張節(jié)松, 肖慶憲

(1.上海理工大學管理學院,上海200093;2.淮北師范大學管理學院,安徽淮北235000)

方差分保費原則下相依多險種模型的最優(yōu)再保險

張節(jié)松1,2, 肖慶憲1

(1.上海理工大學管理學院,上海200093;2.淮北師范大學管理學院,安徽淮北235000)

采用共同沖擊型相依多險種模型刻畫保險公司的索賠風險過程,按照方差分保費原則計算再保險費,研究最小化破產概率的再保險問題.通過擴散逼近并利用動態(tài)規(guī)劃原理,得到了顯式最優(yōu)策略和值函數.與采用期望值分保費原則比較,發(fā)現最優(yōu)分保形式和自留風險水平均不相同;與最大化期望指數效用的結果比較,發(fā)現最優(yōu)分保比例除了與安全負載相關,還與索賠分布、計數過程以及直接保險費收入率c有關.最后,結合數值算例揭示了相依參數的動態(tài)影響以及最優(yōu)策略與c的敏感相關性.

方差分保費原則;相依多險種模型;最優(yōu)再保險;破產概率

§1 引 言

近年來,地震,臺風,泥石流,火災,工廠爆炸等自然災害和公共安全類事件頻發(fā),政府和保險業(yè)對巨額損失保險問題越來越重視.再保險是防范和化解巨額風險的重要手段,合理安排再保險不僅能提高保險公司的償付能力,維護可持續(xù)發(fā)展,也可以減輕政府財政救助負擔,保障經濟損失.不過,和直接保險一樣保險人須要向再保險人支付分保費,且相對而言更為昂貴,原保險公司的收益會縮減.因此,保險人需要在風險與收益間進行平衡并盡可能作出最為合理的決策.實際上,最優(yōu)再保險策略一直是精算學主要研究內容之一.Schmidli[1],Hipp&Taksar[2],Cao&Zeng[3]和張茂軍等[4]考慮了最小化破產概率的最優(yōu)再保險問題;Kaluszka[5]討論了最小化自留風險方差的最優(yōu)再保險安排;Cai et al.[6],Chi[7]以最小化尾部風險測度為優(yōu)化目標,探討最優(yōu)再保險形式與自留額;Bai&Guo[8]和林祥&李艷方[9]采用最大化終期財富期望效用的優(yōu)化準則,研究了最優(yōu)投資-再保險策略;Hald&Schmidli[10]和Liang&Guo[11]則著眼于最大化調節(jié)系數,求解最優(yōu)自留風險水平.值得說明的是,在上述優(yōu)化準則中,最小化破產概率是一種內在的客觀標準,與最大化期望效用等優(yōu)化準則不同,它不取決于任何特殊個體的效用偏好,且現實意義非常直觀.但同時,如果是在跳躍風險過程框架下,即便是經典的復合Poisson過程,一般也很難得到最優(yōu)解的顯式表達式.因此,常采用擴散逼近的方法將跳躍風險過程近似處理為漂移布朗運動[1-3].

上述最優(yōu)再保險研究從宏觀的角度將索賠風險刻畫為單個隨機變量或傳統(tǒng)的復合Poisson過程亦或擴散逼近變形,主要適用于經營同質風險的保險企業(yè).在現代保險實務中,尤其是在巨災情形下,由于保險公司經營業(yè)務的不斷多元化,一次事故往往會觸發(fā)多險種的同時索賠且呈現出相依關系.例如,一次地震可能導致醫(yī)療保險,死亡保險,房屋保險,汽車保險等險種的共同索賠,且索賠強度均與此次地震的破壞性相關.因此,有必要采用相依多險種模型刻畫保險公司的索賠風險.然而,截至目前,還只有少量最優(yōu)再保險研究是在相依多險種模型框架下進行的.Centeno[12]在最大化期望指數效用和調節(jié)系數的優(yōu)化標準下研究了相依雙險種模型超額賠款再保險的最優(yōu)自留限額.針對同一模型風險,Bai et al.[13]通過擴散逼近,在期望值保費原則下研究了最小化破產概率的最優(yōu)再保險形式及其自留額;Liang&Yuen[14]則在方差保費原則和最大化終期財富期望指數效用的優(yōu)化準則下,分別研究了跳躍模型和擴散逼近模型的最優(yōu)比例再保險.鑒于Liang&Yuen[14]所得結果表明,在擴散逼近情形下兩險種的最優(yōu)自留風險水平相同且與索賠額分布及計數過程無關,Yuen et al.[15]采用相同的優(yōu)化準則,但將相依雙險種模型推廣到更貼近保險實際的相依m(xù)(≥2)險種情形,并采用期望值分保費原則分別給出了跳躍情形和擴散逼近情形下的最優(yōu)結果.

期望值原則和方差原則都是保費計算過程中所通常采用的方式.在期望值保費原則下,根據Bai et al.[13]命題2.1,超額賠款再保險是最小化破產概率的最優(yōu)分保形式.該結論在方差保費原則下未必成立,因為根據Hipp&Taksar[2]命題7,此時的最優(yōu)分保形式應為比例再保險.鑒于這一事實并受前述[13-15]等工作的啟發(fā),本文采用Yuen et al.[15]所述相依m(xù)(≥2)險種模型,以最小化破產概率為優(yōu)化準則,在方差分保費原則下研究最優(yōu)再保險問題.通過擴散逼近并運用動態(tài)規(guī)劃原理,得到了最優(yōu)自留風險水平及最小破產概率的解析表達式.同時,結合數值算例分析了相依參數和保費收入率的動態(tài)影響.結果表明,與Liang&Yuen[14]在期望指數效用最大化準則下所得的最優(yōu)策略不同,最小化破產概率的最優(yōu)策略不僅與安全負載有關,還與索賠分布,計數過程以及直接保險費收入率相關.特別的,與各險種間的相依參數相關,隨著相依參數的增大,最優(yōu)自留風險水平也增大.這與Bai et al.[13]同樣為最小化破產概率,但采用期望值保費原則所得的結論也不相同,因為那里的數值分析表明最優(yōu)自留限額是隨著相依參數的增大而先減后增的.

§2 最優(yōu)再保險模型

設保險公司經營m(≥2)種保險業(yè)務,如汽車保險,意外傷害險,醫(yī)療保險,壽險等.對第l(l=1,2,···,m)類經濟業(yè)務,令(i=1,2,···)表示索賠序列,具有共同的分布函數Fl(x),滿足x≤0時Fl(x)=0而x＞0時0＜Fl(x)＜1.由此,第l類保險業(yè)務的累積索賠過程可表示為

其中Nl(t)和N(t)為m+1個相互獨立的Poisson過程,強度分別為λ1,λ2,···,λm和λ. 即m類保險業(yè)務同時受計數過程N(t)的沖擊而相依.于是,所有m類保險業(yè)務的累積索賠過程可表示為

據此,定義保險公司的盈余過程為

其中u為初始盈余,c為保險費收入率.

為保障巨額損失,保險公司對業(yè)務l安排t時刻自留風險水平為flt的再保險策略,如下部分由再保險公司承擔.對flt,按照常規(guī),約定0≤flt(x)≤x且在(0,∞)上單調遞增,l=1,2,···,m.設分保費按照方差保費原則計算,安全負載為θ＞0,則原保險公司t時刻的凈保費收入率為

注1對于直接保險,僅假定保險費率為常數c,而未限定計算原理.但根據安全負載條件,應滿足c＞E[St],否則保險公司必然以概率1破產.同時,再保險一般更為昂貴,也就是要求c＜E[St]+θvar[St],否則保險公司可以安排全額再保險,不承擔任何風險而獲得收益.

對任意給定再保險策略π,記τπ為盈余過程Uπ(t)關于0的首中時,也就是

則破產概率定義為

本文的目標就是要通過選擇再保險策略π以使得破產概率最小,即求解最優(yōu)策略π?=使得

在相依多險種跳躍風險過程St框架下,破產概率ψπ(u)的顯式表達式一般無法獲得,所以要獲得最小化破產概率的精確再保險策略是非常困難的.為使問題可處理并獲得顯式解,采用擴散逼近形式.

記分布函數Fl(x)對應的一階矩和二階矩分別為類似 Yuen et al.[15]的討論知,在再保險策略π的安排下,保險公司實際盈余過程Uπ(t)的擴散逼近為

§3 最優(yōu)再保險策略

由于采用的是方差分保費原則,根據Hipp&Taksar[2]命題7,此時的最優(yōu)再保險形式應為比例再保險.下面求解各業(yè)務的最優(yōu)自留風險比例.

假設在t時刻對業(yè)務l安排再保險比例1?ql(t),即自留風險比例為ql(t),0≤ql(t)≤1,l=1,2,···,m.在式(1)中令flt(x)=ql(t)x,l=1,2,···,m,則再保險策略(q1(t),q2(t),···,qm(t))下的盈余過程bUπ(t)滿足隨機微分方程

為解決上述問題,利用動態(tài)規(guī)劃方法[16,13].通過標準論證可知,如果值函數ψ(u)在(0,∞)上二次連續(xù)可微,則ψ(u)滿足HJB方程

和邊界條件

進一步,利用 Fleming&Soner[16](第Ⅳ.5部分)的一般方法,可得如下驗證定理,說明由HJB方程(4)的二次連續(xù)可微解即可得到優(yōu)化問題(3)的解.

定理3.1設v(u)為上述HJB方程(4)的解且二次連續(xù)可微,則ψ(u)即為v(u).并且,如果對所有的u＞0,

根據驗證定理3.1,如果能找到滿足HJB方程(4)的一個二次連續(xù)可微解v,也就得到了值函數ψ.為此,設v(u)為二次連續(xù)可微的凸函數且滿足v′(u)＜0,同時定義

則方程組(7)又可表示為矩陣形式

其中T表示轉置.

由Yuen et al.[15]引理4.1的證明知A正定,所以可逆.因此,解得

進一步,計算gv(q1,q2,···,qm)的二階偏導數,有

由此,可得Hessian矩陣

因為v′′(u)?2θv′(u)＞0,所以Hessian矩陣B在點也是正定的.因此,q?必然為gv(q1,q2,···,qm) 的最小值點.

注意到AI= η,其中IT=(1,1,···,1)1×m,所以ηTA?1=IT.將此代入方程組(8),有

由注1易知q?∈ (0,1),所以由驗證定理3.1知π?=(q?,q?,···,q?)即為最優(yōu)再保險策略.

據此微分方程以及邊界條件(5),不難解得

易見v(u)為二次連續(xù)可微的凸函數且滿足v′(u)＜0.于是,由驗證定理3.1知值函數ψ(u)=v(u).

最后,為總結上述討論,給出如下定理.

定理3.2優(yōu)化問題(3)的值函數為

最優(yōu)策略為π?=(q?,q?,···,q?),其中q?由式(9)確定.

注2定理3.2是在最小化破產概率的優(yōu)化準則下得到的,與最大化期望指數效用準則下的最優(yōu)策略(見Liang&Yuen[14]定理4.1和 Yuen et al.[15]式(6.3))比較,發(fā)現既有共同之處,也存在明顯的差異.首先,m類業(yè)務的再保險策略相等,這一點是共同的.不同的是,后者的最優(yōu)策略相對簡單,與直接保險的保費收入率、索賠分布以及計數過程諸因素無關,而由式(9)可知,前者的最優(yōu)策略相對復雜,并且與上述因素均相關.可見,最小化破產概率是一種非常內在的客觀標準,所得結果更符合保險實際.

§4 示例分析

本部分根據定理3.2具體示例,給出數值結果并分析相依參數λ和直接保險費收入率c對最優(yōu)策略和值函數的動態(tài)影響.

假定保險公司擁有初始儲備金u=4,經營兩種類型的保險業(yè)務.業(yè)務1的索賠額變量X(1)服從參數為2的指數分布,業(yè)務2的索賠額變量X(2)服從參數為(1,3)的Gamma分布.設定λ1=3,λ2=4,直接保險費按照期望值原則收取,安全負載為0.15,再保險費按照方差原則計算,安全負載0.4.固定上述參數,下面分析參數λ和c的動態(tài)影響.

首先,設相依參數λ∈[0,3],得最優(yōu)自留風險風險水平q?關于λ的變化趨勢如圖1所示,最小破產概率ψ(u)如圖2所示.然后,固定λ=1并根據注1限定c∈(3.67,5.04),可得最優(yōu)策略q?關于c的變化趨勢如圖3所示,值函數ψ(u)如圖4所示.

圖1 相依參數λ對q?的動態(tài)影響

圖3 收入率c對q?的動態(tài)影響

圖2 相依參數λ對ψ(u)的動態(tài)影響

圖4 收入率c對ψ(u)的動態(tài)影響

從圖1和圖2可以看出,最優(yōu)自留風險水平關于相依參數λ單調遞增,同時破產概率上升.實際上,由于直接保險采用期望值原則,未考慮相依風險部分,而再保險采用方差原則,包含了相依風險的再保險費,所以保險公司選擇更多自留風險的策略是合理的,否則由于再保險更為昂貴,會導致更多的期望損失.注意,這與Bai et al.[13]均在期望值原則下所得結果有所不同,因為那里超額賠款再保險的最優(yōu)自留風險限額是先減后增的.可見,采用不同形式的分保費原則,不僅最優(yōu)再保險形式不同,對最優(yōu)自留風險也會產生直接影響.

觀察圖3和圖4發(fā)現,最優(yōu)自留風險水平關于直接保險的保費收入率c直線下降,破產概率也迅速遞減.這說明最小化破產概率的優(yōu)化準則下,若混合采用期望值保費原則和方差分保費原則,最優(yōu)再保險策略與保費收入率c有關,且非常敏感.Bai et al.[13]均采用期望值保費原則所得出的最優(yōu)策略(定理4.1)也表明了二者的相關性.然而,在最大化期望指數效用的優(yōu)化準則下,不論是對跳躍風險模型還是對擴散逼近模型,也不論直接保險費采取何種計算方式,最優(yōu)策略都與c無關(詳見Liang&Yuen[14]定理3.1和4.1及Yuen et al.[15]定理3.1和4.1).這直觀說明了最小化破產概率這一優(yōu)化標準的內在客觀性.需要指出的一個特殊情形是,如果這里的直接保險也采用類似的方差原則且安全負載為η＜θ,則最優(yōu)再保險策略退化為1?η/θ,與c無關.

§5 結論

本文采用相依多險種模型刻畫保險公司的索賠風險過程,按照方差原則計算再保險費.通過擴散逼近,指出了比例再保險形式可最小化破產概率,并在不限定直接保險費計算方式的條件下,利用動態(tài)規(guī)劃原理得到了最優(yōu)再保險比例和最小破產概率的解析表達式.特別的,混合采用期望值保費原則和方差分保費原則,結合數值案例與期望值分保費原則比較,發(fā)現方差原則分保費下,再保險費包含相依風險部分,最優(yōu)再保險形式為比例再保險,最優(yōu)比例隨相依強度的上升而增大;而期望值分保費原則下,再保險費不含相依風險部分,最優(yōu)再保險形式為超額賠款再保險,最優(yōu)限額隨相依強度的上升而先減后增.可見,分保費計算方式對最優(yōu)再保險形式和自留風險均產生直接影響.進一步,結合數值案例與最大化期望指數效用的最優(yōu)策略比較,發(fā)現最小化破產概率的最優(yōu)策略,不僅與安全負載、索賠分布、索賠計數過程都相關,還與直接保險的保費收入率c也有著非常敏感的關聯性.這些可為保險公司優(yōu)化再保險決策提供一些啟示與參考.

[1] Schmidli H.Optimal proportional reinsurance policies in a dynamic setting[J].Scandinavian Actuarial Journal,2001,2001(1):55-68.

[2] Hipp C,Taksar M.Optimal non-proportional reinsurance control[J].Insurance:Mathematics and Economics,2010,47(2):246-254.

[3] Cao Yusong,Zeng Xianquan.Optimal proportional reinsurance and investment with minimum probability of ruin[J].Applied Mathematics and Computation,2012,218(9):5433-5438.

[4] 張茂軍,南江霞,夏尊銓.再保險與有限時間破產概率[J].高校應用數學學報,2007,22(4):411-415.

[5] Kaluszka M.Mean-variance optimal reinsurance arrangements[J].Scandinavian Actuarial Journal,2004,2004(1):28-41.

[6] Cai Jun,Tan Kenseng,Weng Chengguo,et al.Optimal reinsurance under VaR and CTE risk measures[J].Insurance:Mathematics and Economics,2008,43(1):185-196.

[7] Chi Yichun.Optimal reinsurance under variance related premium principles[J].Insurance:Mathematics and Economics,2012,51(2):310-321.

[8] Bai Lihua,Guo Junyi.Optimal proportional reinsurance and investment with multiple risky assets and no-shorting constraint[J].Insurance:Mathematics and Economics,2008,42(3):968-975.

[9] 林祥,李艷方.跳-擴散風險模型的最優(yōu)投資和再保險策略[J].應用數學學報,2013,36(5):791-802.

[10]Hald M,Schmidli H.On the maximization of the adjustment coefficient under proportional reinsurance[J].ASTIN Bulletin,2004,34(1):75-83.

[11]Liang Zhibin,Guo Junyi.Optimal proportional reinsurance and ruin probability[J].Stochastic Models,2007,23(2):333-350.

[12]Centeno M.Dependent risks and excess of loss reinsurance[J].Insurance:Mathematics and Economics,2005,37(2):229-238.

[13]Bai Lihua,Cai Jun,Zhou Ming.Optimal reinsurance policies for an insurer with a bivariate reserve risk process in a dynamic setting[J].Insurance:Mathematics and Economics,2013,53(3):664-670.

[14]Liang Zhibin,Yuen K C.Optimal dynamic reinsurance with dependent risks:variance premium principle[J].Scandinavian Actuarial Journal,2014,DOI:10.1080/03461238.2014.892899.

[15]Yuen K C,Liang Zhibin,Zhou Ming.Optimal proportional reinsurance with common shock dependence[J].Insurance:Mathematics and Economics,2015,64(1):1-13.

[16]Fleming W H,Soner H M.Controlled Markov processes and viscosity solutions[M].second ed.New York:Springer Science&Business Media,2006.

Optimal reinsurance of a dependent mulit-type risk model under variance reinsurance premium principle

ZHANG Jie-song1,2,XIAO Qing-xian1
(1.Business School,University of Shanghai for Science and Technology,Shanghai 200093,China;2.School of Management,Huaibei Normal University,Huaibei 235000,China)

In this paper,the optimal reinsurance strategy is considered to minimize the ruin probability of a risk model with multiple dependent classes of insurance under variance reinsurance premium principle.Through di ff usion approximation of the claim risk process and by applying the dynamic programming approach,explicit expressions of the optimal strategy and the value function are obtained.Moreover,by comparing to the results obtained under the expected value reinsurance premium principle,it is found that the optimal reinsurance form and the retention risk level are both di ff erent.By comparing to the results which maximize expected exponential utility,it is found that the optimal reinsurance proportion here depends not only on safety loading,but also on the claim distribution,the counting process and the premium rate of insurance c.Finally,combining with numerical example,dynamic impact of the dependence parameter is demonstrated and sensitive correlation between the optimal strategy and c is illustrated.

variance reinsurance premium;dependent multi-type risk model;optimal reinsurance;ruin probability

60G35;93E20

O211.6;F840

A

:1000-4424(2016)03-0253-09

2015-09-28

2016-04-17

國家自然科學基金(11171221);安徽省自然科學基金(1608085QG169);安徽省高校優(yōu)秀青年人才支持計劃重點項目(gxyqZD2016104)