李　娜，豐建文，趙　毅

深圳大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，廣東深圳 518060

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具有馬氏跳拓?fù)鋸?fù)雜網(wǎng)絡(luò)的有限時間同步

李娜，豐建文，趙毅

深圳大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，廣東深圳 518060

摘要：考慮一類帶有部分未知轉(zhuǎn)移率，以及含有內(nèi)部時滯和耦合時滯的馬氏跳復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的有限時間同步問題．通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)碾S機(jī)Lyapunov-Krasovskii函數(shù)，利用有限時間穩(wěn)定定理以及矩陣不等式得到保證該網(wǎng)絡(luò)在一個確定時間內(nèi)達(dá)到同步的判據(jù)．有限時間同步意味著可獲得最佳收斂時間及較好的魯棒性和抗干擾性．?dāng)?shù)值模擬驗(yàn)證了所得理論結(jié)果的有效性．

關(guān)鍵詞：復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)；馬氏跳；時滯；轉(zhuǎn)移率；有限時間同步；控制器

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)是復(fù)雜系統(tǒng)的一種網(wǎng)絡(luò)形式，是對復(fù)雜系統(tǒng)相互作用的一種本質(zhì)抽象，普遍存在于現(xiàn)實(shí)世界中，如萬維網(wǎng)、電力網(wǎng)、通訊網(wǎng)及生物網(wǎng)等[1-3]．同步是指網(wǎng)絡(luò)中耦合節(jié)點(diǎn)的動力學(xué)行為經(jīng)過一段時間的演變最終達(dá)到相同的狀態(tài)，是網(wǎng)絡(luò)上典型的集體運(yùn)動形式和網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)導(dǎo)致的涌現(xiàn)現(xiàn)象，近年已成為網(wǎng)絡(luò)科學(xué)的研究熱點(diǎn)之一，受到不同學(xué)科研究者的廣泛關(guān)注，并取得大量研究成果，這些研究大都涉及完全同步[4]、指數(shù)同步[5]、漸近同步[6]及廣義同步[7]等的討論.

上面所提及的網(wǎng)絡(luò)同步指的都是當(dāng)時間趨于無窮時達(dá)到的同步，然而，在工程領(lǐng)域卻經(jīng)常需要盡可能快地達(dá)到同步，即在一定的時間內(nèi)達(dá)到同步，也就是有限時間同步[8-9]．例如，在安全通信中通常需要在較短時間內(nèi)恢復(fù)傳遞信號，以此來提高其有效性和保密性，所以有限時間同步不僅能在收斂時間內(nèi)達(dá)到最佳性，而且對外部不確定因素具有更好的抗干擾能力，并能增強(qiáng)系統(tǒng)的魯棒性[10-12]．2010年，Yang等[13]首先討論一類復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的有限時間隨機(jī)同步問題，2013年，他們又研究了非恒同不連續(xù)節(jié)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)的有限時間同步[14]．與此同時Mei等[15]研究了帶有不確定參數(shù)驅(qū)動響應(yīng)系統(tǒng)的有限時間結(jié)構(gòu)識別和同步．但上述研究忽略了時滯，而時滯在現(xiàn)實(shí)世界中普遍存在[16]，如電話通信，QQ聯(lián)系時由于通信信道阻塞等多種原因是存在時間延遲的．近來的一些研究中也注意到時滯的影響，如Mei等[17]利用脈沖控制和間歇控制實(shí)現(xiàn)了帶有耦合時滯的復(fù)雜動力網(wǎng)絡(luò)的有限時間同步；Li等[8]對帶有時變時滯的耦合網(wǎng)絡(luò)有限時間同步問題進(jìn)行討論；Cui等[18]給出了帶有部分未知轉(zhuǎn)移率和內(nèi)部時滯的馬氏跳復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的有限時間同步充分條件，但僅考慮了內(nèi)部時滯或者耦合時滯．本研究考慮內(nèi)部時滯和耦合時滯均存在且為時變的實(shí)際網(wǎng)絡(luò)．另一方面，網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)是隨著時間演變在不斷變化的，為使所研究的情形更加符合實(shí)際，現(xiàn)有研究引入馬爾可夫鏈(簡稱為馬氏跳)來描述網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)變化，即網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)只在有限個狀態(tài)下發(fā)生變化，且由一種狀態(tài)依一定概率變化到另一種狀態(tài)，事實(shí)上，這種現(xiàn)象存在于現(xiàn)實(shí)網(wǎng)絡(luò)中，如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[19]、基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)[20]及Hopfield網(wǎng)絡(luò)[21]等．然而在大多數(shù)情況下，馬氏跳網(wǎng)絡(luò)的轉(zhuǎn)移率是未知的，且對狀態(tài)轉(zhuǎn)移率的估計值可能引起網(wǎng)絡(luò)的不穩(wěn)定或降低系統(tǒng)的表現(xiàn)，最近得到一些有關(guān)不確定轉(zhuǎn)移率的拓展結(jié)果[22-24]，但上述這些工作中均要求不確定轉(zhuǎn)移率是有界的．通過上述分析，對未知轉(zhuǎn)移率無任何附加條件下考慮帶有部分未知轉(zhuǎn)移率的馬氏跳復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的有限時間同步是非常有意義的．

受相關(guān)研究啟發(fā)，本研究考慮帶有內(nèi)部時滯(發(fā)生在節(jié)點(diǎn)內(nèi)部的時滯)和耦合時滯(節(jié)點(diǎn)之間產(chǎn)生的時滯)，且有部分未知轉(zhuǎn)移率馬氏跳復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的有限時間同步問題，通過設(shè)計一系列控制器，根據(jù)有限時間穩(wěn)定定理，經(jīng)過嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明得到該類網(wǎng)絡(luò)的有限時間同步判據(jù)．最后，通過數(shù)值模擬論證所得理論結(jié)果的有效性．

1模型描述與準(zhǔn)備工作

考慮如下復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型：

τ2(t))),i=1,2,…,N

(1)

網(wǎng)絡(luò)(1)的初始條件為

xi(z)=φi(z)∈C([-τ,0],Rn),

i=1,2,…,N

其中， τ=max{τ1,τ2}， C([-τ,0],Rn)表示從區(qū)間[-τ,0]映射到Rn的連續(xù)函數(shù)集．

網(wǎng)絡(luò)(1)的孤立節(jié)點(diǎn)方程為

(2)

用s(t)表示式(2)滿足初始條件s(t)=ψ(t),t∈[-τ,0]的解．其中， ψ(t)∈C([-τ,0],Rn)．

本研究旨在通過設(shè)計適當(dāng)?shù)目刂破魇瓜到y(tǒng)(1)在給定時間內(nèi)同步到系統(tǒng)(2)，為此首先給出文中所用到的定義、引理及假設(shè)．

定義1[18]馬氏跳復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)(1)是有限時間同步的，若存在t*>0， 對任意的t≥t*，使

(3)

成立．

假設(shè)1[18]存在兩個常數(shù)矩陣Θ=(θij)n×n和Φ=(φij)n×n， 其中， θij≥0, φij≥0， 使得系統(tǒng)(1)中的 f(t,xi(t),xi(t-τ1(t)))滿足

?x=(x1,x2,…,xn)T∈Rn,

y=(y1,y2,…,yn)T∈Rn, i=1,2,…,n.

(4)

注1若式(4)中τ1(t)=0， 則式(4)變?yōu)?/p>

引理2[17]對于?x1, x2,…,xn∈Rn是任意向量， 0

2帶有時滯的部分未知轉(zhuǎn)移率馬氏跳復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的有限時間同步

為實(shí)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)(1)在有限時間內(nèi)同步，需要施加一些控制器ui(t)， 這樣被控制的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)為

(5)

記ei(t)=xi(t)-s(t)， 根據(jù)式(2)和式(5)，并注意到 A和 B的性質(zhì)可得誤差系統(tǒng)為

f(t,s(t),s(t-τ1(t)))+

τ2(t))+ui(t),i=1,2,…,N

(6)

設(shè)計下述形式的控制器

(7)

在控制器(7)的作用下，我們討論受控系統(tǒng)(6)在原點(diǎn)處的有限時間穩(wěn)定．以下為本研究所取得的主要結(jié)果．

定理1若函數(shù) f(t, xi(t), xi(t-τ1(t)))滿足式(4)，且以下不等式成立

(8)

【證】對任意的qr>1和r∈S， 選取如下隨機(jī)Lyapunov-Krasovskii函數(shù)

(9)

根據(jù)伊藤公式，代入式(6)得

(10)

(11)

(12)

E[LV(t, e(t),r)]≤

(13)

由引理2可得

則式(13)可改寫為

由引理1知， E(V(t, e(t),r))在有限時間內(nèi)趨于0，同時可估計同步時間的上界為

因此，誤差向量 ei(t),i=1,2,…,N在時間t*內(nèi)將會趨于0．此定理得證．

當(dāng)內(nèi)部時滯與耦合時滯都等于零時，相應(yīng)的系統(tǒng)為

(14)

其孤立節(jié)點(diǎn)的方程為

(15)

設(shè)計控制器為

ui(t)=-ξi(r)ei(t)-

(16)

由此可得如下推論．

推論1若假設(shè)1成立，且

(17)

注3定理1討論了內(nèi)部時滯與耦合時滯共存這類更符合實(shí)際的情形，如果令τ1(t)=0或者τ2(t)=0， 即僅考慮耦合時滯[15]或者內(nèi)部時滯[18]，那么對應(yīng)改變設(shè)計的控制器即可，所以此處所得的結(jié)果推廣了現(xiàn)有文獻(xiàn)[15,18]的相關(guān)結(jié)果．

3數(shù)值模擬

考慮僅有兩種模式的馬氏跳系統(tǒng)(1)，即r=2， 且系統(tǒng)有6個節(jié)點(diǎn)，每個節(jié)點(diǎn)的維數(shù)為二維．定理1中節(jié)點(diǎn)動力學(xué)f(·)定義如下[25]

f(t, xi(t), xi(t-τ1(t)))=

-Cxi(t)+Mg(xi(t))+Ng(xi(t-τ1(t))),

不失一般性，令外耦合矩陣定義如下：

B(1)=A(1)=

B(2)=A(2)=

圖1　節(jié)點(diǎn)狀態(tài)xij(t)隨時間的演變Fig.1　(Color online) Variation of node state with time

圖2　同步誤差范數(shù)隨時間的演變Fig.2　(Color online) Evolution of the norm of error variable over time

圖3　同步誤差范數(shù)隨時間的演變Fig.3　Evolution of the norm of error variable over time

結(jié)語

本文研究了帶有部分未知轉(zhuǎn)移率的馬氏跳復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的有限時間同步問題，該系統(tǒng)具有可變的內(nèi)部時滯和耦合時滯．通過設(shè)計一系列控制器及合適的Lyapunov-Krasovskii函數(shù)，利用線性矩陣不等式和有限時間穩(wěn)定理論得到實(shí)現(xiàn)所研究系統(tǒng)在給定時間內(nèi)達(dá)到同步的判據(jù)．通過數(shù)值模擬論證了所得結(jié)果的有效性．

引文：李娜，豐建文，趙毅．具有馬氏跳拓?fù)鋸?fù)雜網(wǎng)絡(luò)的有限時間同步[J]. 深圳大學(xué)學(xué)報理工版，2016，33(4)：359-366.

參考文獻(xiàn)/ References：

[1] Boccaletti S，Latora V，Moreno Y，et al．Complex networks：structure and dynamics[J]．Physics Reports，2006，424(4)：175-308．

[2] Pagani G A，Aiello M．The power grid as a complex network：a survey[J]．Physica，2013，392(11)：2688-2700．

[3] Tang Jinjun，Wang Yinhai，Liu Fang．Characterizing traffic time series based on complex network theory[J]．Physica，2013，392(18)：4192-4201．

[4] Wang Shuguo, Yao Hongxing, Bian Qiuxiang. Synchronization in complex networks with time-varying delays dynamical nodes via pinning control[J]．Mathematical Problems in Engineering，2012，2012(1): 654742．

[5] Sheng Li，Yang Huizhong．Exponential synchronization of a class of neural networks with mixed time-varying delays and impulsive effects[J]．Neurocomputing，2008，71(16): 3666-3674．

[6] Wang Zhanshan，Zhang Huaguang．Synchronization stability in complex interconnected neural networks with non-symmetric coupling[J]．Neurocomputing，2013，108(5): 84-92．

[7] Wu Xiaoqun，Zheng Weixing，Zhou Jin．Generalized outer synchronization between complex dynamical networks[J]．Chaos，2009，19(1)：193-204．

[8] Li Dong，Cao Jinde．Finite-time synchronization of coupled networks with one single time-varying delay coupling[J]．Neurocomputing，2015，166(31)：265-270．

[9] Huang Junjian，Li Chuandong，Huang Tingwen，et al．Finite-time lag synchronization of delayed neural networks[J]．Neurocomputing，2014，139：145-149．

[10] Bhat S P，Bernstein D S．Finite-time stability of continuous autonomous systems，SIAM[J]．Control Optim，2000，38(3)：751-766．

[11] Li Shihua，Du Haibo，Lin Xiangze．Finite-time consensus algorithm for multi-agent systems with double-integrator dynamics[J]．Automatica，2011，47(8)：1706-1712．

[12] Du Haibo，Li Shihua，Qian Chunjiang．Finite-time attitude tracking control of spacecraft with application to attitude synchronization[J]．IEEE Transactions on Automatic Control，2011，56(11)：2711-2717．

[13] Yang Xinsong，Cao Jinde．Finite-time stochastic synchronization of complex networks[J]．Applied Mathematical Modelling，2010，34(11)：3631-3641．

[14] Yang Xinsong，Wu Zhiyou，Cao Jinde．Finite-time synchronization of complex networks with nonidentical discontinuous nodes[J]．Nonlinear Dynamics，2013，73(4)：2313-2327．

[15] Mei Jun，Jiang Minghui，Wang Jun．Finite-time structure identification and synchronization of drive-response systems with uncertain parameter[J]．Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation，2013，18(4)：999-1015．

[16] Fei Zhongyang，Gao Huijun，Zheng Weixing．New synchronization stability of complex networks with an interval time-varying coupling delay[J]．IEEE Transactions on Circuits and Systems II：Express Briefs，2009，56(6)：499-503．

[17] Mei Jun，Jiang Minghui，Xu Wangming，et al．Finite-time synchronization control of complex dynamical networks with time delay[J]．Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation，2013，18(9)：2462-2478．

[18] Cui Wenxia，Sun Shaoyuan，F(xiàn)ang Jianan，et al．Finite-time synchronization of Markovian jump complex networks with partially unknown transition rates[J]．Journal of the Franklin Institute，2014，351(5)：2543-2561．

[19] Yang Xinsong，Cao Jinde，Lu Jianquan．Synchronization of Markovian coupled neural networks with nonidentical node-delays and random coupling strengths[J]．IEEE Transactions on Neural Networks and Learning Systerms，2012，23(1)：60-71．

[20] Zhang Wenbing，F(xiàn)ang Jianan，Tang Yang．Stochastic stability of Markovian jumping genetic regulatory networks with mixed time delays[J]．Applied Mathematics Computation，2011，217(17)：7210-7225．

[21] Hopfield J J．Neurons with graded response have collective computational properties like those of two state neurons[J]. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America，1984，81(10)：3088-3092．

[22] Xiong Junlin，Lam J，Gao Huijun，et al．On robust stabilization of Markovian jump systems with uncertain switching probabilities[J]．Automatica，2005，41(5)：897-903．

[23] Costa O L V，Val J B L，Geomel J C．Continuous time state feedback H2-control of Markovian jump linear system via convex analysis[J]．Automatica，1999，35(2)：259-268．

[24] Kalyanasundaram S，Chong E K P，Shroff N B．Markov decision processes with uncertain transition rates： sensitivity and max hyphen min control[J]．Asian Journal of Control，2004，6(2)：253-269．

[25] Gilli M．Strange attractors in delayed cellular neural networks[J]．IEEE Transactions on Circuits and Systems I：Fundamental Theory and Applications，1993，40(11)：849-853．

【中文責(zé)編：方圓；英文責(zé)編：木南】

中圖分類號：O 193

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

doi：10.3724/SP.J.1249.2016.04359

基金項目：國家自然科學(xué)基金資助項目(61273220，61373087)

作者簡介：李娜(1990—)，女，深圳大學(xué)碩士研究生．研究方向：微分動力學(xué)在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的應(yīng)用．E-mail：lina19900305@163.com

Finite-time synchronization of Markovian jump complex networks

Li Na, Feng Jianwen?, and Zhao Yi

College of Mathematics and Statistics, Shenzhen University, Shenzhen 518060, Guangdong Province, P.R.China

Abstract：A finite-time synchronization issue on a class of Markovian jump complex networks with partially unknown transition rates and time delays, including internal delay and coupling delay, is studied. With finite-time stability theorem and matrix inequality, some sufficient criteria have been proposed to guarantee the synchronization during a setting time by constructing the suitable stochastic Lyapunov-Krasovskii function. Since finite-time synchronization suggests optimality in convergence time, better robustness and better disturbance rejection properties, the results are important. The validity and effectiveness of the theoretical result are verified with several numerical simulations.

Key words：complex networks; Markovian jump; time delay; transition rate; finite-time synchronization; controller

Received：2016-03-10；Accepted：2016-05-25

Foundation：National Natural Science Foundation of China (61273220, 61373087)

? Corresponding author：Professor Feng Jianwen．E-mail: fengjw@szu.edu.cn

Citation：Li Na，F(xiàn)eng Jianwen，Zhao Yi．Finite-time synchronization of Markovian jump complex networks[J]. Journal of Shenzhen University Science and Engineering, 2016, 33(4): 359-366.(in Chinese)

【電子與信息科學(xué) / Electronics and Information Science】