◇　河北　李文惠

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通法研究

運(yùn)用“弦長(zhǎng)公式”優(yōu)化解題策略

◇河北李文惠

圓錐曲線是高考數(shù)學(xué)必考內(nèi)容之一,它一直扮演著讓學(xué)生“談虎色變”的角色,尤其是解答題的第2問(wèn)或第3問(wèn),許多同學(xué)對(duì)此倍感困難乃至無(wú)從下筆．由于橢圓、雙曲線、拋物線3者之間有許多共同的性質(zhì),而這些共性也常常成為考題命制的背景和源泉，因此,在平時(shí)的解題訓(xùn)練中,同學(xué)們一定要有意識(shí)地培養(yǎng)自己解題反思的習(xí)慣、發(fā)展變式拓展的思維,逐漸提高解決問(wèn)題的能力和良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．

在解圓錐曲線綜合問(wèn)題時(shí),同學(xué)們常遇到這種情況:感覺(jué)方法是對(duì)的,但最后為什么算不下去?究其原因:解題思維沒(méi)有做到合理的優(yōu)化.

(1) 求橢圓方程;

(2) 斜率為k的直線l過(guò)點(diǎn)F,且與橢圓交于A、B2點(diǎn),P為直線x=3上的一點(diǎn),若△ABP為等邊三角形,求直線l的方程.

幾何問(wèn)題代數(shù)化是處理解析幾何問(wèn)題的常用策略,解題中既可以將幾何問(wèn)題直接代數(shù)化,也可先把幾何問(wèn)題利用幾何方法進(jìn)行適度簡(jiǎn)化,再代數(shù)化.通常前者思維量小，但計(jì)算量大;后者計(jì)算量小，但思維量大．

圖1

代數(shù)化的主要途徑是:設(shè)出直線與橢圓的2個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo),將直線方程與橢圓方程聯(lián)立,代入消元得含x或y的一元二次方程,由直線與橢圓有2個(gè)交點(diǎn),則一元二次方程有2個(gè)實(shí)根,即判別式大于0,再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系得2交點(diǎn)的橫坐標(biāo)(縱坐標(biāo))之和、積與直線斜率之間的關(guān)系．再根據(jù)題意結(jié)合平面幾何圖形的相關(guān)性質(zhì),列出關(guān)系式求解即可.

對(duì)于第(2)問(wèn)部分同學(xué)的解題思路是:

設(shè)AB的中點(diǎn)為M(x0,y0)，可得

也有同學(xué)想到利用等邊三角形的性質(zhì)

當(dāng)然從解題思維來(lái)看第2種思路明顯要優(yōu)于第1種思路,但為何仍無(wú)法求解呢?在第2種思維的基礎(chǔ)上能否將其進(jìn)一步優(yōu)化?

思維受阻的原因是受到弦長(zhǎng)公式中“弦長(zhǎng)”二字的局限．提到弦長(zhǎng)公式,我們主觀上一直認(rèn)為是直線被曲線所截的兩點(diǎn)A、B間的距離,其實(shí)則不然,對(duì)于一條直線上任意不重合的2個(gè)點(diǎn)之間的距離,都可以利用此公式求．

圓錐曲線的運(yùn)算問(wèn)題不僅涉及圓錐曲線的定義、方程、幾何性質(zhì),還可以與函數(shù)、方程、不等式、三角、平面向量等知識(shí)交會(huì),綜合性強(qiáng),能力要求高,成為歷年高考格外關(guān)注的熱點(diǎn)．這就要求我們?cè)谔幚韱?wèn)題時(shí)既要“大處著眼”,即在整體上把握問(wèn)題的綜合信息和處理問(wèn)題的數(shù)學(xué)思想,又要“小處著手”,即在細(xì)節(jié)上能熟練運(yùn)用各種數(shù)學(xué)方法與技巧．因此掌握一些簡(jiǎn)化圓錐曲線運(yùn)算的策略,對(duì)優(yōu)化解題過(guò)程、提高運(yùn)算效率大有裨益．

通過(guò)上述分析,筆者建議同學(xué)們?cè)诮獯饒A錐曲線問(wèn)題時(shí)可從以下幾方面來(lái)著手: 1)熟悉常見(jiàn)模型; 2)熟練掌握?qǐng)A錐曲線問(wèn)題中常見(jiàn)的基本方法和基本技巧; 3)認(rèn)真審題,理清題中的基本關(guān)系和內(nèi)在結(jié)構(gòu); 4)善于發(fā)現(xiàn)利用; 5)加強(qiáng)代數(shù)運(yùn)算、變形能力; 6)盡量使用原始數(shù)據(jù); 7)增強(qiáng)自信心.

在解題時(shí)若能適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用上述策略，對(duì)優(yōu)化解題過(guò)程、簡(jiǎn)化圓錐曲線運(yùn)算起著很大的作用，從而使解題過(guò)程更加優(yōu)美、簡(jiǎn)潔.

(作者單位：河北省灤平縣第一中學(xué))