伍仕屹

(貴州大學(xué)理學(xué)院，貴州　貴陽　550025)

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短時(shí)間序列集的一種預(yù)測調(diào)和方法

伍仕屹

(貴州大學(xué)理學(xué)院，貴州貴陽550025)

摘要：由于互聯(lián)網(wǎng)以及大數(shù)據(jù)產(chǎn)業(yè)的高速發(fā)展，各行業(yè)產(chǎn)生了大量的短時(shí)間序列數(shù)據(jù)。因此，對這些數(shù)據(jù)進(jìn)行分析進(jìn)而預(yù)測其未來趨勢成為了重要的生產(chǎn)和管理的手段。短時(shí)間序列以單個序列的觀測數(shù)量少為特征，是時(shí)間序列分析的一個難點(diǎn)。如果預(yù)測對象是短時(shí)間序列數(shù)據(jù)集，就可以利用其總量的預(yù)測值去調(diào)節(jié)各分量的預(yù)測值。文章提出了一種時(shí)間序列的預(yù)測調(diào)和方法，并通過此方法去調(diào)節(jié)ARIMA模型對一個短時(shí)間序列數(shù)據(jù)集的建模預(yù)測結(jié)果，與ARIMA的預(yù)測結(jié)果相比，調(diào)和后的預(yù)測精度得到了提高。

關(guān)鍵詞：時(shí)間序列，ARIMA，預(yù)測，調(diào)和方法

0引言

近年來，隨著互聯(lián)網(wǎng)的頻繁使用和大數(shù)據(jù)產(chǎn)業(yè)的快速發(fā)展，新技術(shù)與新產(chǎn)品層出不窮，這使得許多企業(yè)在生產(chǎn)中產(chǎn)生了大量時(shí)間長度較短的數(shù)據(jù)，如何利用這些短時(shí)間序列數(shù)據(jù)產(chǎn)生價(jià)值就成了推進(jìn)各行業(yè)發(fā)展的重要手段。經(jīng)典時(shí)間序列分析方法是建立在數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)之上的方法體系，這就隱含了一個條件，即樣本量是充分的。ARIMA模型[1]使用在很多歷史數(shù)據(jù)充分的時(shí)間序列上都有很好的預(yù)測效果，在Engle、Granger、湯家豪等學(xué)者的完善下，時(shí)間序列的分析方法發(fā)展到了一個成熟的階段。但在短時(shí)間序列分析方法的研究上的文獻(xiàn)卻很少，這也是因?yàn)槎虝r(shí)間序列的特點(diǎn)造成了很難捕捉其規(guī)律性，在時(shí)間序列分析中數(shù)據(jù)信息的不足或缺失都一直是預(yù)測的一個難點(diǎn)。

而在現(xiàn)實(shí)生活中，特別是在企業(yè)的生產(chǎn)管理中，短時(shí)間序列的產(chǎn)生要比序列較長的時(shí)間序列普遍。一方面，在互聯(lián)網(wǎng)高速發(fā)展下的信息時(shí)代，企業(yè)產(chǎn)品的生命周期縮短，這也促使生產(chǎn)和管理的周期被壓縮；另一方面，收集長期且完整的時(shí)間序列數(shù)據(jù)要花費(fèi)更多的人力資源和投入更多的技術(shù)以支撐，這增加了企業(yè)的成本。還有就是在預(yù)測對象更新?lián)Q代較快的情況下，離現(xiàn)在時(shí)間較遠(yuǎn)的歷史數(shù)據(jù)，其所含信息對現(xiàn)在的影響相對較小，利用價(jià)值不大，如果利用甚至還會造成錯誤的規(guī)律導(dǎo)向。因此，盡可能地挖掘出短時(shí)間序列的價(jià)值就成了各行業(yè)的一個迫切需求。

在實(shí)際生產(chǎn)中，短時(shí)間序列一般會大量出現(xiàn)，形成短時(shí)間數(shù)據(jù)集。比如，一家企業(yè)上市了一年的新產(chǎn)品，新產(chǎn)品的種類有幾十種，產(chǎn)品的銷量數(shù)據(jù)就會形成幾十個短時(shí)間序列數(shù)據(jù)集；一個商家有幾千個客戶，每個客戶在短期內(nèi)的購買數(shù)據(jù)就會形成大量的短時(shí)間數(shù)據(jù)集。很多個短時(shí)間序列收集在一起，在一定程度上就彌補(bǔ)了單個短時(shí)間序列信息量少的缺點(diǎn)，在進(jìn)行時(shí)間序列預(yù)測時(shí)我們就能通過數(shù)據(jù)集的形式對單個序列進(jìn)行調(diào)和。

1經(jīng)典時(shí)間序列分析理論

常用的隨機(jī)時(shí)序分析方法分為平穩(wěn)時(shí)間序列分析和非平穩(wěn)時(shí)間序列分析，而平穩(wěn)的時(shí)間序列模型包括自回歸(AR)模型、移動平均(MA)模型和自回歸移動平均(ARMA)模型；非平穩(wěn)時(shí)間序列模型為求和自回歸移動平均(ARIMA)模型，實(shí)際上ARIMA模型整合了平穩(wěn)時(shí)間序列模型的特性，可以將平穩(wěn)時(shí)間序列的三類模型看成是ARIMA模型的特例[2]。

1.1自回歸AR模型

模型的結(jié)構(gòu)如下：

(1)

稱為P階自回歸模型，簡記AR(p)，即時(shí)間序列的現(xiàn)在值Xt可以表示為它的先前值和隨機(jī)擾動項(xiàng)εt的線性組合函數(shù)。

當(dāng)φ0=0時(shí)，自回歸模型公式(1)稱為中心化(AR)模型。非中心化AR(p)序列都可以通過平移變換轉(zhuǎn)化為AR(p)序列。

引進(jìn)延遲算子B(xt-1=Bxt)，中心化(AR)模型又可簡記為：

Φ(B)xt=εt

1.2移動平均(MA)模型

模型的結(jié)構(gòu)如下：

(2)

稱為q階移動平均模型，簡記(MA)，即時(shí)間序列Xt是現(xiàn)在和過去的誤差或沖擊值εt的線性組合函數(shù)。

xt=Θ(B)εt

1.3自回歸移動平均ARMA模型

模型的結(jié)構(gòu)如下：

(3)

其中p，q分別為自回歸移動平均的階數(shù)，簡記ARMA(p，q)[4]，即時(shí)間序列值Xt是現(xiàn)在和過去的誤差或沖擊值εt以及先前序列Xt-1的線性組合。實(shí)數(shù)(φ1，φ2，…，φp)稱為自回歸系數(shù)，實(shí)數(shù)(θ1，θ2，…，θq)稱為移動平均系數(shù)，特殊地，若p=0，此模型即為MA模型，q=0時(shí)，模型為AR模型。模型包含的限制條件與AR(p)相同。模型公式(3)的中心化形式為：

Φ(B)xt=Θ(B)εt

1.4求和自回歸移動平均ARIMA模型

在總結(jié)前人研究成果的基礎(chǔ)上，1970年Box和Jenkins聯(lián)合出版了《Time Series Analysis：Forecasting and Control》[3]一書，開啟了非平穩(wěn)時(shí)間序列分析的篇章，書中系統(tǒng)地闡述了ARIMA模型，其模型結(jié)構(gòu)如下[5]：

Φ(B)dxt=Θ(B)εt

2至上而下的預(yù)測調(diào)和方法

在實(shí)際生產(chǎn)中，短時(shí)間序列一般會大量出現(xiàn)，形成短時(shí)間數(shù)據(jù)集。比如，一家企業(yè)上市了一年的新產(chǎn)品，新產(chǎn)品的種類有幾十種，產(chǎn)品的銷量數(shù)據(jù)就會形成幾十個短時(shí)間序列數(shù)據(jù)集；一個商家有幾千個客戶，每個客戶在短期內(nèi)的購買數(shù)據(jù)就會形成大量的短時(shí)間數(shù)據(jù)集。對一個短時(shí)間序列集，如果對其總量和每一個序列的預(yù)測值都進(jìn)行預(yù)測，然后通過預(yù)測的總量對每一個序列的預(yù)測值進(jìn)行調(diào)節(jié)，這就稱為至上而下的調(diào)節(jié)方法[7]。對短時(shí)間序列來講，由于信息量少，其表現(xiàn)出的規(guī)律很難被捕捉到，而收集的數(shù)據(jù)有時(shí)候還會出現(xiàn)缺失值或異常值的情形。對一個表現(xiàn)出相似規(guī)律的短時(shí)間數(shù)據(jù)集，相比較而言，其總量表現(xiàn)出的規(guī)律性會較單個序列明顯，在一定程度上還能減輕缺失值或異常值所造成的影響。

以下是貴陽龍洞堡機(jī)場2014年4月各變電站用電量以天為時(shí)間顆粒度的時(shí)間序列數(shù)據(jù)及趨勢圖。

表1　各變電站4月電量數(shù)據(jù)

現(xiàn)用的ARIMA建模方法[6]對以上9個時(shí)間序列進(jìn)行建模并預(yù)測，以4月1日到4月24的數(shù)據(jù)作為建模數(shù)據(jù)，用4月25日到4月30日的數(shù)據(jù)作為檢驗(yàn)數(shù)據(jù)，以相對誤差檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷木?。預(yù)測結(jié)果如下圖1所示。

表2　ARIMA模型的預(yù)測結(jié)果

日 期南區(qū)開閉所電量ARIMA(0,1,1)北區(qū)開閉所電量ARIMA(0,1,2)航站樓B站電量ARIMA(0,1,1)真實(shí)值預(yù)測值相對誤差真實(shí)值預(yù)測值相對誤差真實(shí)值預(yù)測值相對誤差2014/4/2543234204.990.02737274137.820.1102666728648.930.0742014/4/2643124170.610.03338754021.270.0382808128724.970.0232014/4/2738504136.230.07435994018.280.1172680128801.020.0752014/4/2845684101.850.10238184015.290.0522643128877.070.0932014/4/2942084067.470.03337544012.310.0692503628953.110.1562014/4/3041504033.080.02837674009.320.0642693729029.160.078平均相對誤差0.050平均相對誤差 0.075 平均相對誤差 0.083

續(xù)表2

日 期航站樓C站電量ARIMA(1,1,1)航管樓電量ARIMA(0,1,1)總電量ARIMA(1,1,1)真實(shí)值預(yù)測值相對誤差真實(shí)值預(yù)測值相對誤差真實(shí)值預(yù)測值相對誤差2014/4/251089911004.200.01039004327.870.1108829686313.120.0222014/4/261128211362.060.00738404357.360.1359223086188.930.0662014/4/271006511610.210.15438804386.860.1318399585999.570.0242014/4/281007811796.750.17138004416.350.1628643585787.060.0072014/4/29930411948.690.28438804445.850.1468658285566.300.0122014/4/301067712081.200.13240004475.340.1198865185342.630.037平均相對誤差0.126平均相對誤差0.134 平均相對誤差0.028

圖1　各變電站4月電量趨勢圖

從預(yù)測結(jié)果不難看出，不管是每個點(diǎn)的相對誤差還是平均相對誤差，總量預(yù)測效果都是最優(yōu)異的，這符合之前提出的觀點(diǎn)。下面介紹一種通過總量自上而下調(diào)節(jié)分量的方法，假設(shè){X1，X2，…，XN}為一個時(shí)間序列集，{F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)N}為相對應(yīng)的預(yù)測集序列，其中Fi=(fi1，fi2，…，fin)(i=1，2，…，N)，Z=(z1，z2，…，zn)為總量所對應(yīng)的預(yù)測值序列，{R1，R2，…，RN}為通過分?jǐn)偙壤{(diào)節(jié)后的預(yù)測集序列，其中Ri=(ri1，ri2，…，rin)，則：

以上例來講，X1為1號站在4月1日至4月24日的電量序列，F(xiàn)1為對應(yīng)的4月25日至4月30日的預(yù)測值集，Z為總量在4月25日至4月30日的預(yù)測值集，R1就為1號站的原預(yù)測值集F1通過x2調(diào)節(jié)后的預(yù)測值集。

下面利用此調(diào)節(jié)方法對每一個變電站的電量預(yù)測值進(jìn)行調(diào)和。調(diào)節(jié)的結(jié)果如表3。

表3　調(diào)節(jié)前后的預(yù)測結(jié)果對比

通過觀察前后的預(yù)測結(jié)果，在8個電站中，只有1號站和南區(qū)開閉所的平均相對誤差有所提升，平均提升幅度為3.6 %，A站的預(yù)測精度基本保持不變，而其余的5個電站的平均相對誤差都有較明顯地降低，平均降低的幅度為4.3 %。此結(jié)果說明，自上而下的調(diào)節(jié)方法對預(yù)測的結(jié)果有明顯改善。

如果短時(shí)間序列集的個數(shù)較多，比如有幾百個甚至幾萬個，這時(shí)可以先將所有的序列按某種指標(biāo)進(jìn)行分類，然后再按照每一個分好類的序列集的總量對每個類的序列進(jìn)行調(diào)節(jié)，例如，上例中可以將電量作為10 000 kW / h分類指標(biāo)，則可以將產(chǎn)生電量大于10 000 kW / h的電站分為一類，小于這個指標(biāo)的分為一類。這樣做的好處在于，如果分類的方法切合序列的某一特性，那么每一種分類的總量序列就更能體現(xiàn)這一類序列的規(guī)律性，有利于在預(yù)測中捕捉其規(guī)律性，進(jìn)而提升預(yù)測精度。在處理調(diào)節(jié)預(yù)測結(jié)果時(shí)，還會遇到序列出現(xiàn)多層級的關(guān)系[9]，比如一種在全球都有銷售的產(chǎn)品，從全球的范圍到每一個代理商，中間會出現(xiàn)多個層級，這時(shí)對于預(yù)測對象來說，上層的個數(shù)就不止一個，要運(yùn)用哪一個層級的總量去調(diào)節(jié)就要根據(jù)具體情況來選擇。

3結(jié)束語

短時(shí)間序列以單個序列的觀測數(shù)量少為特征，是時(shí)間序列分析的一個難點(diǎn)。無論是統(tǒng)計(jì)方法，還是數(shù)據(jù)挖掘的方法，都很難找到一個針對短時(shí)間序列預(yù)測的有效方法。而如果預(yù)測對象是短時(shí)間序列集，我們就可以利用其總量去調(diào)節(jié)單個序列的預(yù)測值，從而改善其預(yù)測精度。本文提出的時(shí)間序列預(yù)測的自上而下調(diào)和方法，在一定程度上能夠提高短時(shí)間序列預(yù)測的精度，這種方法可以配合任何時(shí)間序列模型使用，具有良好的適應(yīng)性。

在時(shí)間序列預(yù)測中，通過序列集的總量去調(diào)和分量的方法不只一種，本文所提到的分?jǐn)偙壤姆椒ㄊ蔷珳?zhǔn)度較高和適用性較強(qiáng)的一種。根據(jù)序列和預(yù)測模型的不同特性還可以選擇其它的調(diào)和方法，比如等分的調(diào)和方法[10]等。

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收稿日期：2016-03-11；修回日期：2016-03-25

作者簡介：伍仕屹(1987-)，男，貴州大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系碩士研究生。研究方向：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)。

中圖分類號：O01，O212.1

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1003-6563(2016)03-0056-05

A forecasting adjustment method for the set of short time series

WU Shiyi

(GuizhouUniversity，CollegeofScience，Guiyang550025，China)

Abstract：Along with the flourishing development of the industry of the Internet and Big data，the short time series data appears in various fields.Therefore，analyzing these short time series data and forecasting its future trend is crucial for our production and management.The short time series characterized by small amount data of single time series is difficult for time series analysis.However，the forecasting series is a set of short time series，and we can adjust the forecast results of single series through the forecast results of total amount data.In the paper，a forecasting adjustment method for time series is proposed with using the method to adjust the forecasting results through modeling a set of short time series by ARIMA model.The forecast accuracy has been adjusted for improving ARIMA model.

Keywords：time series，ARIMA，forecasting，adjustment method