余慧杰， 張樂京

(上海理工大學(xué) 機械工程學(xué)院，上?！?00093)

雙線性滯遲干摩擦模型的無諧振振動特性分析

余慧杰， 張樂京

(上海理工大學(xué) 機械工程學(xué)院，上海200093)

對雙線性滯遲振子的無諧振機理進行了理論和試驗研究。建立干摩擦阻尼隔振系統(tǒng)力學(xué)模型，對其低頻鎖止特性進行了研究，并由此得到解鎖頻率的解析解，確定了最優(yōu)解下的系統(tǒng)參數(shù)關(guān)系；利用運動方程對系統(tǒng)時間響應(yīng)過程進行了深入的數(shù)值計算,并通過試驗對理論結(jié)果進行了驗證。所得結(jié)論對無諧振隔振器的合理設(shè)計具有指導(dǎo)意義。

雙線性滯遲；干摩擦阻尼；無諧振；黏滑運動

在非線性振動研究領(lǐng)域中，含有干摩擦阻尼的隔振系統(tǒng)受到了廣泛關(guān)注。在機械結(jié)構(gòu)中，干摩擦能夠快速有效抑制外部干擾激勵對系統(tǒng)產(chǎn)生的動力學(xué)響應(yīng)[1-2]，因而廣泛應(yīng)用于航空發(fā)動機葉片、晶體振蕩器等結(jié)構(gòu)的隔振中。近些年，國內(nèi)外學(xué)者對具有干摩擦的非線性隔振器構(gòu)成的振動系統(tǒng)做了大量研究。白鴻柏等[3]研究了黏性阻尼滯遲振子簡諧激勵響應(yīng)的等效線性化計算方法；Csernak等[4]研究了受簡諧激勵摩擦振子的周期運動行為，并對滑動過程進行求解和數(shù)值模擬；顏肖龍等[5]將庫倫力等效為黏性阻尼，對干摩擦阻尼的無諧振峰特性進行了研究；張強星等[6]將干摩擦阻尼系統(tǒng)中的雙線性滯遲恢復(fù)力進行傅里葉級數(shù)展開，簡化了干摩擦振動系統(tǒng)的正弦激勵問題；Wang等[7-8]采用時域跟蹤方法確定干摩擦阻尼器的時間響應(yīng)，分析研究了頻響特性。

對于干摩擦阻尼隔振問題，多數(shù)理論研究未考慮在低頻激勵下，摩擦元件的鎖止特性。目前文獻對于無諧振原理的研究，均基于不含接觸剛度的庫倫阻尼模型，采用庫倫阻尼等效黏性阻尼方法求得解鎖頻率，無法直接獲得系統(tǒng)的時域響應(yīng)。

本文采用雙線性滯遲振子模型，對力學(xué)系統(tǒng)的隔振特性和無諧振峰特性進行理論分析。為更精確地求解干摩擦阻尼的時域響應(yīng)，按照一個運動周期內(nèi),阻尼器摩擦力所經(jīng)歷的四個階段，給定一種獲得周期響應(yīng)的解析方法。

1干摩擦阻尼隔振器力學(xué)模型及運動描述

1.1力學(xué)模型

圖1　干摩擦阻尼系統(tǒng)力學(xué)模型Fig.1 The mechanical system with dry friction damper

圖1(a)表示干摩擦阻尼隔振系統(tǒng)的物理模型，由于干摩擦面存在彈性，因此采用考慮接觸剛度的宏觀滑移模型[9]，恢復(fù)力與位移的關(guān)系表現(xiàn)為雙線性關(guān)系，見圖1(b)。其中負載質(zhì)量為m，主彈簧剛度為k，阻尼為c，摩擦面法向力為N0，干摩擦滑移前的線性剛度為kd，基礎(chǔ)支撐位移為U，負載位移為y，摩擦元件位移為yd。

假設(shè)基礎(chǔ)支承做等幅簡諧運動：U=u0sin (ωτ)，其中u0，ω，τ分別為激勵幅值、頻率和作用時間。當N0很大時，滑動摩擦力f0=μN0較大，這樣，彈簧kd會一直鎖止，當N0不太大時，會發(fā)生黏滑運動,即運動中交替出現(xiàn)鎖止階段和滑動階段。

考慮發(fā)生黏滑運動的情況，列出各階段運動微分方程為：

(1)

1.2方程無量綱轉(zhuǎn)化

為了便于對數(shù)值結(jié)果分析，引入一系列的無量綱參數(shù)。分別定義如下：

得到無量綱形式的運動方程：

(2)

經(jīng)過無量綱處理后，原物理量：

y，yd，U=u0sin(ωτ)，f0=μN0

分別轉(zhuǎn)化為：

x，x2，u=sin(Ωt)，f=μN

1.3各個運動階段描述

采用時域跟蹤方法獲得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)周期響應(yīng)。在單頻位移激勵下，在每個運動周期內(nèi)，無量綱摩擦力f一般要經(jīng)過四個階段，即ab(鎖止)，bc(滑動)，cd(鎖止)，da(滑動)，式(2)對應(yīng)單個方程均是線性微分方程，即分別為線性振動系統(tǒng)。各自的解可用下式精確表示：

x(t)=yh(t)+yp(t)

(3)

式(3)右端兩項分別為各個方程的瞬態(tài)振動yh(t)和穩(wěn)態(tài)振動yp(t)，瞬態(tài)振動yh(t)只存在于振動的初始階段，經(jīng)過充分長時間后，yh(t)消失，只剩下穩(wěn)態(tài)振動yp(t)。

下面討論各個階段的運動特征：

2無諧振峰特性分析

鎖止階段，模型可以看作是單自由度黏性阻尼隔振系統(tǒng)，如果僅考慮鎖止階段的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，根據(jù)線性振動理論[10]可推得其相對傳遞率為

(4)

式中：δ0為kd的變形量

低頻時，

因此，彈簧力幅值：kdδ0=kdu0TR

對于整個過程表現(xiàn)為黏滑交替運動的情況，可忽略鎖止階段瞬態(tài)振動，只考慮穩(wěn)態(tài)振動，根據(jù)kdδ0=kdu0TR=f0，求解臨界解鎖頻率。

將上式轉(zhuǎn)化為無量綱表達式：

(K2-f2)Ω4+2f2(1+K-2ξ2)Ω2-

f2(1+K)2=0

(5)

4f2[(1+K)2K2-4(1+K)ξ2f2+4ξ4f2]

(6)

由于ξ?1，因此Δ>0。由于是四次方程，應(yīng)先求解Ω2的值，故設(shè)方程以Ω2為未知量的根為p1,p2。

計算得到

(7)

(其中p1取+，p2取-)

對p1處理得到

p1=

(8)

由以上分析，對于不同的K，f可通過式(7)，獲得解鎖頻率。

利用單自由度黏性阻尼隔振系統(tǒng)的隔振特性來

其中：ξ′，r分別為等效黏性阻尼系數(shù)，頻率比。

此時

故TA≈1，無振動放大現(xiàn)象。

(9)

當K→∞時，f=2，即

(10)

3算例分析

圖2　無量綱摩擦力f對振幅的影響(K=1 000,ξ=0.1)Fig.2 Frequency response for various f

從圖2可知，利用式(8)求得的解鎖頻率與數(shù)值仿真得到的幅頻響應(yīng)曲線解鎖頻率基本一致。三條曲線對比可知，無量綱摩擦力f對隔振效果有明顯影響。

4試驗驗證

為了驗證上述理論，應(yīng)用干摩擦阻尼模型設(shè)計出GWF隔振器。試驗裝置見圖3所示，振動臺上固定四個GWF隔振器，其上安裝一個質(zhì)量塊。采用正弦掃頻試驗，其中低頻段施加等位移激勵，高頻段施加等加速度激勵。利用加速度傳感器采集得到激勵和響應(yīng)的加速度，進而得到絕對傳遞率曲線。

實驗前，對隔振器的摩擦力進行預(yù)設(shè)定，試驗得到圖4所示的傳遞率曲線，可以看到低頻下隔振器是鎖止的，但在阻尼區(qū)內(nèi)隔振器已經(jīng)出現(xiàn)解鎖，振動響應(yīng)發(fā)生放大。當激勵頻率越過放大區(qū)域后，開始有隔振效果。

同樣的裝置將摩擦力增至原來的6倍，再次進行試驗，得到圖5所示傳遞率曲線。

① 為GWF隔振器，② 為質(zhì)量塊，③ 為振動臺，④ 為激勵加速度傳感器，⑤ 為響應(yīng)加速度傳感器圖3　試驗裝置示意圖Fig.3 Diagram of experiment model

圖4　傳遞率曲線(i)Fig.4 Frequency response curves (i) of experiment

圖5　傳遞率曲線(ii)Fig.5 Frequency response curves (ii) of experiment

由圖5可知，低頻下，隔振器鎖止，傳遞率為1；到達隔振區(qū)后，傳遞率<1，有隔振效果。隔振器在整個頻域內(nèi)無振幅放大。從試驗結(jié)果可知，理論計算結(jié)果和試驗結(jié)果吻合較好。

5結(jié)論

本文提出了一種求解干摩擦阻尼系統(tǒng)解鎖頻率的解析方法。根據(jù)干摩擦阻尼系統(tǒng)的物理模型及雙線性滯遲回線，建立了系統(tǒng)運動方程，求解得到系統(tǒng)解鎖頻率，研究了干摩擦阻尼器參數(shù)對抑制負載共振的影響，最后通過振動試驗驗證了計算結(jié)果。在低頻激勵下，干摩擦阻尼器鎖止，可以實現(xiàn)無諧振。通過選取合適的摩擦力值，能夠?qū)崿F(xiàn)良好的隔振效果，可為無諧振隔振器的結(jié)構(gòu)設(shè)計提供參考。

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Free resonance analysis of bilinear hysteresis dry friction damper

YU Hui-jie, ZHANG Le-jing

(School of Mechanical Engineering, University of Shanghai for Science and Technology, Shanghai 200093, China)

In this paper, theoretical and experimental research on the free resonance of bilinear hysteresis dry friction damper was carried out. A mechanical model was proposed for the dry friction damped system. The characteristic of stick motion under low frequency excitation was analyzed. The analytic solution of the unlock frequency was established. The parameters of the system under the optimal solution were also determined. Based on the motion equation of the system, the numerical calculation of the time response process was further carried out. Finally, through the experiment study, theory results were verified. This study provided the theoretical principles for guiding the design of a non-resonant absorber.

bilinear hysteresis; dry friction damper; free resonance; stick-slip

10.13465/j.cnki.jvs.2016.12.014

2015-09-01修改稿收到日期：2015-12-03

余慧杰 男，博士,講師，1978年生

O322；TH113.1

A