孔祥強

（菏澤學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山東 菏澤 274015）

矩陣的半正定因子及次酉極因子的擾動界

孔祥強

（菏澤學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山東 菏澤 274015）

在矩陣的擾動分析中，廣義極分解和奇異值分解占有非常重要的地位。對矩陣進(jìn)行廣義極分解，得到半正定因子和次酉極因子。利用矩陣的奇異值分解和廣義極分解，得到了范數(shù)意義下矩陣的半正定因子和次酉極因子的擾動界，且擾動界是以恒等式的形式給出。

半正定因子；次酉極因子；擾動；廣義極分解

矩陣廣義極分解中因子的擾動問題是矩陣擾動的重要研究對象。很多學(xué)者給出了半正定因子和次酉極因子的擾動界，見文［5］、［6］、［7］，這些擾動界都是以不等式的形式給出的。文章從矩陣分解的角度出發(fā)，給出了半正定因子及次酉極因子的等式形式的擾動界。

1 幾個定義和引理

定義1［1］若矩陣A∈Cn×n，滿足AHA=I，則稱A為酉矩陣。

定義2［2］若矩陣A∈Cm×n，且滿足Ax2=x2，則稱A為次酉矩陣。

定義3［2］若矩陣A∈Cm×n，且有分解A=QH，若Q∈Cm×n為酉矩陣，H∈Cn×n為半正定矩陣，稱該分解為矩陣A的極分解；若Q∈Cm×n為次酉矩陣，H∈Cn×n為半正定矩陣，稱該分解為矩陣A的廣義極分解。

定義4［3］設(shè)A=(a)∈Cm×n，令A(yù)=∑|a|2，稱它為矩陣A的F-范數(shù)。令A(yù)=λ(AHA)，稱它為矩陣A的2-范數(shù)或譜范數(shù)。

引理1［4］設(shè)矩陣A∈Cm×n，且A=QH，若滿足條件R(QH)=R(H)，則A的廣義極分解因子Q和H是唯一確定的。

2 主要結(jié)論

證明 A的奇異值分解為

其中

記T?A-A，則

兩邊取共軛轉(zhuǎn)置得

式（2）兩邊同時左乘N～H1，右乘M1，得

式（1）兩邊同時左乘M～H1，右乘N1，得

式（1）兩邊同時左乘M～H1，右乘N2，得

式（1）兩邊同時左乘M2H，右乘N～1，得

上式兩邊左乘M～2H，右乘N1，得

由式（1）得

由式（5）知

由式（8）知

又

式（3）兩邊同時取共軛轉(zhuǎn)置得

式（4）兩邊同時取共軛轉(zhuǎn)置得

將式（12）、式（13）代入式（11）中，得

故

則

即

所以

由式（9）、式（10）、式（14）知

推論1當(dāng)r=n

定理2條件同定理1，Q～-Q?ΔQ，則

由式（6）得

由式（8）得

故

由式（3）、式（4）得

式（17）+式（18）得

故

所以

則

由式（15）、式（16）、式（19）知

推論2當(dāng)r=n

3 結(jié)束語

文章討論了矩陣廣義極分解意義下因子的擾動界問題，在先前學(xué)者給出不等式擾動界的基礎(chǔ)上，利用矩陣的分解和矩陣的計算，得到了半正定因子的擾動界等式和次酉極因子的擾動界等式。

［1］蔣正新，施國梁.矩陣?yán)碚摷捌鋺?yīng)用［M］.北京：北京航空學(xué)院出版社，1998：95-99.

［2］孫繼廣，陳春暉.廣義極分解［J］.計算數(shù)學(xué)，1989，11（3）：262-273.

［3］孫繼廣.矩陣擾動分析［M］.北京：科學(xué)出版社，2001：10-226.

［4］Ben-Israel A.，Greville T..Generalized Inverses：Theory and Applications［M］.New York，1974：252.

［5］ArakiH.，YamagamiS.An inequality for Hilbert-SchmidtNorm［J］.Comn.Math.Phys.，1981，81（1）：89-96.

［6］劉新國.Sylvester方程在矩陣擾動分析中的應(yīng)用［J］.計算數(shù)學(xué)，1992，14（3）：266-273.

［7］X Chen，W.Li.Variations for the Q-and H-factors in the Polar Decomposition［J］.Calcolo，2008，45（1）：99-109.

Perturbation Bounds for the Semi-definite Factors and Subunitary Polar Factors

KONG Xiang-qiang
（DepartmentofM athematics,Heze University,Heze,Shandong,274015,China）

The generalized polar decomposition and singular value decomposition play a very important role in the analysis of the perturbation of thematrix.The positive semidefinite factor and the sub unitary polar factor are obtained through the generalized polar decomposition of thematrix.By using the singular value decomposition and the generalized polar decomposition ofmatrix,obtained the perturbation bounds for the semi-definite factor and the subunitary polar factor in the sense of F-norm,and the perturbation boundsare given in the form of the identities.

Semi-definite factor；Subunitary polar factor；Perturbation；Generalized polardecomposition

O241.6

A

1008-9659（2016）02-0063-04

2016-02-24

2015年山東省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃“高等教育數(shù)學(xué)教學(xué)專項”重點資助項目（ZBS15004）；2015年菏澤學(xué)院教學(xué)改革重點課題項目（201510）。

孔祥強（1983-），男，山東菏澤人，講師，碩士研究生，主要從事應(yīng)用數(shù)學(xué)方向研究。