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        關于馬氏鏈遍歷性的一個注記

        2016-08-02 12:24:02孫成恩范愛華安徽工業(yè)大學數(shù)理科學與工程學院安徽馬鞍山243032
        關鍵詞:定義研究

        程 成,孫成恩,范愛華(安徽工業(yè)大學數(shù)理科學與工程學院,安徽馬鞍山243032)

        關于馬氏鏈遍歷性的一個注記

        程 成,孫成恩,范愛華
        (安徽工業(yè)大學數(shù)理科學與工程學院,安徽馬鞍山243032)

        引入定義在σ-有限可測空間(S,?,μ)中隨機核與范數(shù)的概念,通過采用隨機轉(zhuǎn)移核密度{}pn(x,y)n∈?替換離散型非齊次馬氏鏈中轉(zhuǎn)移矩陣的方法,得到狀態(tài)連續(xù)非齊次馬氏鏈遍歷性的充分必要條件。所得結(jié)論進一步完善了非齊次馬氏鏈的遍歷性質(zhì)。

        非齊次馬氏鏈;隨機核;Cauchy收斂;Lebesgue控制收斂定理

        隨機穩(wěn)定性是探究馬氏鏈性質(zhì)的重要內(nèi)容之一,對于隨機穩(wěn)定性的研究主要從馬氏過程的不可約性、常返性以及馬氏鏈的遍歷性入手。Isaacson在文獻[1-2]中分別討論了可數(shù)狀態(tài)非齊次馬氏鏈的遍歷性及其幾何遍歷的特征,在文獻[3]中系統(tǒng)地總結(jié)非齊次馬氏鏈的遍歷性并給出了若干公開問題,Pitman在文獻[4]中研究馬氏鏈轉(zhuǎn)移收斂的一致速度。Neumann等在文獻[5]中探索出矩陣列乘積的某些收斂性,并將該結(jié)論應用到非齊次馬氏鏈的遍歷性中。Isaacson等在文獻[6]中利用光譜條件研究了馬氏鏈的強遍歷性與收斂速率。Coppersmith等在文獻[7]中指出非齊次馬氏鏈弱遍歷的條件。Prieto-Rumeau等分別在文獻[8]和文獻[9]中討論了連續(xù)時間馬氏鏈的一致遍歷和強遍歷行為。此外,汪進在文獻[10]中總結(jié)了m重非齊次馬氏鏈的遍歷性。本文在上述文獻的基礎上,給出連續(xù)狀態(tài)馬爾可夫鏈滿足遍歷性的充分必要條件。

        1 基本假設

        并且對任意的m,n∈?,有

        定義1設K(x,y)是定義在S×S上的任意可積核,稱

        為K的范數(shù)。對任意2個隨機核K和L,由KL(x,y)=∫K(x,z)L(z,y)μ(dz)定義其乘積KL。

        定義2設p(x,y)是隨機轉(zhuǎn)移核,稱

        為隨機轉(zhuǎn)移核的Dobrushin系數(shù)。為方便起見,令δ(P)=1-α(P)。關于δ(P)以及范數(shù)的基本性質(zhì),可參見文獻[1]。

        2 主要結(jié)論

        注此處的定義類似于Cauchy收斂條件,但x不能恒等于z,故條件不能放寬成x=z。證明必要性

        由于

        充分性

        令x=z,則pm,m+k(x,y)依k為Cauchy序列,所以pm,m+k(x,y)→qm(x,y),k→∞。根據(jù)Fatou引理得

        因此

        令k→∞,利用Lebesgue控制收斂定理可得

        根據(jù)Fatou引理知q(y)≥0且∫q(y)μ(dy)≤1。又因為故為概率密度。證畢。

        [1]ISAACSON D.Ergodicity for countable inhomogeneous Markov chains[J].LinearAlgebra and itsApplications,1982,48:37-44.

        [2]ISAACSON D.Acharacterization of geometric ergodicity[J].Probability Theory&Related Fields,1978,49(3):267-273.

        [3]ISAACSON D L,MADSEN R W.Markov Chains:Theory andApplications[M].New York:Wiley,1976:249-251.

        [4]PITMAN J W.Uniform rates of convergence for Markov chain transition probabilities[J].Probability Theory&Related Fields,1974,29(3):193-227.

        [5]NEUMANN M,SCHNEIDER H.The convergence of general products of matrices and the weak ergodicity of Markov chains[J]. LinearAlgebra and itsApplications,1999,287(1):307-314.

        [6]ISAACSON D,LUECKE G R.Strongly ergodic Markov chains and rates of convergence using spectral conditions[J].Stochastic Processes and theirApplications,1978,7(1):113-121.

        [7]COPPERSMITH D,WU C W.Conditions for weak ergodicity of inhomogeneous Markov chains[J].Statistics&Probability Letters,2008,78(17):3082-3085.

        [8]PRIETO-RUMEAU T,HEMáNDEZ-LERMA O.Uniform ergodicity of continuous-time controlled Markov chains:A survey and new results[J].Annals of Operations Research,2012:1-45.

        [9]SCOTT M,ISAACSON D.Strong ergodicity for continuous-time,non-homogeneous Markov chains[J].Journal of Applied Probability,1982,19(3):692-694.

        [10]汪進.m重非齊次馬氏鏈的遍歷性[J].安徽工業(yè)大學學報(自然科學版),2006,23(2):227-231.

        [11]MADSEN R W,ISAACSON D L.Strong ergodic behavior for non-stationary Markov processes[J].Annals of Probability,1973,1(2):329-335.

        [12]SENETA E.Inhomogeneous Markov chains and ergodicity coefficients:John Hajnal(1924—2008)[J].Communications in Statistics-theory and Methods,2014,43(7):1296-1308.

        責任編輯:丁吉海

        ANote on the Ergodicity of Markov Chains

        CHENG Cheng,SUN Cheng'en,F(xiàn)ANAihua
        (School of Mathematics Physics Science and Engineering,Anhui University of Technology,Ma′anshan 243032,China)

        inhomogeneous Markov chains;stochastic kernels;Cauchy convergence;Lebesgue dominated convergence theorem

        O211.4,O236

        A

        10.3969/j.issn.1671-7872.2016.01.018

        1671-7872(2016)-01-0086-03

        2015-11-25

        安徽省自然科學基金項目(1408085MA04);安徽工業(yè)大學研究生創(chuàng)新研究基金項目(2014132)

        程成(1992-),女,安徽合肥人,碩士生,主要研究方向為概率論及其應用。

        范愛華(1964-),女,安徽安慶人,教授,主要研究方向為概率論極限理論。

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