張凱，張保衛(wèi)，劉建勛，徐明才

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層狀黏彈性介質(zhì)中Rayleigh波頻散曲線“交叉”現(xiàn)象分析

張凱，張保衛(wèi)，劉建勛，徐明才

中國(guó)地質(zhì)科學(xué)院地球物理地球化學(xué)勘查研究所，河北廊坊065000

摘要Rayleigh波勘探方法在探測(cè)近地表橫波速度、動(dòng)力學(xué)特征等環(huán)境與工程地球物理領(lǐng)域獲得了廣泛應(yīng)用.這種方法以彈性層狀介質(zhì)理論為基礎(chǔ)，然而實(shí)際介質(zhì)具有黏彈性，研究面波在層狀黏彈性介質(zhì)中的傳播特征，將為近地表面波勘探提供有益幫助.在某些彈性層狀介質(zhì)模型中，例如存在低速夾層和強(qiáng)波阻抗差異地層模型，Rayleigh波相鄰兩條頻散曲線彼此會(huì)非常靠近，產(chǎn)生看似彼此“交叉”的現(xiàn)象，即“osculation”現(xiàn)象，但對(duì)于黏彈性介質(zhì)中的這種現(xiàn)象并沒(méi)有進(jìn)行相關(guān)的研究.本文利用Muller法計(jì)算層狀黏彈性介質(zhì)Rayleigh波頻散方程，基于層狀介質(zhì)模型中Rayleigh波頻散和衰減曲線連續(xù)的性質(zhì)，結(jié)合本征位移曲線特征，分析二層黏彈性介質(zhì)模型中Rayleigh波頻散曲線“交叉”現(xiàn)象以及“交叉”點(diǎn)附近的波動(dòng)特性.結(jié)果表明：與彈性介質(zhì)相比，黏彈性介質(zhì)中Rayleigh波的波動(dòng)特性存在明顯差異，隨著介質(zhì)對(duì)地震波的損耗越來(lái)越強(qiáng)，將導(dǎo)致Rayleigh波頻散曲線發(fā)生“交叉”現(xiàn)象.

關(guān)鍵詞黏彈性介質(zhì)； Rayleigh波； 頻散曲線； 衰減曲線； “交叉”點(diǎn)

1引言

近年來(lái)，面波多道分析技術(shù)(Song et al.，1989；Park et al.，1999；Xia et al.，1999)廣泛應(yīng)用于探測(cè)橫波速度、動(dòng)力學(xué)特征等環(huán)境與工程地球物理領(lǐng)域.該技術(shù)利用譜分析方法提取多道面波記錄中的頻散曲線，結(jié)合面波頻散曲線的正演計(jì)算，繼而反演得到地表橫波速度結(jié)構(gòu).面波頻散曲線的正演以彈性層狀介質(zhì)理論為基礎(chǔ)，然而實(shí)際近地表物質(zhì)具有黏彈性，研究面波在層狀黏彈性介質(zhì)中的傳播特征，將為近地表面波勘探提供有益幫助.

黏彈性介質(zhì)面波傳播特征的研究分兩個(gè)方面.一方面是通過(guò)面波波場(chǎng)正演模擬，在頻率-速度域分析其能量譜特征；另一方面是通過(guò)求解面波頻散方程，分析其頻散和衰減特征.Zhang等(2011)利用偽譜法模擬黏彈性介質(zhì)中Rayleigh波波場(chǎng)，通過(guò)對(duì)比頻散能量譜特征表明，由于黏彈性介質(zhì)的影響，相比彈性介質(zhì)，Rayleigh波頻散曲線存在明顯變化.高靜懷等(2012)使用有限差分法模擬復(fù)雜黏彈性介質(zhì)中的Rayleigh波，指出黏彈性介質(zhì)與彈性介質(zhì)中面波的頻散特性差異顯著，強(qiáng)吸收情況下高階面波能量所占比重較大.Lai和Rix(2002)基于圍道積分和Cauchy留數(shù)定理，發(fā)展了一種求解Rayleigh波頻散方程的方法，但當(dāng)介質(zhì)含低速層時(shí)，利用該方法求解會(huì)出現(xiàn)漏根.Cao和Dong(2010)結(jié)合Muller法和二維Newton法實(shí)現(xiàn)了層狀黏彈性介質(zhì)中Love波頻散方程的快速求解.

英文文獻(xiàn)中將面波相鄰兩條頻散曲線的彼此靠近現(xiàn)象稱為“osculation”現(xiàn)象，在“osculation”點(diǎn)，相鄰兩條頻散曲線的相速度差達(dá)到最小.當(dāng)?shù)乇硐麓嬖诒容^強(qiáng)的波阻抗差異或含有低速夾層時(shí)，Rayleigh波頻散曲線通常會(huì)發(fā)生“osculation”現(xiàn)象(Zhang and Lu，2003；De Nil，2005；Levshin and Panza，2006；Tuan et al.，2011；Boaga et al.，2013).由此可知，頻散曲線“交叉”現(xiàn)象為“osculation”現(xiàn)象的特例，即相鄰兩條頻散曲線彼此交叉，在“交叉”點(diǎn)，相速度差為零.當(dāng)?shù)貙雍退賹訒r(shí)，實(shí)際提取到的Rayleigh波頻散曲線經(jīng)常會(huì)發(fā)生“之”字形回折(張碧星等，2000，2002；魯來(lái)玉等，2006)，而這種現(xiàn)象與頻散曲線“交叉”現(xiàn)象密切相關(guān).楊天春等(2004)通過(guò)計(jì)算表明某些情況下看似相交的頻散曲線實(shí)際上不相交.凡友華等(2007)根據(jù)頻散方程的高頻近似分解公式定義了Rayleigh波的4種基本模式，即R模、S模、R型周期模和S型周期模.劉雪峰等(2009)，Liu和Fan(2012)提出判定頻散曲線相交與否的方法，即如果在加密搜根前后相同頻率的兩個(gè)點(diǎn)之間的相速度差在不斷降低，就說(shuō)明兩條頻散曲線相交，并基于“交叉”點(diǎn)附近的本征位移曲線特征，分析R模和S型周期模之間的耦合現(xiàn)象.本文利用Muller法(Muller，1956；Cao and Dong，2010；張凱，2011)求解層狀黏彈性介質(zhì)中Rayleigh波頻散方程，根據(jù)Rayleigh波衰減曲線的連續(xù)性和本征位移曲線特征，分析其頻散曲線“交叉”現(xiàn)象.

2黏彈性介質(zhì)地震波傳播理論

黏彈性介質(zhì)對(duì)地震波的影響有兩個(gè)方面(Zhou，2009)：(1)振幅衰減——地震波能量的損失致使其振幅隨傳播距離而衰減；(2)速度頻散——應(yīng)力和應(yīng)變的松弛致使地震波速度隨頻率而改變.對(duì)于均勻介質(zhì)，一般用一個(gè)無(wú)量綱的參數(shù)Q衡量平面波振幅衰減和速度頻散，Q即為品質(zhì)因子，它表示一個(gè)周期內(nèi)地震波所損耗的能量與原有能量的比值：

(1)

黏彈性均勻介質(zhì)中平面波傳播在頻率域中表示如下：

(2)

其中U0(ω)為脈沖震源的Fourier變換，x和t分別為傳播距離和時(shí)間，k表示復(fù)波數(shù)：

(3)

其中c(ω)為復(fù)速度，v(ω)為相速度，α(ω)為衰減系數(shù)(單位：m-1).

實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表明，在地震勘探范圍內(nèi)(0.001～100 Hz)Q值幾乎為恒定的(Hardin and Drnevich，1972；Liu et al.，1976；Shibuya et al.，1995).對(duì)于黏彈性介質(zhì)，地震波復(fù)速度可表示為(Lai and Rix，2002)：

(4)

根據(jù)式(3)和(4)可得：

(5)

由于物理介質(zhì)的傳輸響應(yīng)具有因果關(guān)系，復(fù)速度的實(shí)部和虛部必須滿足Kramers-Kr?nig頻散關(guān)系，由此可以得到兩者的一個(gè)顯式關(guān)系(Aki and Richards,2002)：

(6)

其中ωref為參考圓頻率，一般假設(shè)ωref的值為2π，v(ωref)為參考地震波速度.

從式(4)和(6)可以看出，復(fù)速度由參數(shù)v(ωref)和Q

3Muller法

黏彈性水平層狀介質(zhì)中的Rayleigh波頻散方程跟復(fù)波數(shù)k、圓頻率ω以及四組模型參數(shù)——橫波復(fù)速度cS、縱波復(fù)速度cP、密度ρ和地層厚度h有關(guān)，可表示如下：

FR(kj,ω,cS,cP,ρ,h)=0,j=1,2,…,m(ω),

(7)

式中cS=(cS1,cS2,…,cSn)T表示橫波復(fù)速度向量，其中cSi表示第i層的橫波復(fù)速度，n為模型層數(shù)；類似的，cP=(cP1,cP2,…,cPn)T表示縱波復(fù)速度向量；ρ=(ρ1,ρ2,…,ρn)T表示密度向量；h=(h1,h2,…,hn-1)T表示層厚度向量.若給定圓頻率ω以及一組模型參數(shù)(cS,cP,ρ和h)，則有m(ω)個(gè)k值滿足頻散方程(7)，m(ω)是圓頻率的函數(shù).

Muller法是一種迭代方法，給定三個(gè)初始點(diǎn)(k0，F(xiàn)R(k0))、(k1，F(xiàn)R(k1))和(k2，F(xiàn)R(k2))，構(gòu)造一個(gè)拋物線經(jīng)過(guò)這三點(diǎn)，用拋物線函數(shù)的零點(diǎn)作為方程根的近似值.Muller法的迭代公式為(CaoandDong，2010)：

(8)

其中：

(9)

公式(8)中正負(fù)符號(hào)的選擇應(yīng)使得分母的模最大.

當(dāng)精度達(dá)到要求時(shí)，迭代停止.圖1表示利用Muller法求解黏彈性介質(zhì)Rayleigh波頻散和衰減曲線流程示意圖.分為以下幾步：

圖1　Muller法計(jì)算Rayleigh波頻散和衰減曲線流程示意圖

① 設(shè)最大迭代次數(shù)為M(30～50)，n=0，TOL為精度值(10-12)，從最小圓頻率ωmin開始，令ω=ωmin；

④ 令k0=Xj+δi,k1=Xj+1+δi,k2=Xj+2+δi，代入式(8)進(jìn)行迭代；

⑤ 如果迭代次數(shù)小于M且∣k3∣

⑦ 令n=n+1,ω=ωmin+nΔω，進(jìn)入步驟②，進(jìn)行下一個(gè)頻率的計(jì)算，直到所有給定的頻率計(jì)算完畢.

假定第n層半空間的橫波速度vS大于其他層的橫波速度，Rayleigh波基階模式的相速度的變化范圍介于最大和最小的VR之間(VR表示把每層當(dāng)作均勻半空間對(duì)應(yīng)的Rayleigh波相速度)，高階模式的相速度介于最大和最小的vS之間.根據(jù)彈性和黏彈性介質(zhì)的對(duì)應(yīng)原理(Bland，1960)，黏彈性介質(zhì)中Rayleigh波相速度存在的物理范圍與彈性情況類似，但由于體波速度隨頻率而變，所以每次進(jìn)入下一個(gè)頻率點(diǎn)計(jì)算時(shí)都要執(zhí)行步驟②，重新確定波數(shù)范圍.步驟④中δ代表衰減系數(shù)的初值，隨著頻率增高，頻散方程的根受模型第1層的影響變大，為了盡量使初值接近頻散方程的根，本文將第1層Rayleigh波復(fù)波數(shù)的虛部賦值給δ.將第1層當(dāng)作半空間，則Rayleigh波復(fù)波數(shù)滿足方程：

y3-8y2+(24-16(kP/kS)2)y-16(1-(kP/kS)2)=0，y=(kS/k)2.

(10)

三次方程(10)存在三個(gè)根，分別為(Borcherdt，1974)：

j=1,2,3

(11)

其中：

(12)

三個(gè)根中，有且僅有一個(gè)根滿足Rayleigh波的物理?xiàng)l件(Romeo，2001).

為了驗(yàn)證算法的正確性，我們利用Muller法計(jì)算黏彈性均勻半空間(VP=1000m·s-1，QP=30，VS=600m·s-1，QS=15)Rayleigh波的相速度與衰減系數(shù)，并與式(11)解析解進(jìn)行對(duì)比，如圖2所示，兩者一致.

4頻散曲線“交叉”現(xiàn)象

為簡(jiǎn)單起見，本節(jié)中我們將層狀模型設(shè)為二層，并假定地震波速度v和品質(zhì)因子Q在所研究的頻率范圍內(nèi)是恒定的.由黏彈性介質(zhì)理論可知該假定并不失一般性.參考Levshin和Panza(2006)給出的彈性二層模型，表1給出四種二層模型，四種模型中僅品質(zhì)因子取值不同.該地質(zhì)模型代表基巖上覆蓋有一層第四系松散沉積層，兩者波阻抗差異較大，基巖的波阻抗為松散沉積層波阻抗的3倍.根據(jù)巖石的物理性質(zhì)，松散沉積物對(duì)地震波的衰減強(qiáng)于基巖對(duì)地震波的衰減，即松散沉積物的Q值小于基巖的Q值.根據(jù)黏彈性介質(zhì)理論和巖石實(shí)驗(yàn)測(cè)試表明，巖石對(duì)橫波的衰減強(qiáng)于對(duì)縱波的衰減，即巖石中橫波的Q值小于縱波的Q值.因此表1給出的巖石衰減特征并不失一般性，模型Ⅰ品質(zhì)因子很大，可近似看作彈性介質(zhì)，模型Ⅱ到模型Ⅳ品質(zhì)因子依次減小，即表示黏彈性介質(zhì)對(duì)地震波能量的損耗越來(lái)越強(qiáng).

圖2　黏彈性半空間中Muller法計(jì)算結(jié)果與理論值的對(duì)比：(a)相速度，(b)衰減系數(shù)

模型類型層位h(m)VS(m·s-1)QSVP(m·s-1)QPρ(g·cm-3)模型Ⅰ110500100×101000100×151.80半空間∞1500100×203000100×301.80模型Ⅱ1105002.0×1010002.0×151.80半空間∞15002.0×2030002.0×301.80模型Ⅲ1105001.5×1010001.5×151.80半空間∞15001.5×2030001.5×301.80模型Ⅳ110500101000151.80半空間∞1500203000301.80

一般地，層狀黏彈性介質(zhì)模型中Rayleigh波頻散和衰減曲線都是連續(xù)曲線，我們據(jù)此判斷頻散曲線是否相交.利用Muller法分別得到表1中四種模型Rayleigh波的頻散和衰減曲線，如圖3—6所示.由Muller法求解出頻散方程的根是按照相速度由小到大排列的，第1組根對(duì)應(yīng)基階模式，第2組根對(duì)應(yīng)第一高階模式，依次類推.選取其中的第1和第2組根進(jìn)行分析.由Rayleigh波頻散曲線連續(xù)的性質(zhì)可知，頻散曲線圖3a和4a中曲線A和曲線A′組成一條連續(xù)曲線，曲線B和曲線B′組成另一條連續(xù)曲線，即曲線A和曲線A′為同一模式，曲線B和曲線B′為同一模式.由第2組根所組成的頻散曲線AA′與第1組根所組成的頻散曲線BB′彼此并沒(méi)有相交.因此，近似彈性介質(zhì)模型Ⅰ和黏彈性模型Ⅱ中并沒(méi)有發(fā)生頻散曲線“交叉”現(xiàn)象.由此可知在相應(yīng)的衰減曲線圖3b和4b中，曲線AA′為同一模式，曲線BB′為同一模式.由Rayleigh波衰減曲線連續(xù)的性質(zhì)可以斷定，衰減曲線AA′和BB′彼此相交，衰減曲線的交叉點(diǎn)即為“osculation”點(diǎn).“osculation”現(xiàn)象產(chǎn)生的主要原因是因?yàn)榻橘|(zhì)中同時(shí)存在幾種不同類型的導(dǎo)波或者相同的導(dǎo)波中存在弱耦合波場(chǎng)(Levshin and Panza，2006).在“osculation”點(diǎn)附近，Rayleigh波相鄰模式對(duì)應(yīng)的垂直分量的振幅急劇減小(Boaga et al.，2013).由圖3a和4a可見，相鄰模式的Rayleigh波頻散曲線在“osculation”點(diǎn)交換彼此的梯度(De Nil，2005).

通過(guò)依次減小Q值，得到圖5和6所示Rayleigh波的頻散和衰減曲線.由Rayleigh波衰減曲線連續(xù)的性質(zhì)可知，衰減曲線圖5b和6b中曲線A和曲線B′組成一條連續(xù)曲線，曲線B和曲線A′組成另一條連續(xù)曲線，即曲線A和曲線B′為同一模式，曲線B和曲線A′為同一模式.由此可知，在相應(yīng)的頻散曲線圖5a和6a中，曲線AB′為同一模式，曲線BA′為同一模式.由Rayleigh波頻散曲線連續(xù)的性質(zhì)可以 斷定，頻散曲線AB′與BA′彼此相交.因此，黏彈性介質(zhì)模型Ⅲ和Ⅳ中存在頻散曲線“交叉”現(xiàn)象.另外，對(duì)比圖5b和6b，隨著Q值越來(lái)越小，衰減曲線AB′與BA′在“交叉”點(diǎn)對(duì)應(yīng)的頻率處彼此分離得越來(lái)越遠(yuǎn).

圖3　模型Ⅰ中Rayleigh波頻散(a)和衰減曲線(b)

圖5　模型Ⅲ中Rayleigh波頻散(a)和衰減曲線(b)

圖6　模型Ⅳ中Rayleigh波頻散(a)和衰減曲線(b)

我們利用廣義反射-透射系數(shù)法計(jì)算面波頻散曲線上每一點(diǎn)對(duì)應(yīng)的本征位移曲線來(lái)分析Rayleigh波的波動(dòng)特性(Chen，1993).細(xì)分頻率后可知，圖3中衰減曲線和圖6中頻散曲線的交點(diǎn)均介于19.8 Hz和20.1 Hz之間.圖7和8分別給出模型Ⅰ和Ⅳ頻散曲線中19.8 Hz和20.1 Hz的本征位移隨深度的變化曲線，其中本征位移為垂直和水平分量絕對(duì)值分別與對(duì)應(yīng)的垂直分量絕對(duì)值的比值.對(duì)于近彈性模型Ⅰ，圖3中曲線B和曲線B′為同一模式，對(duì)應(yīng)的圖7a與7b中本征位移波動(dòng)特性相似，而曲線A和曲線A′為同一模式，對(duì)應(yīng)的圖7c與7d中本征位移波動(dòng)特性相似.對(duì)于黏彈性模型Ⅳ，圖6中曲線B和曲線A′為同一模式，對(duì)應(yīng)的圖8a與8d中本征位移波動(dòng)特性相似，而曲線A和曲線B′為同一模式，對(duì)應(yīng)的圖8c與8b中本征位移波動(dòng)特性相似.對(duì)比圖7和8可知，與彈性介質(zhì)相比，黏彈性介質(zhì)中Rayleigh波的波動(dòng)特性存在明顯差異.

在對(duì)應(yīng)的彈性模型中，由理論地震記錄生成的頻散能量譜可知(Ivanov et al.，2013)，當(dāng)頻率小于“osculation”頻率時(shí)，大部分能量集中在曲線A(第一高階)，而當(dāng)頻率大于“osculation”頻率時(shí)，大部分能量停留在曲線B′(基階).實(shí)際由地震記錄提取的頻散曲線為AB′，將AB′當(dāng)作基階(曲線BB′)進(jìn)行反演會(huì)造成對(duì)基巖橫波速度的過(guò)高估計(jì).對(duì)于衰減比較強(qiáng)的黏彈性模型，實(shí)際提取的頻散曲線AB′成為同一模式，對(duì)曲線AB′進(jìn)行反演將會(huì)得到正確的橫波速度結(jié)構(gòu).值得注意的是，實(shí)際資料中提取的頻散曲線并不能判定“osculation”頻率，這需要結(jié)合多分量地震數(shù)據(jù)，分析Rayleigh波極化橢圓率的變化特征與“osculation”頻率的關(guān)系，據(jù)此判定是否產(chǎn)生“osculation”現(xiàn)象以及估測(cè)“osculation”頻率(Boaga et al.，2013).

5結(jié)論與討論

本文利用Muller法計(jì)算層狀黏彈性介質(zhì)Rayleigh波頻散方程，通過(guò)對(duì)二層模型中Rayleigh波頻散和衰減曲線連續(xù)性分析，并結(jié)合本征位移曲線特征的研究，結(jié)果表明與彈性介質(zhì)相比，黏彈性介質(zhì)中Rayleigh波的波動(dòng)特性存在明顯差異，隨著Q值越來(lái)越小，即介質(zhì)對(duì)地震波的損耗越來(lái)越強(qiáng)，將導(dǎo)致Rayleigh波頻散曲線發(fā)生“交叉”現(xiàn)象.

巖石的Q值能夠?yàn)閹r性、物性及巖石飽和度等研究提供信息，實(shí)際介質(zhì)中，尤其近地表介質(zhì)，品質(zhì)因子Q值可能會(huì)非常小，黏彈性介質(zhì)對(duì)Rayleigh波波動(dòng)特性的影響將更加明顯.因此，有必要進(jìn)一步開展黏彈性介質(zhì)中利用面波衰減信息反演介質(zhì)品質(zhì)因子的研究.另外，由于層狀黏彈性介質(zhì)中頻散方程的根為復(fù)數(shù)，我們可以在XYZ三維坐標(biāo)系統(tǒng)中考慮復(fù)波數(shù)隨頻率的變化曲線，令復(fù)波數(shù)的實(shí)部為Y軸，復(fù)波數(shù)的虛部為Z軸，自變量頻率為X軸.則求解的每一個(gè)復(fù)根都對(duì)應(yīng)三維坐標(biāo)空間中一個(gè)點(diǎn)，Rayleigh波頻散和衰減曲線合并為三維坐標(biāo)系統(tǒng)中的一條連續(xù)光滑曲線.在這種意義下四種模型中相鄰兩條三維曲線并沒(méi)有彼此相交，但對(duì)于比較小的Q值模型Ⅲ和Ⅳ來(lái)說(shuō)，相鄰兩條三維曲線在“osculation”點(diǎn)發(fā)生彼此交換現(xiàn)象.

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(本文編輯何燕)

基金項(xiàng)目中國(guó)地質(zhì)科學(xué)院地球物理地球化學(xué)勘查研究所基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金項(xiàng)目(AS2013J05)資助.

作者簡(jiǎn)介張凱，男，1985年生，2011年于中國(guó)地質(zhì)大學(xué)(武漢)獲得工學(xué)碩士，主要從事近地表地震勘探和復(fù)雜介質(zhì)中面波研究. E-mail: naturekai@126.com

doi:10.6038/cjg20160319 中圖分類號(hào)P631,P315

收稿日期2014-09-29，2015-02-25收修定稿

Analysis on the cross of Rayleigh-wave dispersion curves in viscoelastic layered media

ZHANG Kai,ZHANG Bao-Wei,LIU Jian-Xun,XU Ming-Cai

InstituteofGeophysical&GeochemicalExploration,ChineseAcademyofGeologicalSciences,HebeiLangfang065000,China

AbstractThe Rayleigh-wave method,which is based on the elastic layered system theory,is one of the most widely used techniques in environmental and engineering geophysics to determine shear-wave velocities and dynamic properties.Wave propagation in the Earth,however,has been recognized as viscoelastic.Therefore,it is important to study propagation characteristics of Rayleigh waves in viscoelastic layered media to improve surface wave exploration in the field.It is well known as the osculation phenomenon which causes two adjacent dispersion curves to get very close to each other in certain types of elastic layered models (e.g.in presence of low-velocity layers and strong impedance contrasts).However,there is no related research about this phenomenon in viscoelastic layered media.We introduce the Muller method to calculate the Rayleigh secular function in viscoelastic layered media.Based on the continuity of Rayleigh-wave dispersion and attenuation curves in layered media,we analyze the cross of Rayleigh-wave dispersion curves in normally dispersive two-layer models.Then we study the oscillation characteristics of Rayleigh-wave dispersion curves in the vicinity of “cross” points by eigendisplacement curves.Results demonstrate that the oscillation characteristics of Rayleigh waves have substantial differences in viscoelastic media compared with elastic media.Rayleigh-wave dispersion curves cross each other even in some normal models due to the effects of the increasingly strong dissipation in viscoelastic media,which does not occur in the elastic case.

KeywordsViscoelastic media; Rayleigh waves; Dispersion curve; Attenuation curve; “Cross” point

張凱，張保衛(wèi)，劉建勛等.2016.層狀黏彈性介質(zhì)中Rayleigh波頻散曲線“交叉”現(xiàn)象分析.地球物理學(xué)報(bào)，59(3):972-980,doi:10.6038/cjg20160319.

Zhang K,Zhang B W,Liu J X,et al.2016.Analysis on the cross of Rayleigh-wave dispersion curves in viscoelastic layered media.Chinese J.Geophys.(in Chinese),59(3):972-980,doi:10.6038/cjg20160319.