王　貴，邢宗義，王曉浩，陳岳劍

(1.南京理工大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，南京　210094;2.南京理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院， 南京　210094)

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基于擴(kuò)展卡爾曼濾波的軌道垂向不平順估計(jì)

王貴1，邢宗義1，王曉浩2，陳岳劍2

(1.南京理工大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，南京210094;2.南京理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院， 南京210094)

摘要：軌道不平順是影響列車平穩(wěn)性和舒適度的關(guān)鍵因素，因此及時(shí)掌握線路狀態(tài)對(duì)保證列車的運(yùn)行安全具有重要意義。針對(duì)采用單個(gè)慣性量較難達(dá)到對(duì)不同波段不平順的檢測(cè)，通過(guò)觀測(cè)多個(gè)慣性量，運(yùn)用擴(kuò)展卡爾曼濾波解決非線性離散系統(tǒng)的最優(yōu)估計(jì)原理，根據(jù)車輛軌道耦合狀態(tài)空間方程計(jì)算遞推雅克比矩陣，并結(jié)合線性觀測(cè)方程得到最優(yōu)狀態(tài)估計(jì)，實(shí)現(xiàn)軌道不平順估計(jì)。在Matlab平臺(tái)下，進(jìn)行了實(shí)測(cè)軌道不平順激勵(lì)作用下的仿真，將仿真得到的觀測(cè)值采用本文提出的方法進(jìn)行軌道垂向不平順估計(jì)，結(jié)果表明該算法具有很好的精確性。

關(guān)鍵詞：軌道不平順；擴(kuò)展卡爾曼濾波；最優(yōu)估計(jì)

軌道不平順是引起車輛與軌道產(chǎn)生振動(dòng)的主要激勵(lì)源之一，是軌道質(zhì)量狀態(tài)的集中體現(xiàn)。軌道不平順不僅會(huì)增加車輛與軌道間的相互作用，縮短車輛與軌道的使用壽命，影響乘坐舒適度，當(dāng)形變累積到一定程度時(shí)還會(huì)使車輛產(chǎn)生傾斜和側(cè)滾運(yùn)動(dòng)，嚴(yán)重威脅列車的安全運(yùn)行，因此對(duì)運(yùn)行線路的軌道不平順狀態(tài)進(jìn)行實(shí)時(shí)檢測(cè)和估計(jì)具有重要意義[1-2]。

目前已見眾多軌道不平順在線檢測(cè)和估計(jì)的研究。朱文發(fā)等[3]提出了基于捷聯(lián)慣性系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)軌道長(zhǎng)波不平順的檢測(cè)方法，并采用小波去噪和積分濾波器將加速度信號(hào)處理得到軌道長(zhǎng)波不平順位移。J Real等[4]在軸箱上安裝垂向加速度計(jì)，獲得軸箱振動(dòng)加速度信號(hào)，并對(duì)信號(hào)進(jìn)行二次積分、高通濾波、相位補(bǔ)償和振動(dòng)模型逆輸入的處理，實(shí)現(xiàn)對(duì)軌道垂向不平順的檢測(cè)。Lee J S等[5]利用軸箱加速度通過(guò)卡爾曼濾波和波長(zhǎng)帶通濾波來(lái)估計(jì)軌道不平順。

軌道垂向不平順包括波長(zhǎng)較廣范圍內(nèi)的不平順，常用檢測(cè)方法中，軸箱振動(dòng)較難同時(shí)檢測(cè)局部不平順和長(zhǎng)波不平順；構(gòu)架振動(dòng)由于一系簧濾波特性和幾何濾波而丟失了較多波長(zhǎng)成分；構(gòu)架傾角對(duì)短波不平順存在空間濾波特性；因此僅以軸箱垂向振動(dòng)、構(gòu)架垂向振動(dòng)或構(gòu)架點(diǎn)頭角速度中單個(gè)慣性量較難達(dá)到對(duì)不同波段不平順的檢測(cè)[6-7]。本文中綜合考慮振動(dòng)加速度、構(gòu)架角速度等多個(gè)慣性量，構(gòu)建以多個(gè)慣性響應(yīng)為輸入，以軌道垂向不平順為輸出的數(shù)學(xué)模型，以達(dá)到精確的軌道垂向不平順估計(jì)。

慣性響應(yīng)與軌道垂向不平順的關(guān)系是復(fù)雜多輸入非線性動(dòng)態(tài)[8]。常用的非線性濾波方法有擴(kuò)展卡爾曼濾波(EKF)[9]、無(wú)跡卡爾曼濾波(UKF)[10]、粒子濾波(PF)[11]等。擴(kuò)展卡爾曼濾波具有實(shí)時(shí)性強(qiáng)、精確度高等優(yōu)點(diǎn)[12]，對(duì)非線性系統(tǒng)濾波能得到近似的可接受的解，因此采用擴(kuò)展卡爾曼濾波算法實(shí)現(xiàn)多慣性監(jiān)測(cè)量與軌道不平順之間的濾波。

1擴(kuò)展卡爾曼濾波算法

對(duì)于如下離散非線性系統(tǒng)模型

(1)

(2)

(3)

式(1)為系統(tǒng)的狀態(tài)方程，式(2)為系統(tǒng)的輸出觀測(cè)方程。f()、h()為非線性傳遞函數(shù)，wk和vk代表過(guò)程模型激勵(lì)噪聲和觀測(cè)噪聲，兩個(gè)噪聲對(duì)應(yīng)的協(xié)方差分別為Qk，Rk。xk為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，yk為系統(tǒng)的觀測(cè)變量，uk為系統(tǒng)的驅(qū)動(dòng)函數(shù)。

(4)

(5)

對(duì)偏微分雅克比矩陣Fk-1、Lk-1、Hk、Mk進(jìn)行計(jì)算，狀態(tài)估計(jì)和估計(jì)誤差協(xié)方差的時(shí)間更新如下

(6)

(7)

狀態(tài)估計(jì)的測(cè)量更新和估計(jì)誤差協(xié)方差更新如下

(8)

(9)

(10)

2基于EKF的軌道垂向不平順估計(jì)

通過(guò)車輛軌道耦合模型的動(dòng)力學(xué)方程可以改寫得到系統(tǒng)的狀態(tài)方程，結(jié)合傳感器的觀測(cè)方程，經(jīng)過(guò)EKF濾波迭代后得到最優(yōu)狀態(tài)，然后根據(jù)最優(yōu)狀態(tài)逆向計(jì)算軌道不平順。

2.1車輛軌道耦合系統(tǒng)狀態(tài)方程

車輛軌道耦合模型的動(dòng)力學(xué)方程可描述為

(11)

式中，M、C、K為車輛的質(zhì)量、阻尼和彈簧矩陣與軌道的質(zhì)量、阻尼和彈簧矩陣結(jié)合；Q為車輛與軌道動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)激勵(lì)的組合；狀態(tài)向量x為車輛與軌道動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)狀態(tài)向量的組合[8]

(12)

式中，Zc、Zt1、Zt2、Zw1、Zw2、Zw3、Zw4、Zsj、Zbi分別為車體、前構(gòu)架、后構(gòu)架、第1～4輪對(duì)、第i軌枕、道床的浮沉運(yùn)動(dòng)；βc、βt1、βt2分別為車體、前構(gòu)架、后構(gòu)架的點(diǎn)頭運(yùn)動(dòng)；NM為鋼軌模態(tài)階數(shù)；N為軌枕支點(diǎn)總數(shù)；qk(t)為鋼軌正則振型坐標(biāo)。

對(duì)于車輛軌道垂向耦合模型，在仿真計(jì)算軌道長(zhǎng)度l取70 m的情況下，N=100，根據(jù)文獻(xiàn)[8]，NM合理取值為90，整個(gè)系統(tǒng)的自由度為300，即x為300×1的系統(tǒng)狀態(tài)向量，M，C，K為300×300的常量矩陣。

將式(11)改寫成式(13)

(13)

2.2傳感器觀測(cè)方程

(14)

式中，v(t)為測(cè)量噪聲；H為測(cè)量矩陣；X(t)為t時(shí)刻狀態(tài)向量及其導(dǎo)數(shù)的組合。

注意到式(14)包含額外的重力加速度，這部分可視為測(cè)量噪聲并非為零均值的，本文采用對(duì)檢測(cè)到的加速度需先減去g的處理方式。

2.3濾波迭代方程配置

對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)方程式(13)求取雅克比矩陣Fk-1

(16)

式(15)中A為已知的常數(shù)矩陣，推導(dǎo)可得Au

(17)

其中

(18)

狀態(tài)估計(jì)和估計(jì)誤差協(xié)方差的時(shí)間更新如下

(19)

(20)

式(20)狀態(tài)估計(jì)時(shí)間更新采用經(jīng)典的4階龍格-庫(kù)塔積分實(shí)現(xiàn)[13]。

對(duì)觀測(cè)方程(14)求取雅克比矩陣

狀態(tài)估計(jì)的量測(cè)更新和估計(jì)誤差協(xié)方差的更新如下

(21)

(22)

(23)

2.4由最優(yōu)狀態(tài)計(jì)算軌道不平順

(24)

改寫狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程式(13)如下

(25)

式中，τ為常數(shù)矩陣。由于軌道不平順在不同車輪的激勵(lì)輸入僅是時(shí)間延遲，因此只需得到首個(gè)車輪Zw1受到的激勵(lì)即可。提取第307個(gè)行元素，建立等式如下

(26)

最終，軌道不平順的反推方程如下

(27)

3仿真驗(yàn)證

基于EKF算法的軌道不平順估計(jì)研究框架匯總見圖1，通過(guò)車輛軌道耦合動(dòng)力學(xué)模型仿真得到真實(shí)的狀態(tài)響應(yīng)，采集可觀測(cè)的狀態(tài)如車體加速度、車體角速度、構(gòu)架加速度和構(gòu)架角速度等，利用擴(kuò)展卡爾曼濾波，結(jié)合觀測(cè)方程、狀態(tài)方程和由估計(jì)狀態(tài)逆向計(jì)算軌道不平順實(shí)現(xiàn)軌道不平順的最優(yōu)估計(jì)。

圖1　基于EKF算法的軌道不平順估計(jì)研究框架

圖2　高鐵實(shí)測(cè)軌道不平順

通過(guò)一段實(shí)測(cè)軌道高低不平順數(shù)據(jù)對(duì)車輛-軌道垂直耦合動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行數(shù)值求解。該段數(shù)據(jù)來(lái)自武廣高速鐵路DK1 534～DK1 536的運(yùn)營(yíng)線路，利用GJ-6型軌檢車基于激光檢測(cè)法檢測(cè)輸出。該段數(shù)據(jù)是以0.1 m為間隔的離散采樣序列，長(zhǎng)度2 km，如圖2所示。動(dòng)力學(xué)模型仿真可直接獲取車體振動(dòng)加速度、車體點(diǎn)頭角速度、構(gòu)架振動(dòng)加速度和構(gòu)架點(diǎn)頭角速度，仿真響應(yīng)如圖3所示。

圖4　最優(yōu)狀態(tài)量與仿真值比較空間域波形和功率譜(一)

圖3　觀測(cè)量空間域波形

濾波器迭代過(guò)程中，設(shè)定式(20)的狀態(tài)估計(jì)的積分步長(zhǎng)為0.1 ms，濾波器迭代步長(zhǎng)1 ms，空間步長(zhǎng)0.1 m。濾波后車輛系統(tǒng)狀態(tài)量響應(yīng)與動(dòng)力學(xué)仿真輸出的真實(shí)狀態(tài)對(duì)比見圖4和圖5。圖4為車輪加速度，構(gòu)架加速度和車體加速度最優(yōu)狀態(tài)量與仿真值比較空間域波形和功率譜(一)。圖5為車輪速度，構(gòu)架角速度，車體角速度最優(yōu)狀態(tài)量與仿真值比較空間域波形和功率譜(二)。

圖5　最優(yōu)狀態(tài)量與仿真值比較空間域波形和功率譜(二)

為了量化衡量圖4和圖5中濾波后車輛系統(tǒng)狀態(tài)量響應(yīng)與動(dòng)力學(xué)仿真輸出的真實(shí)狀態(tài)逼近程度，計(jì)算兩者之間的相關(guān)度系數(shù)R，標(biāo)準(zhǔn)差SD和歸一化均方誤差NMSE。仿真過(guò)程之前的狀態(tài)量均添加了協(xié)方差為Rk的觀測(cè)噪聲，因此為更直觀地展示拓展卡爾曼濾波的精度，對(duì)真實(shí)狀態(tài)值添加噪聲后計(jì)算相關(guān)度系數(shù)R，標(biāo)準(zhǔn)差SD和歸一化均方誤差NMSE。表1給出了濾波前后，車輪加速度等6個(gè)狀態(tài)變量的R，SD和NMSE。對(duì)比表1中各個(gè)狀態(tài)變量在濾波前后R，SD和NMSE，可發(fā)現(xiàn)濾波后相關(guān)系數(shù)R明顯增大，均高于0.98，表現(xiàn)了估計(jì)值和仿真值之間很高的相關(guān)程度；標(biāo)準(zhǔn)差SD和歸一化均方誤差NMSE均有減小，且SD多數(shù)小于0.1 m/s2，表明估計(jì)值自身的變化程度很小，NMSE均低于-10，表明估計(jì)值與仿真值的誤差很小。綜合濾波后各個(gè)狀態(tài)變量的R，SD和NMSE，各個(gè)狀態(tài)量都表現(xiàn)出了很高的逼近程度，有效地抑制了觀測(cè)噪聲帶來(lái)的影響，得到了狀態(tài)量可接受精度的最優(yōu)估計(jì)。

表1　最優(yōu)狀態(tài)量與真實(shí)值逼近程度量化指標(biāo)

按式(24)由EKF得到的最優(yōu)狀態(tài)，計(jì)算軌道不平順。得到的軌道不平順與真實(shí)軌道不平順激勵(lì)對(duì)比見圖6，可見最優(yōu)狀態(tài)計(jì)算得到的軌道不平順在各個(gè)波段均逼近真實(shí)值，尤其在2～300 m波長(zhǎng)范圍內(nèi)功率譜值與真實(shí)不平順表現(xiàn)了很強(qiáng)的一致性。濾波后相關(guān)系數(shù)R為0.984 3，標(biāo)準(zhǔn)差SD為0.171 mm，歸一化均方誤差NMSE為-27.2，表明運(yùn)營(yíng)列車在廣泛的車速區(qū)間內(nèi)均能實(shí)現(xiàn)垂向不平順的預(yù)測(cè)，驗(yàn)證了所提擴(kuò)展卡爾曼濾波方法的有效性。

圖6　濾波后軌道不平順與實(shí)際激勵(lì)值比較空間域波形和功率譜

4結(jié)論

本文提出了一種基于擴(kuò)展卡爾曼濾波的軌道垂向不平順估計(jì)方法。由于采用單個(gè)慣性量較難達(dá)到對(duì)不同波段不平順的檢測(cè)，本文通過(guò)觀測(cè)多個(gè)慣性量，并結(jié)合車輛軌道耦合狀態(tài)空間方程，基于擴(kuò)展卡爾曼濾波實(shí)現(xiàn)了軌道垂向不平順的估計(jì)。仿真結(jié)果表明本文所提方法的精確性和魯棒性。

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收稿日期：2015-09-14； 修回日期：2015-11-26

基金項(xiàng)目：中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金項(xiàng)目(30920130132002)

作者簡(jiǎn)介：王貴(1990—)，男，碩士研究生，主要從事軌道交通控制與安全研究，E-mail:smgwang1023@163.com。 通信作者：邢宗義(1974—)，男，副教授，主要從事交通運(yùn)輸信息工程與安全保障研究，E-mail:xingzongyi@163.com。

文章編號(hào)：1004-2954(2016)07-0014-05

中圖分類號(hào)：U213.2

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

DOI:10.13238/j.issn.1004-2954.2016.07.004

Prediction of Vertical Track Irregularities Based on Extended Kalman Filter

WANG Gui1， XING Zong-yi1， WANG Xiao-hao2， CHEN Yue-jian2

(1.School of Automation， Nanjing University of Science and Technology， Nanjing 210094， China;2.School of Mechanical Engineering，Nanjing University of Science and Technology， Nanjing 210094， China)

Abstract：Track irregularities are main factors affecting stability and comfort of trains and it is important to understand the status of line to ensure safe operation of trains. Due the difficulties to detect different irregularities of different bands with a single inertial value， the method based on the observation of multi inertia values to predict vertical track irregularity is proposed. The optimal estimation principle of extended Kalman filter for nonlinear discrete systems is used to estimate track irregularities according to Recursive Jacobi matrix， the vehicle track coupling status-space equation and the optimal state estimation obtained with linear measurement equation. On Matlab platform， the simulation of actual track irregularities measured under stimulation is conducted. The simulation results show that this algorithm is accurate to estimate track irregularities．

Key words：Track irregularities; Extended Kalman Filter; Optimal estimation