胡光軍，侯為根，程 成（安徽工業(yè)大學數(shù)理科學與工程學院，安徽馬鞍山243032）

投資組合增長率的若干極限定理

胡光軍，侯為根，程 成
（安徽工業(yè)大學數(shù)理科學與工程學院，安徽馬鞍山243032）

設(shè)0≤a1≤a2≤…是一列固定的非負整數(shù)序列，研究其在時間段an+1至an+n內(nèi)投資組合增長率的極限性質(zhì)。通過構(gòu)造帶1個參數(shù)并且期望有限的隨機變量，利用Borel-Cantelli引理，獲得了任意投資組合增長率的性質(zhì)和一般市場條件下的極限定理。并給出了將Markov不等式和Borel-Cantelli引理等工具應用于強極限定理的一種途徑。

投資組合；增長率；倍率；極限定理

投資組合理論是現(xiàn)代金融學中的重要研究課題之一，其目的是尋求一個在給定收益水平下使投資風險最小化，或者在給定的投資風險水平下使投資者的預期效用最大化的最優(yōu)投資組合。從Markowitz［1］創(chuàng)立的均值-方差分析理論至今，人們從多方面、多層次地推廣了Markowitz模型。Cover和Thomas［2］系統(tǒng)研究了log-最優(yōu)投資組合問題，葉中行等［3］研究了有風險控制的log-最優(yōu)投資組合問題，包振華等［4］利用鞅方法研究了一類log-最優(yōu)投資組合的極限性質(zhì)，葉中行等［5］利用鞅方法證明了一般市場條件下序列投資組合的極限定理。宋靜等［6］用鞅方法研究了一類log-最優(yōu)投資組合的極限性質(zhì)，Zhang［7］建立任意隨機序列的對數(shù)最優(yōu)投資組合，得到任意序列投資組合的長期回報率在一些條件下以概率1收斂到每個時期的平均收益。本文運用研究隨機序列強極限的分析方法［8-11］，進一步推廣現(xiàn)有的理論，使得計算任意序列投資組合的回報率只需要一段時間內(nèi)的信息。

1　投資組合的增長率及性質(zhì)

在某種意義下達到最優(yōu)的投資策略。

首先討論單周期情形。設(shè)X=（X1，…，Xm）T是m種風險資產(chǎn)的回報向量，并服從聯(lián)合分布F（x）；w=（ω1，…，ωm）T，ωj≥0，j=1，2，…，mωj=1為投資者所選擇的投資組合，其中ωj是分配在第 j種風險資產(chǎn)上的資金比例，ωj≥0表明不允許賣空。

定義1股票市場中的投資組合w關(guān)于股票的分布F（X）的增長率定義為

如果對數(shù)的基底為2，增長率也稱雙倍率。

性質(zhì)1

對不允許賣空的任意投資組合w成立。

證明因為lb x是凹函數(shù)，所以

2　序列投資模型的一般極限定理

Cover等［2］證明了對數(shù)最優(yōu)投資組合模型在序列投資下的極限定理。記是在恒定持倉比例投資組合w?之下一個投資周期內(nèi)（［an+1，an+n］）n天之后的相對收益，其中w?為達到最優(yōu)倍率的投資組合。

定理1設(shè)風險資產(chǎn)的回報向量X1，X2，…為服從F（x）的獨立同分布隨機序列，則

證明由關(guān)于隨機序列滑動平均的強大數(shù)定律［7］即得。所以

定理2設(shè) X1，X2，…為連續(xù)投資于m個風險資產(chǎn)的回報序列，w1，w2，…為投資組合序列，wan，n為

σ（Xan，…，Xan+n-1）可測，記San，n=若存在0＜r≤2，0＜γ＜∞，有

則

因為

又因為

將式（10）代入式（9）中，得

由Markov不等式，對?ε＞0，有

所以

由ε的任意性及Borel-Cantelli引理，有

注意到

由式（12），（13）有

設(shè)0＜s＜γ，將式（14）兩邊同除以s，得

由上極限性質(zhì)

不等式lbx≤及式（15），有

易知

由式（16）知

所以，由s→0及式（17），（18）得

同理，用-γ＜s＜0替換0＜s＜γ，并且利用lb x≤利用下極限性質(zhì)：和上述討論得

由式（7），（19），（20）知命題成立。

［1］MARKOWITZ H.Portfolio selection［J］.Journal of Finance，1952，7:77-91.

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責任編輯：丁吉海

Some Limit Theorems for the Portfolio Growth Rate

HU Guangjun，HOU Weigeng，CHENG Cheng
（School of Mathematics&Physics Science and Engineering，Anhui University of Technology，Ma'anshan 243032，China）

Let0≤a1≤a2≤… be a sequence of fixed non-negative integers，the limit properties investment portfolio growth rate froman+1toan+nare studied.By constructing a sequence of random variables with one parameter and bounded expectations，and using the Borel-Cantelli lemma，the limit theorems for the growth rate of any investment portfolio and the general market conditions are obtained，and a way to Markov inequality and the Borel-Cantelli lemma and other tools to the strong limit theorem is given.

investment portfolio；growth rate；doubling rate；limit theorem.

O211.4；O236

A

10.3969/j.issn.1671-7872.2016.01.019

1671-7872（2016）-01-0089-05

2015-04-03

國家社科基金項目（13BJY011）；安徽省自然科學基金項目（1408085MA04）；安徽工業(yè)大學研究生創(chuàng)新研究基金項目（2013090）

胡光軍（1991-），男，安徽六安人，碩士生，研究方向為概率論及其應用。

侯為根（1963-），男，安徽繁昌人，副教授，研究方向為應用數(shù)學。