楊積忠，劉玉柱，董良國

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基于Born敏感核函數(shù)的速度、密度雙參數(shù)全波形反演

楊積忠，劉玉柱*，董良國

同濟(jì)大學(xué)海洋地質(zhì)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海200092

摘要速度、密度之間的相互耦合使得密度在多參數(shù)全波形反演中較難獲得.本文將截?cái)喔咚?牛頓法用于聲介質(zhì)速度、密度雙參數(shù)全波形反演，通過考慮近似Hessian矩陣中反映速度、密度相互作用的非主對(duì)角塊元素，有效解決了多參數(shù)全波形反演中速度、密度之間的耦合問題，在不采用反演策略的情況下，仍能夠獲得精度較高的速度、密度反演結(jié)果.常規(guī)的截?cái)嗯ｎD類全波形反演通常利用一階伴隨狀態(tài)法求取目標(biāo)函數(shù)對(duì)模型參數(shù)的梯度，利用二階伴隨狀態(tài)法或有限差分法求解Hessian-向量乘，在每一步內(nèi)循環(huán)迭代過程中需要額外求解兩次正演問題，計(jì)算量較大.本文基于Born近似，將梯度計(jì)算中的核函數(shù)-向量乘表示為具有明確物理意義的向量-標(biāo)量乘的累加運(yùn)算，同時(shí)將Hessian-向量乘轉(zhuǎn)化為兩次核函數(shù)-向量乘，無需額外求解正演問題，有效降低了計(jì)算量.數(shù)值實(shí)驗(yàn)證明了本文提出的方法的有效性.

關(guān)鍵詞全波形反演； 敏感核函數(shù)； 多參數(shù)； 速度； 密度； 截?cái)喔咚?牛頓法

In conventional truncated Newton algorithms,the gradients of the objective function with respect to model parameters are calculated with the first-order adjoint-state method,where the forward propagated source wavefields are zero-lag cross-correlated with the back-propagated residual wavefields.The model update is computed through a matrix-free conjugate gradient (CG) solution of the Newton linear system.This operation requires the computation of the Hessian-vector products,which can be acquired by the second-order adjoint-state formulas or the finite difference method.In such a way,two additional forward wave-propagation problems have to be solved in each internal CG loop,which increase the computational cost dramatically.In this study,we calculate the gradient based on the Born sensitivity kernels,where the kernel-vector products are transformed to the accumulation of vector-scalar products.Meanwhile,the Hessian-vector products are implemented by means of two nested kernel-vector products,thus the forward simulations are no longer required.

To demonstrate the effectiveness of the proposed method,we apply it to a canonical inclusion model and the SEG/EAGE Marmousi-2 model to simultaneously determine velocity and density.The results show that this method can obtain reasonable results for both velocity and density without using any inversion strategy.The vertical profiles extracted from the reconstructed models depict good consistency with the true ones.

Accurate consideration of the inverse Hessian is of great importance in the context of multi-parameter FWI,which helps to mitigate the coupling effects and rescale the magnitudes of different parameters.The Hessian-vector products can be efficiently computed using kernel-vector products without solving any additional forward simulation problems,thus the computational cost of the truncated Gauss-Newton FWI is reduced.Numerical experiments prove the capability of the proposed method on recovering multiple parameters simultaneously.

1引言

全波形反演(Full Waveform Inversion，F(xiàn)WI)是在最優(yōu)化理論框架下，通過擬合模擬數(shù)據(jù)與觀測(cè)數(shù)據(jù)，使殘差達(dá)到最小，從而獲取具有高分辨率的地下物性參數(shù)(如縱橫波速度、密度、阻抗或各向異性參數(shù)等)的反演方法.

Lailly(1983)和Tarantola(1984)最早在時(shí)間域建立了基于最小二乘目標(biāo)泛函的全波形反演框架，利用激發(fā)點(diǎn)正傳波場(chǎng)和接收點(diǎn)殘差反傳波場(chǎng)的互相關(guān)求解梯度方向.Pratt和Worthington(1990)將全波形反演擴(kuò)展到頻率域，只利用有限幾個(gè)離散頻率或頻率組就可以方便地實(shí)現(xiàn)多尺度反演，提高了全波形反演的實(shí)用性.隨著寬方位采集技術(shù)及高性能計(jì)算平臺(tái)的發(fā)展，全波形反演已在諸多理論與實(shí)際資料中成功應(yīng)用(Shipp and Singh，2002；Sears et al.，2008；Sirgue et al.，2010；李國平等，2011；劉國峰等，2012；劉玉柱等，2014).

多參數(shù)全波形反演是當(dāng)前研究的熱點(diǎn)，它不僅可以為復(fù)雜地質(zhì)條件下的偏移成像提供更加準(zhǔn)確的背景速度模型(Plessix et al.，2013)，還可以為儲(chǔ)層預(yù)測(cè)、巖性解釋和油藏監(jiān)測(cè)提供相應(yīng)的巖石物性參數(shù)(單蕊等，2011；Prieux et al.，2013；石玉梅等，2014).相對(duì)于聲波近似的單參數(shù)全波形反演，多參數(shù)全波形反演也面臨巨大的挑戰(zhàn)(董良國等，2013；楊積忠等，2014).地震數(shù)據(jù)對(duì)不同參數(shù)的敏感性在特定的傳播角度上有一定的相似性，使得不同參數(shù)在反演過程中相互干涉，相互耦合，增加了反演的非線性程度；不同參數(shù)具有不同的物理量綱，對(duì)地震數(shù)據(jù)的影響量級(jí)也不同，在反演過程中如不能進(jìn)行很好的校正，也會(huì)加劇反演的病態(tài)性(Operto et al.，2013；劉玉柱等，2015).

選擇合適的參數(shù)化方式，制定合理的反演策略，是解決多參數(shù)全波形反演非線性問題的有效途徑.Tarantola(1986)和Mora(1987)指出，在P波震源反射地震波形反演中，拉梅常數(shù)-密度是一種比較差的參數(shù)化方式；對(duì)近偏移距數(shù)據(jù)來說，阻抗是比較合適的參數(shù)，而對(duì)遠(yuǎn)偏移距數(shù)據(jù)來說，速度是比較合適的參數(shù)；不管利用哪種參數(shù)化方式，密度都不能被很好地估計(jì).K?hn等人(2012)指出，在彈性波多參數(shù)全波形反演中，不管利用哪種參數(shù)化方式，拉梅常數(shù)、縱橫波速度、阻抗都可以被較好地估計(jì)，而密度反演效果較差；利用速度-密度參數(shù)化方式、阻抗-密度參數(shù)化方式得到的反演結(jié)果要優(yōu)于拉梅常數(shù)-密度參數(shù)化方式得到的反演結(jié)果.針對(duì)密度反演比較困難這一問題，部分學(xué)者提出了有利于密度反演的多參數(shù)全波形反演策略.Jeong等(2012)在頻率域，首先以拉梅常數(shù)-密度為參數(shù)化方式，將密度固定為任意常數(shù)，通過單參數(shù)反演得到拉梅常數(shù)，然后將換算得到縱橫波速度作為初始模型，進(jìn)而以縱橫波速度-密度為參數(shù)化方式，同時(shí)反演拉梅常數(shù)和密度，最后換算得到速度和密度，有效提高了密度的反演精度.Prieux等(2013)先利用大偏移距地震數(shù)據(jù)單參數(shù)反演速度參數(shù)，再利用全偏移距地震數(shù)據(jù)同時(shí)反演速度、密度參數(shù)，有效提高了密度反演的穩(wěn)定性，但密度反演結(jié)果仍然不夠理想.他們同時(shí)指出，利用速度-密度參數(shù)化方式反演得到的速度、密度和阻抗結(jié)果要好于利用速度-阻抗參數(shù)化方式得到的反演結(jié)果.楊積忠等(2014)基于變密度聲波方程，以速度-密度為參數(shù)化方式，首先利用全偏移距地震數(shù)據(jù)對(duì)速度、密度進(jìn)行同時(shí)反演，得到比較可靠的速度反演結(jié)果，然后以反演得到的速度和最初給定的密度作為初始模型，進(jìn)一步對(duì)速度、密度進(jìn)行同時(shí)反演，得到了比較準(zhǔn)確的速度、密度反演結(jié)果.劉玉柱等(2015)在各向異性FWI研究中利用了相似的反演策略.

上述反演策略的本質(zhì)在于考慮了地震數(shù)據(jù)對(duì)不同參數(shù)敏感性的差異，分層次、分階段地實(shí)現(xiàn)對(duì)不同參數(shù)的反演，在一定程度上降低了多參數(shù)全波形反演的非線性程度.然而，這些反演策略并沒有從根本上解決不同參數(shù)間的耦合問題，使得反演結(jié)果的分辨率和精度都受到不同程度的影響.在反演過程中引入Hessian算子的逆，是解決這一問題的重要途徑(Operto et al.，2013).在多參數(shù)全波形反演中，Hessian矩陣，特別是高斯-牛頓近似Hessian矩陣是分塊對(duì)角占優(yōu)矩陣，主對(duì)角塊元素反映了波場(chǎng)的幾何擴(kuò)散效應(yīng)、數(shù)據(jù)的頻帶效應(yīng)以及觀測(cè)系統(tǒng)的孔徑效應(yīng)，而非主對(duì)角塊元素則反映了不同參數(shù)之間的耦合效應(yīng)(Operto et al.，2013).在反演過程中考慮近似Hessian矩陣的逆，能夠消除上述效應(yīng)對(duì)全波形反演的影響，提高收斂速度，使全波形反演獲取較為準(zhǔn)確的模型估計(jì)(Pratt et al.，1998；Operto et al.，2013).

由于巨大的計(jì)算和存儲(chǔ)消耗，顯式地計(jì)算與存儲(chǔ)Hessian及其逆算子并不現(xiàn)實(shí)，使得全牛頓法和高斯-牛頓法不能得到廣泛應(yīng)用(Pratt et al.，1998；Sheen et al.，2006).截?cái)嗯ｎD類方法(包括全牛頓法和高斯-牛頓法)可以較好地估計(jì)Hessian算子的逆，近年來在全波形反演中逐步得到應(yīng)用(Santosa and Symes，1988；Ak?elik et al.，2002；Epanomeritakis et al.，2008；Hu et al.，2009；Bae et al.，2012；Métivier et al.，2013，2014；Wang et al.，2013；王義和董良國，2015).通常情況下，截?cái)嗯ｎD類全波形反演利用一階伴隨狀態(tài)法計(jì)算目標(biāo)函數(shù)對(duì)模型參數(shù)的梯度，模型更新方向則通過共軛梯度法不完全求解線性牛頓類方程得到.在每一步內(nèi)循環(huán)迭代過程中，利用二階伴隨狀態(tài)法或有限差分法求解Hessian-向量乘，需額外求解兩次正演問題，計(jì)算量較大，需要設(shè)計(jì)合理的預(yù)條件算子以減少內(nèi)循環(huán)次數(shù)(Métivier et al.，2013).Liu等(2015)提出了一種基于Born敏感核函數(shù)計(jì)算目標(biāo)函數(shù)梯度及高斯-牛頓方向的全波形反演方法，該方法在利用共軛梯度法不完全求解線性牛頓類方程的內(nèi)循環(huán)過程中，將Hessian-向量乘轉(zhuǎn)化為兩次核函數(shù)-向量乘，無需額外求解正演問題，有效降低了計(jì)算量.

本文將Liu等(2015)提出的方法推廣到聲介質(zhì)速度、密度雙參數(shù)全波形反演中.以速度-密度為參數(shù)化方式，詳細(xì)推導(dǎo)了Born近似下速度、密度對(duì)應(yīng)的敏感核函數(shù)，并在均勻背景模型中分析了它們的性質(zhì)，最后將其應(yīng)用于速度、密度雙參數(shù)全波形反演.球狀異常體模型和Marmousi-2模型的數(shù)值實(shí)驗(yàn)充分證明了該方法的有效性.

2反演方法

全波形反演通過擬合模擬數(shù)據(jù)dcal和觀測(cè)數(shù)據(jù)dobs，使波場(chǎng)殘差δd=dcal-dobs達(dá)到最小，進(jìn)而獲取地下介質(zhì)的物性參數(shù)m.目標(biāo)函數(shù)可以表達(dá)為

(1)

這里?代表共軛轉(zhuǎn)置.由于全波形反演中涉及的數(shù)據(jù)量大、模型參數(shù)多，通常用局部最優(yōu)化方法來求解(1)式.在給定的初始模型的基礎(chǔ)上，通過求取模型更新量來迭代更新模型，如(2)式所示：

(2)

其中，δmk為模型更新方向，αk為更新步長(zhǎng).步長(zhǎng)α可以利用線性搜索或信賴域方法求取(NocedalandWright，2006).模型更新方向δmk滿足牛頓方程：

(3)

(4)

(5)

這里，K為Fréchet微商，又稱敏感核函數(shù)，它反映了波場(chǎng)對(duì)模型參數(shù)的敏感程度.在Born近似條件下，要求背景模型與真實(shí)模型非常接近，數(shù)據(jù)殘差δd相對(duì)于背景波場(chǎng)非常小，因此Hessian算子的第二項(xiàng)可以忽略不計(jì)，這樣Hessian算子就退化為近似Hessian算子Ha：

(6)

同時(shí)，牛頓方程(3)退化為高斯-牛頓方程：

(7)

需要指出的是，Hessian算子的第二項(xiàng)為波場(chǎng)對(duì)模型參數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)與波場(chǎng)殘差在檢波點(diǎn)處零延遲的相關(guān)，反映了波場(chǎng)的二次散射效應(yīng)，當(dāng)波場(chǎng)中多次波較為明顯時(shí)，考慮Hessian算子的第二項(xiàng)可以消除這些多次散射效應(yīng)的影響，提高反演精度，而忽略Hessian算子的第二項(xiàng)，則會(huì)加劇多次散射的影響，使反演陷入局部極值.

由公式(4)直接求取梯度需要顯式計(jì)算與存儲(chǔ)Fréchet核函數(shù)，計(jì)算量與存儲(chǔ)量較大，目前通常采用一階伴隨狀態(tài)法來間接計(jì)算目標(biāo)函數(shù)的梯度(Plessix，2006).由伴隨狀態(tài)法求得的梯度可以看成是激發(fā)點(diǎn)正傳波場(chǎng)和接收點(diǎn)殘差反傳波場(chǎng)零延遲的互相關(guān)，而各參數(shù)之間輻射模式的不同導(dǎo)致了梯度在具體表達(dá)形式上的差異.假定整個(gè)觀測(cè)系統(tǒng)中不重復(fù)的炮點(diǎn)個(gè)數(shù)為ns，不重復(fù)的檢波點(diǎn)個(gè)數(shù)為nr，利用伴隨狀態(tài)法計(jì)算梯度所用的正演次數(shù)為2ns，與檢波點(diǎn)個(gè)數(shù)無關(guān).而在利用共軛梯度法求解線性方程組(3)或(7)時(shí)，雖然不需要顯示構(gòu)造Hessian算子并求逆，但在每一步內(nèi)循環(huán)過程中，需利用二階伴隨狀態(tài)法或有限差分法求解Hessian-向量乘Hv(v為模型空間的任意向量)，需要額外求解兩次正演問題.假定內(nèi)循環(huán)的迭代次數(shù)為nCG，需要的正演次數(shù)為2ns×nCG，因此計(jì)算量很大(Métivieretal.，2013，2014；Wangetal.，2013).

Liu等(2015)提出了一種基于Born敏感核函數(shù)計(jì)算目標(biāo)函數(shù)梯度與高斯-牛頓方向的全波形反演方法.該方法的核心思想是將公式(4)中的核函數(shù)-向量乘運(yùn)算表示為具有明確物理意義的向量-標(biāo)量乘的累加運(yùn)算，在運(yùn)算過程中只需存儲(chǔ)單個(gè)炮檢對(duì)的敏感核函數(shù)，避免了龐大核函數(shù)矩陣的存儲(chǔ).在計(jì)算高斯-牛頓方向的內(nèi)循環(huán)過程中，將Hessian-向量乘Hv分解為兩次核函數(shù)-向量乘Kp或K?p(p為模型空間或數(shù)據(jù)空間的任意向量)，不需要額外求解正演問題，有效降低了計(jì)算量.假定數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為m，模型網(wǎng)格參數(shù)為n，那么K為m×n的矩陣，K?為n×m的矩陣，H或Ha為n×n的矩陣.計(jì)算梯度方向與核函數(shù)-向量乘Kp的實(shí)現(xiàn)方式如下：

(8)

(9)

其中，kij為敏感核函數(shù)矩陣K的任意元素，它代表第i個(gè)數(shù)據(jù)元素對(duì)第j個(gè)模型網(wǎng)格參數(shù)的敏感性，上劃線表示復(fù)數(shù)共軛，ki為第i個(gè)炮檢對(duì)所對(duì)應(yīng)的核函數(shù)向量.公式(8)中右端項(xiàng)求和運(yùn)算中的每一個(gè)列向量代表任意一個(gè)炮檢對(duì)所對(duì)應(yīng)的敏感核函數(shù)的共軛，其物理意義可以解釋為將數(shù)據(jù)殘差沿炮檢對(duì)所對(duì)應(yīng)的Born波路徑進(jìn)行反投影(Woodward，1992).

利用共軛梯度法求解公式(7)的流程如表1所示.

表1　用共軛梯度法(CG)求解線性方程組Ax=b的流程Table 1　A matrix-free conjugate-gradient (CG) algorithmfor solving Ax=b

基于Born敏感核函數(shù)的全波形反演的基本流程如下.

(1)給定初始模型m0，輸入觀測(cè)數(shù)據(jù)dobs；

(2)計(jì)算整個(gè)觀測(cè)系統(tǒng)中炮點(diǎn)對(duì)應(yīng)的格林函數(shù)G(x,xs,ω)及不重復(fù)的檢波點(diǎn)對(duì)應(yīng)的格林函數(shù)G(x,xr,ω)，這里利用了格林函數(shù)的互易性原理G(xr,x,ω)=G(x,xr,ω)；

(3)計(jì)算波場(chǎng)殘差δd=dcal-dobs，dcal=f(ω)G(xr,xs,ω)；

(4)利用公式(8)計(jì)算梯度方向；

(5)利用表1對(duì)應(yīng)的流程計(jì)算模型更新方向δmk；

(6)利用線性搜索計(jì)算步長(zhǎng)αk；

(7)更新模型mk+1=mk+αkδmk；

(8)判斷是否滿足結(jié)束條件，如果滿足，保存更新后的模型，退出循環(huán)；如果不滿足，進(jìn)入下一輪迭代過程，重復(fù)步驟(2)—(7)；

(10)

其中，

(11)

由公式(11)可知，近似聯(lián)合Hessian矩陣Ha由四塊組成，其中，左上角和右下角矩陣塊的主對(duì)角元素為相同參數(shù)敏感核函數(shù)在相同空間位置零延遲的自相關(guān)，反映了波場(chǎng)的幾何擴(kuò)散效應(yīng)；非主對(duì)角元素則為相同參數(shù)敏感核函數(shù)在不同空間位置零延遲的互相關(guān)，反映了數(shù)據(jù)的頻帶效應(yīng)以及觀測(cè)系統(tǒng)的孔徑效應(yīng).而左下角和右上角的矩陣塊則代表了不同參數(shù)敏感核函數(shù)零延遲的相關(guān)，反應(yīng)了不同參數(shù)之間的相互作用，即所謂的耦合效應(yīng).當(dāng)左下角和右上角矩陣塊的元素為零時(shí)，不同參數(shù)間無耦合效應(yīng)，公式(10)退化為單參數(shù)全波形反演：

(12)

(13)

利用共軛梯度法求解速度、密度雙參數(shù)高斯-牛頓方程(10)即可得到聯(lián)合模型更新方向.聯(lián)合模型更新方向求得后可進(jìn)一步利用聯(lián)合核函數(shù)-向量乘方便地實(shí)現(xiàn)步長(zhǎng)的計(jì)算(Liuetal.，2015).

3敏感核函數(shù)分析

為了詳細(xì)分析敏感核函數(shù)的性質(zhì)，本節(jié)利用公式(A25)計(jì)算了均勻介質(zhì)中速度、密度的敏感核函數(shù).模型中速度值為4000m·s-1，密度值為2000kg·m-3，模型大小為10km×10km，網(wǎng)格離散間距20m.炮點(diǎn)位置(2000m，5000m)，檢波點(diǎn)位置(8000m，5000m)，炮點(diǎn)、檢波點(diǎn)格林函數(shù)對(duì)應(yīng)的頻率為10Hz.由于是在頻率域中計(jì)算，同時(shí)展示了速度、密度敏感核函數(shù)的實(shí)部和虛部.

圖1a與圖1b顯示的是速度敏感核函數(shù)的實(shí)部和虛部，圖1c與圖1d顯示的是密度敏感核函數(shù)的實(shí)部和虛部，圖2顯示的是速度、密度敏感核函數(shù)在x=5000m處的縱向剖面.可以看出：(1)速度敏感核函數(shù)在垂直于波傳播方向，能量由中心向兩邊逐漸減弱；而密度敏感核函數(shù)在垂直于波傳播方向，中心能量最弱，向兩邊逐漸增強(qiáng)；(2)在中心區(qū)域，波場(chǎng)對(duì)速度的敏感性要強(qiáng)于對(duì)密度的敏感性；在這一區(qū)域，將波場(chǎng)殘差沿波路徑反投影得到的速度梯度的權(quán)重大于密度梯度的權(quán)重，不利于密度的反演，此時(shí)速度對(duì)密度反演的影響較大；(3)在遠(yuǎn)離中心射線區(qū)域，波場(chǎng)對(duì)速度的敏感性和波場(chǎng)對(duì)密度的敏感性有一定的相似性，在反演過程中，速度和密度在這一區(qū)域相互耦合，相互影響，難以同時(shí)反演.

4數(shù)值實(shí)驗(yàn)

4.1球狀異常體模型

本節(jié)數(shù)值實(shí)驗(yàn)基于球狀異常體模型.速度模型如圖3a所示，背景均勻，速度值為3000 m·s-1，球狀異常體中心位于(700 m，700 m)處，半徑100 m，速度值為3300 m·s-1；密度模型如圖3c所示，背景均勻，密度值為2000 kg·m-3，球狀異常體中心位于(1300 m，1300 m)處，半徑100 m，密度值為2200 kg·m-3.采用四周觀測(cè)方式，使得目標(biāo)體在各個(gè)方向的照明均勻，進(jìn)而消除觀測(cè)系統(tǒng)的影響.共有152炮均勻分布于模型四周，炮間距為50 m，每一炮由152個(gè)檢波點(diǎn)接收，檢波點(diǎn)均勻分布于模型四周，檢波點(diǎn)間距為50 m.模型縱橫向大小為2 km×

圖1　速度、密度敏感核函數(shù)：速度敏感核函數(shù)的實(shí)部(a)與虛部(b)，密度敏感核函數(shù)的實(shí)部(c)與虛部(d).紅色為正值，藍(lán)色為負(fù)值，黃色為零

圖2　速度、密度敏感核函數(shù)在x=5000 m處的縱向剖面：速度敏感核函數(shù)的實(shí)部(a)與虛部(b)，密度敏感核函數(shù)的實(shí)部(c)與虛部(d)

圖3　球狀異常模型及多參數(shù)全波形反演結(jié)果(a) 真實(shí)速度模型； (b) 速度反演結(jié)果； (c) 真實(shí)密度模型； (d) 密度反演結(jié)果.

圖4　多參數(shù)全波形反演結(jié)果縱向剖面，分別位于水平方向0.7 km(左)和1.3 km(右)處的(a)速度反演結(jié)果與(b)密度反演結(jié)果.黑線代表真實(shí)模型，紅線代表初始模型，綠線代表反演結(jié)果，速度和密度的單位分別是km·s-1和g·cm-3

圖5　Marmousi-2模型(a) 真實(shí)速度模型； (b) 初始速度模型； (c) 真實(shí)密度模型； (d) 初始密度模型.

圖6　多參數(shù)全波形反演結(jié)果(a) 速度； (b) 密度.

圖7　多參數(shù)全波形反演結(jié)果縱向剖面，分別位于水平方向3 km(左)、4 km(中)和5 km(右)處的(a)速度反演結(jié)果與(b)密度反演結(jié)果.黑線代表真實(shí)模型，紅線代表初始模型，綠線代表反演結(jié)果，速度和密度的單位分別是km·s-1和g·cm-3

2 km，網(wǎng)格離散間距10 m.地震記錄長(zhǎng)度1.5 s，時(shí)間采樣間隔1 ms，震源函數(shù)為7 Hz主頻的Ricker子波.

將速度和密度的均勻背景模型作為初始模型，對(duì)速度、密度進(jìn)行同時(shí)反演.反演結(jié)果如圖3b和圖3d所示，圖4顯示了反演結(jié)果的縱向剖面.可以看出，速度、密度反演結(jié)果與真實(shí)模型具有較好的一致性.對(duì)比楊積忠等(2014)對(duì)該雙參數(shù)反演問題的反演策略研究中考慮速度、密度相互影響的數(shù)值實(shí)驗(yàn)的圖4—圖7可以發(fā)現(xiàn)，在本文數(shù)值實(shí)驗(yàn)中，速度異常并沒有引起明顯的密度異常，而密度異常存在的地方也沒有影響速度的反演，說明通過引入截?cái)喔咚?牛頓法，考慮近似Hessian矩陣中反映速度、密度相互影響的非主對(duì)角塊元素，可以有效解決反演過程中速度、密度之間的耦合效應(yīng)，即使在不采用反演策略的情況下，仍能夠得到比較可靠的反演結(jié)果.

4.2Marmousi-2模型

為了測(cè)試本文方法在地表反射觀測(cè)系統(tǒng)情況下反演復(fù)雜模型的能力，本節(jié)實(shí)驗(yàn)將其應(yīng)用于Marmousi-2

模型(Martin et al.，2006).模型大小為8 km×3.5 km，網(wǎng)格離散間距20 m.數(shù)值模擬79炮地表地震記錄，第一炮位于水平方向100 m處，炮間距100 m，檢波點(diǎn)分布于地表所有網(wǎng)格點(diǎn)上，數(shù)據(jù)記錄長(zhǎng)度8 s，時(shí)間采樣間隔2 ms，震源函數(shù)選用主頻為7 Hz的Ricker子波.

真實(shí)速度、密度模型和基于真實(shí)模型高斯平滑得到的初始速度、密度模型如圖5所示.對(duì)速度、密度進(jìn)行同時(shí)反演，反演結(jié)果如圖6所示，圖7顯示了反演結(jié)果的縱向剖面.可以看出，速度反演結(jié)果具有較高的分辨率與反演精度，密度反演效果相對(duì)略差，但仍與真實(shí)模型具有較好的一致性，說明密度反演相對(duì)于速度反演來說比較困難.對(duì)比楊積忠等(2014)對(duì)該雙參數(shù)反演問題的反演策略研究中的圖21—圖26可以發(fā)現(xiàn)，在反演過程中考慮近似Hessian算子的逆，可以有效地解決多參數(shù)全波形反演中不同參數(shù)間的耦合效應(yīng)，即使在不采用反演策略的情況下，仍可以得到比較準(zhǔn)確的反演結(jié)果，特別是密度反演精度的提高尤為顯著.

5結(jié)論

準(zhǔn)確地估計(jì)Hessian算子的逆，對(duì)多參數(shù)全波形反演具有至關(guān)重要的作用.本文將截?cái)喔咚?牛頓法用于聲介質(zhì)速度、密度雙參數(shù)全波形反演，利用共軛梯度法不完全求解線性高斯-牛頓方程，間接考慮了近似Hessian算子的逆在多參數(shù)全波形反演中所起的作用.數(shù)值實(shí)驗(yàn)充分證明，在反演過程中引入近似Hessian算子的逆，能夠有效解決多參數(shù)全波形反演中速度與密度的耦合問題，即使在不采用反演策略的情況下，仍能夠獲得比較準(zhǔn)確的速度、密度反演結(jié)果.

本文基于Born近似，詳細(xì)推導(dǎo)了變密度聲波方程中速度、密度對(duì)應(yīng)的敏感核函數(shù)，然后將計(jì)算梯度時(shí)所用的聯(lián)合核函數(shù)-向量乘表示為具有明確物理涵義的向量-標(biāo)量乘的累加運(yùn)算，避免了龐大核函數(shù)矩陣的存儲(chǔ)，而在利用共軛梯度法不完全求解雙參數(shù)高斯-牛頓方程時(shí)將對(duì)應(yīng)的聯(lián)合Hessian-向量乘轉(zhuǎn)化為兩次聯(lián)合核函數(shù)-向量乘，無需額外求解正演問題，有效降低了計(jì)算量，具有較好的應(yīng)用前景.

雖然本文是在變密度聲波方程基礎(chǔ)上研究基于Born敏感核函數(shù)的全波形反演方法在多參數(shù)全波形反演中的應(yīng)用，但該方法同樣適用于其他多參數(shù)全波形反演.

附錄A：變密度聲波方程速度、密度敏感核函數(shù)推導(dǎo)

在頻率域，變密度聲波方程可以表達(dá)為

=δ(x-xs)S(x,ω)，

(A1)

在背景模型中，滿足

=δ(x-xs)S(x,ω).

(A2)

在Born近似條件下，有

(A3)

分別對(duì)模量κ(x)和密度ρ(x)進(jìn)行擾動(dòng)，

(A4)

相應(yīng)地，

(A5)

將(A4)、(A5)式帶入(A1)式，得

(A6)

其中，

ψ(x,ω)=

(A7)

將(A5)式代入(A7)式，可得

ψ(x,ω)=

(A8)

(A9)

方程(A6)的積分解為

δP(r,ω)=∫VG0(r,ω;x)ψ(x,ω)d3x，

(A10)

其中，G0(r,ω;x)為背景模型的格林函數(shù)，滿足方程

(A11)

將(A9)式代入(A10)式，得

(A12)

即

(A13)

由于

(A14)

在均勻邊界條件下，

(A15)

所以，

(A16)

在Born近似條件下，波場(chǎng)擾動(dòng)與模型擾動(dòng)之間存在如下線性關(guān)系：

(A17)

其中，δlnm=δm/m為相對(duì)模型擾動(dòng)，Km為敏感核函數(shù).引入模量、密度敏感核函數(shù)：

δP(r,ω)=

(A18)

對(duì)比(A16)得到

(A19)

(A20)

其中

(A21)

利用模量、速度、密度之間的關(guān)系：

(A22)

存在如下全微分關(guān)系：

(A23)

(A24)

其中

(A25)

上式即為速度、密度敏感核函數(shù)表達(dá)式.

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(本文編輯胡素芳)

基金項(xiàng)目國家自然科學(xué)基金(41274116，41474034)，中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)(1350219162，20123197)共同資助.

作者簡(jiǎn)介楊積忠，男，1987年生，同濟(jì)大學(xué)在讀博士研究生，主要從事地震波傳播與反演研究.E-mail: hongyuyjzh@hotmail.com *通訊作者劉玉柱，男，1979年生，副教授，主要從事地震波傳播與反演研究.E-mail: liuyuzhu@#edu.cn

doi:10.6038/cjg20160328 中圖分類號(hào)P631

收稿日期2015-01-28，2015-06-16收修定稿

Multi-parameter full waveform inversion for velocity and density based on Born sensitivity kernels

YANG Ji-Zhong,LIU Yu-Zhu*,DONG Liang-Guo

StateKeyLaboratoryofMarineGeology,TongjiUniversity,Shanghai200092,China

AbstractDensity is difficult to reconstruct in multi-parameter full waveform inversion (FWI).This difficulty mainly comes from the coupling effects between velocity and density.In this study,we apply the truncated Gauss-Newton method to multi-parameter FWI for simultaneous estimation of velocity and density in acoustic media.The inverse Hessian whose off-diagonal blocks reflect the coupling effects between different parameters is incorporated to decouple velocity and density during the inversion procedure.

KeywordsFull waveform inversion；Sensitivity kernel；Multi-parameter；Velocity；Density； Truncated Gauss-Newton method

楊積忠，劉玉柱，董良國.2016.基于Born敏感核函數(shù)的速度、密度雙參數(shù)全波形反演.地球物理學(xué)報(bào)，59(3):1082-1094,doi:10.6038/cjg20160328.

Yang J Z,Liu Y Z,Dong L G.2016.Multi-parameter full waveform inversion for velocity and density based on Born sensitivity kernels.Chinese J.Geophys.(in Chinese),59(3):1082-1094,doi:10.6038/cjg20160328.