董興朋，滕吉文，馬學(xué)英，宋鵬漢

1 中國(guó)科學(xué)院地質(zhì)與地球物理研究所，北京　100029　2　中國(guó)科學(xué)院大學(xué)，北京　100049

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二階Born近似有限頻率走時(shí)敏感核

董興朋1,2，滕吉文1，馬學(xué)英1,2，宋鵬漢1,2

1 中國(guó)科學(xué)院地質(zhì)與地球物理研究所，北京1000292中國(guó)科學(xué)院大學(xué)，北京100049

摘要有限頻率層析成像考慮了非均勻介質(zhì)中波的散射、衍射、波前愈合等物理性質(zhì)，使得其對(duì)速度異常體的分辨能力遠(yuǎn)大于射線層析成像.推導(dǎo)和計(jì)算有限頻率敏感核是進(jìn)行有限頻率層析成像的關(guān)鍵，當(dāng)前推導(dǎo)有限頻率敏感核多借助一階Born近似，但這只適用于弱散射介質(zhì)的情況.本文基于二階Born近似并利用傅里葉變換推導(dǎo)了三維均勻介質(zhì)情況下有限頻率敏感核的解析表達(dá)式，并將其推廣到非均勻介質(zhì)中得到了三維非均勻介質(zhì)中有限頻率敏感核.研究表明：當(dāng)介質(zhì)中速度擾動(dòng)小于2% 時(shí)，基于二階Born近似的有限頻率敏感核與基于一階Born近似的有限頻率敏感核差別很小，可近似認(rèn)為相同；當(dāng)介質(zhì)中速度擾動(dòng)大于5%時(shí)，基于二階Born近似的有限頻率敏感核與基于一階Born近似的有限頻率敏感核有較大不同，表明此時(shí)已不能忽略二次散射.

關(guān)鍵詞二階Born近似；有限頻理論；Fréchet敏感核；波前愈合

1引言

地震層析成像是地球內(nèi)部物理學(xué)發(fā)展的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，是研究地球內(nèi)部非均勻結(jié)構(gòu)和動(dòng)力學(xué)過程的最重要工具.20世紀(jì)70年代以來,基于射線理論的地震層析成像發(fā)展迅速，加深了人們對(duì)地球內(nèi)部結(jié)構(gòu)的認(rèn)識(shí)(Aki and Lee，1976)，取得了一系列重大發(fā)現(xiàn)，如發(fā)現(xiàn)活火山前緣的低速體及對(duì)俯沖板塊邊界清晰成像等(Zhao et al.,1994；Bijwaard et al.,1998；Huang and Zhao,2006；Li et al.,2008).然而，傳統(tǒng)的地震層析成像基于射線理論，假定地震波為無限高頻，射線軌跡則依據(jù)費(fèi)馬最小走時(shí)原理，臺(tái)站接收到的地震波走時(shí)差異只與射線路徑上的速度結(jié)構(gòu)有關(guān),忽略了射線路徑以外結(jié)構(gòu)的影響，因而無法對(duì)非均勻性很強(qiáng)的復(fù)雜地質(zhì)構(gòu)造進(jìn)行成像(Rawlinson et al.,2010).

波前愈合效應(yīng)的發(fā)現(xiàn)使得全球?qū)游龀上駨幕谏渚€理論向基于有限頻率理論過渡(Liu and Tromp，2008).圖1為射線理論與有限頻理論對(duì)比卡通圖.對(duì)于有限頻率的地震波，射線路徑上異常體引起的波前異常，會(huì)逐漸向射線路徑旁邊擴(kuò)散，故使波前異常越來越不明顯(江燕和陳曉非,2011).波前愈合造成初至波的幅度越來越小，直至堙沒在噪聲中，這就造成了從波形上讀取初至走時(shí)的誤差.有限頻率層析成像的關(guān)鍵是計(jì)算“有限頻率”敏感核，或者稱之為“Fréchet”敏感核，獲得有限頻率敏感核的途徑很多，包括面波格林函數(shù)法(Marquering et al.,1999)、體波射線理論(又稱為香蕉-甜甜圈理論)(Dahlen et al.,2000；Hung et al.,2000)、面波射線理論(Zhou et al.,2004)、簡(jiǎn)正波理論(Zhao et al.,2000；Zhao et al.,2005)、伴隨波場(chǎng)理論等(Montelli et al.,2004；Tromp et al.,2005).

考慮到射線理論忽略了地震波頻率對(duì)速度結(jié)構(gòu)不同的解析能力，Woodward于20世紀(jì)90年代重新改寫了不同頻率的單頻波走時(shí)異常與空間速度場(chǎng)變化的關(guān)系.90年代末，Marquering等基于Born近似理論提出了地震波三維有限頻理論.2000年，Dahlen和Zhao兩個(gè)研究組分別創(chuàng)建了球?qū)ΨQ初始介質(zhì)中的三維體波有限頻走時(shí)kernel理論體系.Dahlen等(2000)使用WKBJ近似求得球?qū)ΨQ初始介質(zhì)中的格林函數(shù)和波場(chǎng)，它需要遠(yuǎn)場(chǎng)條件，并要求射線路徑遠(yuǎn)離速度界面.在實(shí)際應(yīng)用中，它還需要追蹤出中心射線，才能用旁軸近似方法在射線中心坐標(biāo)系中求出中心射線外的kernel值，所以不是嚴(yán)格的波動(dòng)方程層析成像，或許稱之為“射線有限頻”理論更恰當(dāng)(江燕和陳曉非,2011).Zhao等(2000)用normal model理論計(jì)算的體波波場(chǎng)在球?qū)ΨQ初始介質(zhì)中嚴(yán)格符合波動(dòng)方程，故在速度界面附近更精確.

基于Born近似推導(dǎo)的有限頻率敏感核在有限頻理論中占有重要地位，但基于一階 Born近似與相關(guān)走時(shí)一階近似相結(jié)合的有限頻率線性走時(shí)理論允許的最大速度擾動(dòng)為10%，對(duì)于速度變化劇烈的區(qū)域無能為力(Mercerat and Nolet，2013; 江燕和陳曉非,2014).因而作者推導(dǎo)了基于二階Born近似的有限頻率敏感核，使得其能夠適用于速度變化劇烈的區(qū)域，目前國(guó)內(nèi)外尚未有基于二階Born近似推導(dǎo)的有限頻率敏感核的論文發(fā)表.

隨著有限頻理論的不斷發(fā)展，有限頻層析成像逐漸應(yīng)用于研究多尺度的地球內(nèi)部結(jié)構(gòu)問題(Hung et al.,2005；Zhou et al.,2005; Gautier et al.,2008).國(guó)內(nèi)研究人員也進(jìn)行了一些有限頻率層析成像的相關(guān)研究，但總體上還處于起步階段(劉玉柱等,2009；楊峰等,2010；魯來玉等，2011; 童平,2012).我國(guó)地質(zhì)構(gòu)造復(fù)雜，多旋回的構(gòu)造背景和“塊帶鑲嵌、多層疊覆”的構(gòu)造特征使得我們需要相比于射線層析成像分辨率更高的有限頻層析成像方法對(duì)深部構(gòu)造進(jìn)行精確刻畫，故有限頻層析成像在我國(guó)有著廣闊的應(yīng)用前景.

圖1　有限頻率敏感核與射線理論爭(zhēng)論的焦點(diǎn)在于全球尺度層析成像中的分辨率的提升(Liu and Gu，2012)

2基于一階Born近似的有限頻敏感核

對(duì)于速度為c的P波或S波，走時(shí)延遲的Fréchet敏感核定義為走時(shí)延遲δT與速度擾動(dòng)δc之間的線性積分關(guān)系(Tong et al.,2011)：

(1)

其中，下標(biāo)s，r和q分別代表震源、臺(tái)站和地震波傳播過程中經(jīng)過的介質(zhì)中某點(diǎn)，Kc(rq;rr;rs)是點(diǎn)rq處的Fréchet敏感核，積分區(qū)域是整個(gè)地球體積⊕.

地震波在均勻介質(zhì)中傳播，滿足頻率域的聲波方程，對(duì)于震源以外的區(qū)域：

(2)

假定入射波場(chǎng)是平面波形式：

(3)

+ω2(u0(r,ω)+δu(r,ω))=0.

(4)

將方程(4)減去方程(2)并基于一階Born近似略去二階小量，得到散射場(chǎng)δu(r,ω)滿足如下方程：

(5)

(6)

方程(6)有著如下形式的積分解：

(7)

其中，G0(r,ω;r′)為無擾動(dòng)速度場(chǎng)c0中r′點(diǎn)在臺(tái)站的格林函數(shù)，利用Rytov近似并結(jié)合方程(1)，最終得到常速度模型中有限頻率走時(shí)敏感核的解析表達(dá)式(Tsr，Tsq和Tqr分別表示震源至臺(tái)站、震源至散射點(diǎn)和散射點(diǎn)至臺(tái)站的走時(shí))(童平,2012)：

K(ω,rq;rr;rs)=

(8)

圖2為有限頻率走時(shí)敏感核空間分布示意圖，震源坐標(biāo)(5km，5km)，接收點(diǎn)坐標(biāo)(15km，45km)，地震波主頻1Hz，介質(zhì)速度5km·s-1.

圖2　有限頻走時(shí)敏感核分布圖五角星代表震源，三角形代表臺(tái)站

3二階Born近似有限頻敏感核解析式

3.1Born散射序列

在彈性介質(zhì)中，聲波方程的總波場(chǎng)可以用以下形式表示：

u(rg,ω;rs)=u0(rg,ω;rs)+us(rg,ω;rs)

×u(rq,ω;rs)d3rq.

(9)

=u0(rg,ω;rs)+u1(rg,ω;rs)+u2(rg,ω;rs)+…

(10)

Born序列中第一項(xiàng)表示在背景介質(zhì)中從源點(diǎn)到接收點(diǎn)傳播的直達(dá)波場(chǎng)；第二項(xiàng)是積分形式，表示所有一次散射的地震散射波場(chǎng)疊加(rs→rq→rg)，即通常所用到的一階Born近似中的擾動(dòng)場(chǎng)；第三項(xiàng)表示二次散射的地震波場(chǎng)疊加(rs→rq′→rq→rg)，依此類推(注：此處二次散射是指經(jīng)過了兩個(gè)散射點(diǎn)的散射，并非直接由震源經(jīng)第二散射點(diǎn)至臺(tái)站的散射，與方程(10)中右邊第三項(xiàng)相對(duì)應(yīng)，本文中二次散射皆為此意)，圖3為兩次散射示意圖.

圖3　兩次散射地震波傳播示意圖(震源s，臺(tái)站g)

3.2二階Born散射的總散射場(chǎng)

當(dāng)前有限頻層析成像中，F(xiàn)réchet敏感核的推導(dǎo)大都借助一階Born近似，但這只適用于弱散射介質(zhì)的情況，無法對(duì)速度擾動(dòng)較大的介質(zhì)進(jìn)行準(zhǔn)確成像.下面基于二階Born散射推導(dǎo)均勻介質(zhì)中Fréchet敏感核的解析表達(dá)式，并將其推廣到非均勻介質(zhì)中.

由方程(10)可知：

(11)

令：

×u0(rq′,ω;rs)d3rq′.

(12)

考慮背景場(chǎng)為均勻介質(zhì)、脈沖點(diǎn)源激發(fā)這一特殊情況，三維均勻介質(zhì)中，格林函數(shù)具有解析表達(dá)式：

(13)

將方程(13)代入方程(12)得

u21(rq,ω;rs)=

注意到方程(14)有一個(gè)關(guān)鍵量ω2，它代表了時(shí)間域的二階微商.方程(14)是振蕩積分，直接求解比較困難，我們利用傅里葉變換將其轉(zhuǎn)換到時(shí)間域：

u21(rq,t;rs)=

(15)

此處δ(t)是Dirac-delta函數(shù)，且

(16)

對(duì)于走時(shí)t>Tsg，定義散射體積Vt為0≤Δt≤t-Tsg，根據(jù)Zhao等(2005)，散射體Vt的橫截面可以寫為

(17)

式中，mconst是單位為 km·s-1的單位量，為的是使方程(17)兩邊單位一致.假定擾動(dòng)能夠延伸并且光滑，我們可以取Δ(rq′)=Δ(l)，因而方程(15)可以重寫為走時(shí)和射線長(zhǎng)度的積分：

(18)

(19)

將式(19)代入方程(18)中得：

(20)

對(duì)(20)式利用傅里葉變換，轉(zhuǎn)換到頻率域：

(21)

聯(lián)合方程(11)、(21)，得出二次散射場(chǎng)：

×u21(rq,ω;rs)d3rq.

(22)

最終，總散射場(chǎng)δu(rg,ω;rs)：

δu(rg,ω;rs)=u1(rg,ω;rs)+u2(rg,ω;rs)

(23)

3.3二階Born近似Fréchet敏感核

根據(jù)Rytov近似，走時(shí)擾動(dòng)ΔT與散射場(chǎng)之間關(guān)系如下(Snieder and Lomax,1996；Spetzler and Snieder,2001)：

(24)

將方程(23)代入方程(24)，并根據(jù)方程(1)可得：

(25)

(26)

二階Born近似 Fréchet敏感核可以看成一次散射的Fréchet敏感核和二次散射的Fréchet敏感核相加(注：此處的二次散射是指兩個(gè)散射點(diǎn)，與之類似是三個(gè)散射點(diǎn)的三次散射、四個(gè)散射點(diǎn)的四次散射等，因?yàn)楸疚氖腔诙ABorn近似，故高于二次散射的情況暫不考慮)，即：K(ω,rq;rg,rs)=K1(ω,rq;rg,rs)+K2(ω,rq;rg,rs).

(27)

(28)

K2(ω,rq;rg,rs)=

(29)

方程(26)、(29)中得到的有限頻率敏感核中包含平均速度擾動(dòng)項(xiàng)，這與基于一階Born近似或其他方法得到的敏感核不同.推導(dǎo)有限頻率敏感核的目的就在于其與模型參數(shù)(如速度等)的分離，以便進(jìn)行反演.實(shí)際上，方程(26)和(29)中的平均速度擾動(dòng)項(xiàng)并非變量，而是一個(gè)常數(shù).在進(jìn)行二階Born近似有限頻率反演時(shí)，可以根據(jù)研究區(qū)域之前的地球物理研究結(jié)果(如基于射線理論的層析成像結(jié)果等)，預(yù)估平均速度擾動(dòng)項(xiàng)的初值，而后在反演迭代的過程中根據(jù)上一次的迭代結(jié)果求出平均速度擾動(dòng)值，然后進(jìn)行下一次迭代.

二階Born近似Fréchet敏感核(方程(26))只適用于均勻介質(zhì)的情況，這極大地限制了它的實(shí)際應(yīng)用，因?yàn)榈厍騼?nèi)部速度變化的是空間坐標(biāo)的函數(shù).因而需要對(duì)二階Born近似Fréchet敏感核(方程(26))做適當(dāng)?shù)难油夭拍軕?yīng)用到實(shí)際的地震層析成像中.假設(shè)背景速度c0(rq)具有三維變化時(shí)，方程(26)依然成立，則三維非均勻介質(zhì)中二階Born近似Fréchet敏感核解析表達(dá)式如下：K(ω,rq;rg,rs)=

(30)

在介質(zhì)速度變化平緩的情況下，用c0(rq)近似替代c0是可行的，方程(30)是由均勻介質(zhì)中的解析表達(dá)式延拓而來，其在非均勻介質(zhì)中的準(zhǔn)確性還需要實(shí)際的反演成像結(jié)果驗(yàn)證.

4二階Born近似與一階Born近似的Fréchet敏感核對(duì)比

4.1Fréchet敏感核空間分布對(duì)比

本文推導(dǎo)了基于二階Born近似的走時(shí)延遲有限頻率敏感核，并指出其為一次散射的Fréchet敏感核和兩次散射的Fréchet敏感核之和.為了便于闡述，現(xiàn)將二階Born近似走時(shí)Fréchet敏感核、一次散射的走時(shí)Fréchet敏感核和二次散射的走時(shí)Fréchet敏感核分別簡(jiǎn)寫為總Fréchet敏感核、一次Fréchet敏感核和二次Fréchet敏感核.

(1) 當(dāng)平均速度擾動(dòng)為1% 時(shí)(圖4)，二次Fréchet敏感核總體上很微弱，只是在接收點(diǎn)附近出現(xiàn)極值.二次Fréchet敏感核與一次Fréchet敏感核一個(gè)很大的區(qū)別是二次Fréchet敏感核在震源至接收點(diǎn)的射線路徑上取值并不為0，它不是中空的.總Fréchet敏感核同一次Fréchet敏感核差別很小，可近似認(rèn)為二者相同.

(2) 當(dāng)平均速度擾動(dòng)為2% 時(shí)(圖5)，二次Fréchet敏感核依舊微弱，但相比于圖4中的二次Fréchet敏感核較強(qiáng)，接收點(diǎn)處出現(xiàn)極值的范圍亦大于圖4.總Fréchet敏感核同一次Fréchet敏感核相比并非中空，兩者已經(jīng)有明顯不同.

(3) 當(dāng)平均速度擾動(dòng)為5% 時(shí)(圖6)，二次Fréchet敏感核已經(jīng)較強(qiáng)，出現(xiàn)極值的范圍已經(jīng)很大，總Fréchet敏感核與一次Fréchet敏感核差別很大，即表明此時(shí)已經(jīng)不能忽略二次散射的地震波.

(4) 當(dāng)平均速度擾動(dòng)為10% 時(shí)(圖7)，二次Fréchet敏感核已經(jīng)很強(qiáng)，二次Fréchet敏感核的空間的積分值已經(jīng)接近一次Fréchet敏感核的空間積分值，表明此時(shí)二次散射地震波的總能量已經(jīng)接近一次散射地震波的總能量.總Fréchet敏感核同一次Fréchet敏感核已經(jīng)完全不同.

圖4　平均速度擾動(dòng)1%時(shí)Fréchet敏感核空間分布對(duì)比(a) 一次Fréchet敏感核; (b) 二次Fréchet敏感核; (c) 總Fréchet敏感核.地震波主頻1 Hz，介質(zhì)速度5 km·s-1，震源坐標(biāo)(5 km,0 km),接收點(diǎn)坐標(biāo)(15 km,45 km).

圖5　平均速度擾動(dòng)2% 時(shí)Fréchet敏感核空間分布對(duì)比圖注說明同圖4.

圖6　平均速度擾動(dòng)5%時(shí)Fréchet敏感核空間分布對(duì)比圖注說明同圖4.

圖7　平均速度擾動(dòng)10%時(shí)Fréchet敏感核空間分布對(duì)比圖注說明同圖4.

4.2Fréchet敏感核數(shù)值對(duì)比

為了更深入地認(rèn)識(shí)二階Born近似與一階Born近似的Fréchet敏感核差別，對(duì)總Frchet敏感核、一次Fréchet敏感核和二次Fréchet敏感核進(jìn)行數(shù)量值對(duì)比.定義誤差函數(shù)ξ和η：

(31)

(32)

式中K，K1和K2分別表示總Frchet敏感核、一次Fréchet敏感核和二次Fréchet敏感核，積分項(xiàng)中v表示整個(gè)研究區(qū)域.誤差函數(shù)ξ和η分別表征研究區(qū)域中每一點(diǎn)處和整個(gè)研究區(qū)域中二階Born近似與一階Born近似的Fréchet敏感核的差別.

圖8—11(僅以橫坐標(biāo)X=25 km為例計(jì)算了誤差函數(shù)，其余各處計(jì)算結(jié)果與此類似，故不一一列出)可以看出，誤差函數(shù)ξ和η隨平均速度擾動(dòng)的增加而增加.在平均速度擾動(dòng)為1%時(shí)，η=0.077，并且ξ只在很小的范圍內(nèi)有較小的值，說明此時(shí)可以忽略二次散射；平均速度擾動(dòng)為2%時(shí)，η值為0.15，此時(shí)已經(jīng)不能忽略二次散射；而當(dāng)平均速度擾動(dòng)為5%時(shí)，η=0.38，ξ在較大范圍內(nèi)有較大的值，且由η值也可以看出此時(shí)二次散射與一次散射地震波的比值在1/3左右，表明此時(shí)已經(jīng)不能忽略二次散射；平均速度擾動(dòng)為10%時(shí)，η=0.77，二次散射地震波造成的走時(shí)異常與一次散射地震波已經(jīng)很接近.

江燕和陳曉非 (2014)使用數(shù)值方法統(tǒng)計(jì)分析了Born近似相關(guān)走時(shí)誤差，目標(biāo)模型為高斯型三維隨機(jī)介質(zhì).結(jié)果表明(見圖12)，當(dāng)最大速度擾動(dòng)不超過1%時(shí)，Born近似相關(guān)走時(shí)誤差可以忽略不計(jì)，當(dāng)速度擾動(dòng)超過2%時(shí)，Born近似相關(guān)走時(shí)誤差較大，已不能忽略.本文的研究結(jié)果與其相一致.雖然一階Born近似可適用的速度擾動(dòng)很小，但將一階Born近似與相關(guān)走時(shí)一階近似相結(jié)合獲得的有限 頻率線性走時(shí)理論卻適用于速度擾動(dòng)小于10%的情況，具體解釋參見文獻(xiàn)江燕和陳曉非(2014)、 Mercerat等(2013).

圖8　平均速度擾動(dòng)1% 時(shí)Fréchet敏感核沿橫坐標(biāo)X=25 km處對(duì)比及誤差函數(shù)(a) 一次Fréchet敏感核； (b) 二次Fréchet敏感核; (c) 總Fréchet敏感核; (d) 誤差函數(shù)ξ分布.震源坐標(biāo)(5 km,0 km)、接收點(diǎn)坐標(biāo)(15 km,45 km); 地震波主頻1 Hz，介質(zhì)速度5 km·s-1，η=0.077

圖9　平均速度擾動(dòng)2% 時(shí)Fréchet敏感核沿橫坐標(biāo)X=25 km處對(duì)比及誤差函數(shù)圖注說明同圖8；η=0.15.

圖10　平均速度擾動(dòng)5% 時(shí)Fréchet敏感核沿橫坐標(biāo)X=25 km處對(duì)比及誤差函數(shù)圖注說明同圖8；η=0.38.

圖11　平均速度擾動(dòng)10% 時(shí)Fréchet敏感核沿橫坐標(biāo)X=25 km處對(duì)比及誤差函數(shù)圖注說明同圖8；η=0.77

圖12　隨機(jī)擾動(dòng)情形下的一階Born近似相關(guān)走時(shí)誤差(a—d)最大速度擾動(dòng)分別為1%，2%，5%，10%

本文同樣使用了數(shù)值統(tǒng)計(jì)方法分析二階Born近似下的相關(guān)走時(shí)誤差，目標(biāo)模型也為三維高斯型隨機(jī)介質(zhì)(圖13).震源位于YOZ平面上，坐標(biāo)為(0 km，50 km，50 km)，接收點(diǎn)共100個(gè)，等間距(間距1 km)分布于X=100 km，Z=50 km的直線上，震源時(shí)間函數(shù)采用主頻率為10 Hz的雷克子波，采用江燕和陳曉非(2014)相同的方法得到相關(guān)走時(shí)誤差圖(圖14).由圖14可以看出，在最大速度擾動(dòng)2%時(shí)，二階Born近似相關(guān)走時(shí)誤差可以忽略，當(dāng)最大速度擾動(dòng)超過5%時(shí)，Born近似相關(guān)走時(shí)誤差較大，這表明了二階Born近似相較于一階Born近似能夠更精確地描述高的速度異常.

圖7　圖3中歸一化本征位移的絕對(duì)值隨深度變化曲線(a) 對(duì)應(yīng)19.8 Hz處第一個(gè)根； (b) 對(duì)應(yīng)20.1 Hz處第一個(gè)根； (c) 對(duì)應(yīng)19.8 Hz處第二個(gè)根； (d) 對(duì)應(yīng)20.1 Hz處第二個(gè)根.圖中實(shí)線代表本征位移垂直分量，虛線代表本征位移水平分量，點(diǎn)線代表第1層界面深度.

圖8　圖6中歸一化本征位移的絕對(duì)值隨深度變化曲線，其他說明同圖7

圖13　速度均值為3 km·s-1，最大速度擾動(dòng)10%的高斯型三維隨機(jī)介質(zhì)

由二階Born近似的敏感核(圖4—7)和公式(30)可以看出，二階Born近似條件下有限頻理論不同于射線理論之處為：射線路徑上的速度異常對(duì)走時(shí)延遲貢獻(xiàn)較小，而影響走時(shí)延遲最顯著的速度異常位于射線路徑周圍區(qū)域(即第一菲涅爾帶).此外，二階Born近似走時(shí)有限頻敏感核是實(shí)心的，這與一階Born近似下有限頻率敏感核“中空”不同.

5討論與結(jié)論

現(xiàn)今地震層析成像理論與方法正由基于射線理論的層析成像向基于有限頻率理論層析成像過渡，由于有限頻率層析成像考慮了地震波的波前愈合效應(yīng)，使得它更符合地震波在地下傳播狀態(tài).普林斯頓大學(xué)的研究小組(Dahlen、Nolet和Hung等)基于體波射線理論，利用WKBJ近似推導(dǎo)出了三維體波有限頻走時(shí)敏感核，將其應(yīng)用到全球?qū)游龀上裱芯恐邪l(fā)現(xiàn)了數(shù)個(gè)新的起源于核幔邊界的全地幔柱，并發(fā) 現(xiàn)射線理論對(duì)深部小尺度的速度異常幅值可能低估了30%到60%.Dahlen等(2000)的“射線有限頻” 層析成像需要地震射線追蹤，因而存在路徑偏差，故并非嚴(yán)格的波動(dòng)方程層析成像.此外，Zhao等(2000)基于Normal mode方法推導(dǎo)了三維體波有限頻走時(shí)敏感核，Tromp等(2005)提出了基于伴隨波場(chǎng)法(Adjoint-wavefield)有限頻理論，Zhao等(2005)提出散射積分有限頻(線性)理論等等.

進(jìn)行有限頻率層析成像的關(guān)鍵是推導(dǎo)和計(jì)算相應(yīng)的有限頻率敏感核(又稱Fréchet敏感核)，當(dāng)前推導(dǎo)有限頻率敏感核多基于一階Born近似，但這只適用于弱散射介質(zhì)情況，無法對(duì)地下速度變化劇烈的殼、幔介質(zhì)結(jié)構(gòu)準(zhǔn)確成像.本文基于二階Born近似推導(dǎo)了三維均勻介質(zhì)中的走時(shí)有限頻敏感核的解析表達(dá)式，并將其延拓到非均勻介質(zhì)中.此外，我們經(jīng)過數(shù)值計(jì)算，給出了基于二階Born近似的走時(shí)Fréchet敏感核同基于一階Born近似的Fréchet敏感核的對(duì)比圖表明：當(dāng)介質(zhì)中速度擾動(dòng)小于2% 時(shí)，基于二階Born近似的有限頻率敏感核與基于一階Born近似的有限頻率敏感核差別很小，可近似認(rèn)為相同；當(dāng)介質(zhì)中速度擾動(dòng)大于5% 時(shí)，基于二階Born近似的有限頻率敏感核與基于一階Born近似的有限頻率敏感核有較大不同，此時(shí)使用基于一階Born近似的有限頻率層析成像將無法得到準(zhǔn)確成像圖.

Dahlen等(2000)得到的走時(shí)Fréchet敏感核是“中空”的，即射線路徑上的速度異常對(duì)走時(shí)延遲沒有影響，這一度引起可很大的爭(zhēng)議.他們得到的走時(shí)Fréchet敏感核“中空”的原因是走時(shí)Fréchet敏感核為走時(shí)差(Tsq+Tqg-Tsg)正弦的函數(shù)，射線路徑上走時(shí)差為0，因而射線路徑上的敏感度為0.本文推導(dǎo)的基于二階Born近似走時(shí)有限頻敏感核是實(shí)心的，這是同Dahlen等不同的地方，其原因乃是二次散射的走時(shí)敏感核是走時(shí)差(Tsq+Tqg-Tsg)余弦的函數(shù)，更深層的原因則是從震源到接收點(diǎn)的二次散射場(chǎng)是由震源到接收點(diǎn)的背景場(chǎng)的一階微商與走時(shí)延遲的乘積.

本文推導(dǎo)出的基于二階Born近似走時(shí)Fréchet敏感核在計(jì)算時(shí)需要事先預(yù)估整個(gè)研究區(qū)域的平均速度擾動(dòng)，這在實(shí)際層析成像應(yīng)用中雖然有難度，但是可以通過參考該區(qū)域以前的研究結(jié)果或相鄰地區(qū)的速度擾動(dòng)事先估計(jì)研究區(qū)域的平均速度擾動(dòng)；同時(shí)我們將三維均勻介質(zhì)中推導(dǎo)出的走時(shí)有限頻敏感核直接延拓到三維非均勻介質(zhì)中，有效性需要進(jìn)一步確定.這些都是接下來需要進(jìn)一步深化研究與探索問題.

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(本文編輯汪海英)

基金項(xiàng)目中國(guó)科學(xué)院地質(zhì)與地球物理研究所自選課題(31531180).

作者簡(jiǎn)介董興朋，男，1988年生，博士研究生，主要從事有限頻率層析成像研究.E-mail: dxpzxy@126.com

doi:10.6038/cjg20160327 中圖分類號(hào)P315，P631

收稿日期2015-03-17，2016-01-12收修定稿

Finite-frequency traveltime sensitivity kernel based on second-order Born approximation

DONG Xing-Peng1,2,TENG Ji-Wen1,MA Xue-Ying1,2,SONG Peng-Han1,2

1InstituteofGeologyandGeophysics,ChineseAcademyofSciences,Beijing100029，China2UniversityofChineseAcademyofSciences,Beijing100049,China

AbstractFinite-frequency tomography has the better resolution to velocity anomalies than ray tomography because it considers scattering,diffraction and wave front healing when seismic waves propagate in an inhomogeneous medium.Derivation and calculation of the finite-frequency sensitive kernel is the key in finite-frequency tomography.This kernel can be derived by the first-order Born approximation,but only applicable to a weak scattering medium.Based on the second-order Born approximation and by using the Fourier transform,we deduce the analytical expression of the finite-frequency sensitive kernel in a three-dimensional homogeneous medium,and extend it to the inhomogeneous medium to obtain such a kernel in a 3D inhomogeneous medium.Research shows that when the medium velocity disturbance is less than 2%,the difference of kernels between based on the second Born approximation and based on first-order Born approximation is small,so both can be considered identical.When medium velocity disturbance is greater than 5%,such difference is relatively large,implying that secondary scattering cannot be ignored.

KeywordsSecond-order Born approximation; Finite-frequency theory; Fréchet kernel; Wave front healing

董興朋，滕吉文，馬學(xué)英等.2016.二階Born近似有限頻率走時(shí)敏感核.地球物理學(xué)報(bào)，59(3):1070-1081,doi:10.6038/cjg20160327.

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