本文采用擬板理論，把穿刺模板的微小孔抹去，用同尺寸的實心板代替穿刺模板，由此可知代替穿刺模板完成力學(xué)分析的等效實心板與穿刺模板應(yīng)該有同樣的彈性常數(shù)，以保證等效實心板和穿刺模板在受到相同的激勵載荷時響應(yīng)相同.

1　穿刺模板的力學(xué)分析

圖1表示了穿刺模板的細部結(jié)構(gòu).由圖1可以看出，穿刺模板的結(jié)構(gòu)特點是緊密排列的微孔中心距相等，排布顯周期性特征.

圖1　穿刺模板結(jié)構(gòu)模型Fig.1　Structure model of piercing template

本文先根據(jù)擬板理論把密排孔板的孔抹去使其等價為另一種材料制成的實心板，也就與是密排孔板等價的擬板，在不改變板的形狀和尺寸的條件下求出擬板的彈性模量定義為密排孔板的等效彈性模量［2］.借鑒復(fù)合材料板的分析方法，用細觀和宏觀2種方法求出2組等效彈性模量［3-4］.

細觀方法應(yīng)用基于小參數(shù)攝動法的漸進均勻化理論和有限元分析的理論［5］.先根據(jù)細觀力學(xué)中的代表單元法劃分出單胞，然后將單胞的應(yīng)力應(yīng)變以及應(yīng)變位移的關(guān)系式代入虛功方程，將位移展開為含小參數(shù)的漸進表達式后代入上述方程，利用周期性性質(zhì)和散度定理化簡方程得出等效彈性模量的張量表達式；最后利用通用有限元分析的格式將張量式改寫為矩陣方程，求出剛度矩陣從而得到等效彈性模量［6］.

根據(jù)結(jié)構(gòu)的周期性劃分出的代表單元稱為單胞，理想單胞可以通過空間上無重疊、無縫隙的延拓即可重現(xiàn)真實的密排孔板結(jié)構(gòu)并且要有規(guī)則的幾何外形.此外如果單胞外廓閉合，則在二維坐標系中是單連通域，有利于物理方程的化簡中直接應(yīng)用高斯散度定理.基于以上原因穿刺模板的單胞模型如圖2所示［7］.

圖2　單胞模型Fig.2　Model of base cell

建立2個尺度的坐標系，宏觀用X表示，細觀用Y表示.引入小量，其物理意義是把宏觀坐標系X中的一個點放大倍放入細觀坐標系Y中，建立了一個模型在宏觀和細觀上對應(yīng)關(guān)系.穿刺模板在垂直于板中面的方向孔的形狀和尺寸沿厚度不變，在彈性力學(xué)中可歸結(jié)為的平面問題處理并且密排孔板的彈性矩陣設(shè)為正交各向異性材料的形式，可知待求量為E11、E12、E22和E66.

經(jīng)數(shù)學(xué)推導(dǎo)得出等效彈性模量的表達式

宏觀方法是基于經(jīng)典薄板理論，以密排孔板和擬板受相同的外載荷時的最大撓度相等為條件建立方程，從中提出抗彎剛度的關(guān)系式從而得到等效彈性模量［9］.又由于等效前后板的外形尺寸不能變，所以微孔數(shù)目越多，板的實體部分的體積相應(yīng)就越小，每個小孔周邊承受的載荷就越大，這就建立起孔的數(shù)量和彈性模量的關(guān)系.綜上可得Timoshenko理論，其中正方形薄板的中心撓度的精確值為

2　案例分析

密排孔板的外形尺寸為20 cm×20 cm，等距密排孔區(qū)域面積為256 cm2，厚度為1 cm.有976個微孔，孔徑為4 mm，孔邊間距1 mm.密排孔板的彈性模量為210×106Pa，泊松比μ=0.3，密度為7.85×103kg/m3，表面受壓力載荷為4×104N/m2.用MAPLE解有限元矩陣的結(jié)果為：

由觀察結(jié)果可知，在板上的微孔是圓形且等距排列時，密排孔板的彈性矩陣顯各向同性材料的特征.

另一種解法是由上文推出的邊界條件直接用ANSYS建單胞模型［10］.為了保證單胞的變形協(xié)調(diào)還需再加上周期性邊界條件，即保證單胞外邊界相對的2個面的所有點的位移變化一致［11］.具體實施的方法是在WORKBENCH中用“強迫位移”命令添加位移約束. 圖3為單胞水平方向有一個單位初應(yīng)變的變形，剩余2種情況類似.

圖3　單胞變形圖Fig.3　Deformation of base cell

ANSYS與MAPLE給出的結(jié)果相差無幾，原因是2種方法本質(zhì)是一樣的，只是同一個矩陣方程用2種計算器求解而已.用MAPLE的解是先借助ANSYS APDL劃分網(wǎng)格，導(dǎo)出此時節(jié)點和單元信息然后導(dǎo)入MAPLE，用ANSYS求解是建模、劃分網(wǎng)格、加載邊界條件全程借助ANSYS的模塊，優(yōu)點是可以借助ANSYS強大的后處理器得到直觀的變形圖像.

從宏觀角度來看板的中心撓度就是最大撓度故取密排孔板中心區(qū)域的小樣［12］.令密排孔板的中心撓度為w，彈性模量E，擬板的中心撓度為wH彈性模量EH.借助ANSYS APDL建立小樣模型，求出w和w′再代入（3）求出.用同樣的方法能求出不同開孔直徑下的［13］.

由于最終要得出開孔數(shù)量對板的彈性模量的削弱程度，故定義剩余彈性模量為EH/E，其中分母為加工密排孔板所用材料的彈性模量.開孔數(shù)量用孔密度表示，定義為α等于孔板的體積和當(dāng)量板體積比值.2種方法求出的剩余彈性模量和孔密度的關(guān)系如圖4所示.

圖4　剩余彈性模量-孔密度圖Fig.4　Residual modulus of elasticity-density of hole

觀察圖4得出2條結(jié)論：一是當(dāng)板上的微孔是圓形、等距排列且在孔密度小于0.4時，細觀方法和宏觀方法數(shù)值相近，可以推測出按此方法分析時最佳孔密度為0.3到0.4，但是隨著孔的數(shù)量增多，計算所得剩余彈性模量數(shù)值的離散度增加，到底哪種更接近實際由后續(xù)試驗驗證；另一個是可以根據(jù)曲線擬合原理得出α和的關(guān)系式接近指數(shù)函數(shù)形式

式中：x、y和z為待定常數(shù).

3　擬板的應(yīng)用

在應(yīng)用擬板理論求出等效彈性模量的過程中要求擬實心板和密排孔板的外形尺寸一致，以保證兩者在承受相同的外載荷時把密排孔對剛度的削弱表現(xiàn)在彈性模量上.如果把原密排孔板和擬板都看由2種無關(guān)的材料制成的實心板，當(dāng)兩板的表面積一樣時就把密排孔對剛度的削弱表現(xiàn)為厚度的折減，求出擬板的厚度值稱為等效板厚.

根據(jù)克?；舴?泰勒假設(shè)，選取中面撓度為基本未知量，另外2個位移分量是中面撓度的函數(shù)，在直角坐標系中彎曲微分方程為

式中：q為垂直于中面的外載.

根據(jù)中面的定義，計算出中面位置h1

此時的抗彎剛度Dh1計算公式變?yōu)?/p>

下面推導(dǎo)計算等效板厚的公式，目的是在已知密排孔板的材料的情況下，快速判斷出相當(dāng)于多厚的實心板.要說明的是等效板厚公式的前提：孔為圓形，正方形，正六邊形等規(guī)則幾何輪廓；每個孔的中心距一樣，顯正三角形或正方形排列，目的是保證能利用各向同性板的理論；厚度方向孔的尺寸不變化.如果存在階梯孔可以根據(jù)厚度方向的不同孔徑分段處理，由于以上所有推導(dǎo)都是在小撓度線彈性的前提下進行，可以把分段處理的結(jié)果直接相加得到整個板的等效厚度.

建立方程的依據(jù)是保證兩者在相同外載荷下的相同變形，把密排孔對剛度的削弱表現(xiàn)為厚度的折減.厚度H由彎曲剛度表征，所以直接令兩者的彎曲剛度相等即可求出等效厚度HH，H為密排孔板的實際厚度.

借助ANSYS得到原厚度為10 mm的穿刺模板相當(dāng)于厚度為5.71 mm的實心板.

穿刺時模板在隨工作臺上下往復(fù)運動，這種工況下通常需求出穿固有頻率.借助ANSYS的模態(tài)組塊，可以求出任意階的自振頻率，用擬板建模從后處理器可提取的各階頻率的數(shù)值和圖形，得到的一階自振頻率即密排孔板的固有頻率.

4　剩余彈性模量的驗證試驗

在理論分析中宏觀和細觀2種方法的操作中必須用有限元方法離散，解的精確性和節(jié)點的數(shù)量、網(wǎng)格的形狀及單元的選取密切相關(guān)，故在理論分析后設(shè)計了試驗測試圖4得出剩余彈性模量和孔密度的關(guān)系.實驗設(shè)備為天津工業(yè)大學(xué)機械學(xué)院材料力學(xué)實驗室的WDW3100微機控制電子萬能試驗機.

至今為止沒有針對具有密排孔結(jié)構(gòu)的板的拉伸試驗標準，本次試驗的試樣參照國家標準中短比例薄板試樣的規(guī)范，取試樣的總長度為200mm，標距為50 mm.根據(jù)理論分析的結(jié)果可知對于薄板可忽略厚度對剩余彈性模量影響，考慮到試樣的拉斷時間和加工方便，直接從2 mm厚的鋼板取樣.由于密排孔區(qū)域強度削弱較大，故試樣在拉伸過程中一定是在密孔區(qū)域而不會在夾持部分屈服，故沒有設(shè)計夾持過度段，斷裂后的試樣也驗證了這點.

表1列出了本次試驗的4種試樣.

表1中，0號試樣是未開孔板，目的是測出剩余彈性模量中分母的數(shù)值.1、2、3號試樣分別測出開孔密度為0.2、0.3、0.6時的等效彈性模量的值.其中1號和3號試樣的孔為等距排布，2號試樣的孔為橫縱向中心距不相等的情況.受加工條件的制約2和3號試樣沒能做到孔密度嚴格一致，但是相近的孔密度也能反映出孔的排布方式對剩余彈性模量的影響程度，而且以橫縱向距離不相等的試樣做反向?qū)φ?，為進一步分析不等距的密排孔板的提供實驗數(shù)據(jù).同樣受加工條件的限制本次試驗的試樣最大孔密度取到60%，表2為實驗數(shù)據(jù).

表1　試樣規(guī)格明細Tab.1　 Specification list of sample

表2　實驗結(jié)果Tab.2　Experimental data

每種試樣都取3件做試驗，表2的結(jié)果是3件試樣的算術(shù)平均值.屈服力是按照慣例取0.2%的殘余變形時的值.0號試樣測出了剩余彈性模量中分母的值，其余試樣的彈性模量都和其相比.1號試樣的剩余彈性模量的實驗值為0.37，理論值為0.297，2號試樣的實驗值為0.612，理論值為0.65，3號試樣的實驗值為0.718，理論值為0.74.分析實驗數(shù)據(jù)可以直接看出2點：一是當(dāng)開孔密度低于0.6時，用宏觀薄板理論和細觀均勻化方法求出的理論值和實驗值吻合的較好，但隨開孔密度孔的增加數(shù)值的離散度加大，本次試驗的數(shù)據(jù)更接近薄板理論的分析結(jié)果，可見均勻化方法的結(jié)果更趨于保守；二是像2號試樣這樣每排孔的中心距統(tǒng)一變化時，孔間距對剩余彈性模量的影響不大.因為雖然2號試樣把縱向的孔距增大，按照開孔率的計算公式板上有孔處的總面積也隨之加大，降低了開孔率，并且整排孔的變動數(shù)值一樣時結(jié)果類似于等距的情況.

觀察試樣的斷裂位置發(fā)現(xiàn)同一規(guī)格的三件試樣的斷裂位置不一樣，即并非都發(fā)生在中間一排，并且2號試樣在相鄰兩排孔都有斷裂，1號和3號試樣斷裂雖然不一定發(fā)生在哪一排，但都是同一排孔統(tǒng)一短.由此可以看出改變孔間距雖然對剩余彈性模量的影響不大，但對板的破壞形式有影響.同時可以推測出斷裂發(fā)生在孔間距的加工誤差較大的位置，那么隨孔密度加大，加工誤差影響成為導(dǎo)致實際值的離散度加大的重要因素.

圖5為未開孔試樣的實驗力-位移曲線，圖6為孔密度為0.6的曲線，結(jié)合其他試樣的曲線圖可以發(fā)現(xiàn)，隨著孔密度的增大密排孔結(jié)構(gòu)試樣的曲線沒有明顯的彈性階段、屈服階段、強化階段的分界區(qū)間.

圖5　0號試樣的實驗力-位移曲線Fig.5　Experimental force displacement curve of sample 0

圖6　1號試樣的實驗力-位移曲線Fig.6　Experimental force displacement curve of sample 1

5　結(jié)語

具有等距密排微小孔的穿刺模板的力學(xué)分析不能直接用有限元方法仿真，本文用擬板理論，用模擬出的實心板分析密排孔板的一些力學(xué)指標.為了保證結(jié)果的可靠性，用細觀均勻化方法和薄板理論求出了等效彈性模量并得出了幾種不同規(guī)格的開孔數(shù)量對彈性模量弱度，即剩余彈性模量-孔密度曲線；隨后列舉了擬板的兩個用途；最后設(shè)計了試驗測試理論分析的結(jié)果，發(fā)現(xiàn)由細觀均勻化方法求出的數(shù)值均稍微低于實驗所得，說明此方法所得數(shù)據(jù)更可靠.

需要指出的是，這種模擬的實心板不是在任何情況都能代替密排孔板，比如在強度分析中由于孔的存在會造成局部的應(yīng)力集中，在疲勞破壞分析中沖擊載荷作用時某些邊緣區(qū)域的孔會先出現(xiàn)破壞.同時實驗表明加工精度對密排孔板力學(xué)性能影響很大，例如板的某些邊緣區(qū)域孔間距如果有很小的誤差，受彎曲外載荷時破壞失效很可能就發(fā)生于此，這些用模擬的實心板都難以得出.

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Mechanical analysis of piercing template with equal center distance and closely aligned tiny hole

ZHAO Shi-hai1，2，WANG Ting-hui1，2，DONG Jiu-zhi1，2，JIANG Xiu-ming1，2
（1.School of Mechanical Engineering，Tianjin Polytechnic University，Tianjin 300387，China；2.Tianjin City Key Laboratory of Modern Mechatronics Equipment Technology，Tianjin Polytechnic University，Tianjin 300387，China）

Piercing template is used in the integrated piercing process of orthogonal laminated woven fabrics.There are nearly a thousand closely aligned small holes，which make it difficult to analyze the mechanical behavior.The effective modulus was obtained from the pseudo-plates theory from two aspects，that is，homogenization theory and elastic theory，respectively.And the characteristics of each method are discussed.According to the engineering requirement，the equivalent plate thickness and the natural frequency were calculated by using the isoeffective modulus.

piercing template；equal center distance and closely aligned tiny hole；homogenization theory；isoeffective

TH112

A

1671－024X（2016）03－0073－05

10.3969/j.issn.1671-024x.2016.03.014

2015-12-15

天津市科技支撐重點計劃項目（15ZCZDGX00840）

趙世海（1970—），男，博士，副教授，主要研究方向為新型紡織機械設(shè)計.E-mai：tjshzhao@163.com