孟鵬飛，張廣明，歐陽(yáng)慧珉

(南京工業(yè)大學(xué) 電氣工程與控制科學(xué)學(xué)院，南京 211816)

磁軸承因無(wú)磨損、無(wú)潤(rùn)滑、高轉(zhuǎn)速、能適應(yīng)苛刻環(huán)境等特點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于醫(yī)療、高精密度機(jī)械制造、真空和潔凈空間系統(tǒng)等領(lǐng)域。然而，其多變量、非線性、強(qiáng)耦合等特點(diǎn)使得系統(tǒng)控制器設(shè)計(jì)成為長(zhǎng)期研究的熱點(diǎn)和難點(diǎn)。

目前為止，國(guó)內(nèi)外專(zhuān)家學(xué)者已經(jīng)提出了多種控制策略。文獻(xiàn)[1]分析了磁軸承的PID控制中系統(tǒng)超調(diào)的原因，提出引入提前重置PID控制。文獻(xiàn)[2]通過(guò)使用Lyapunov函數(shù)方法、線性矩陣不等式(LMI)方法和并行分布補(bǔ)償(PDC)方法，導(dǎo)出了相應(yīng)的穩(wěn)定性條件及H∞控制器的設(shè)計(jì)方法。文獻(xiàn)[3]在考慮模型的不確定性和外界干擾的情況下設(shè)計(jì)了系統(tǒng)的H∞控制器，提出了H∞回路成形設(shè)計(jì)方法，該方法可以通過(guò)在控制器中引入第2個(gè)自由度，并將其形式化描述為一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)H∞優(yōu)化問(wèn)題而得到擴(kuò)展，容許在魯棒鎮(zhèn)定和閉環(huán)模型匹配之間進(jìn)行折衷，該結(jié)構(gòu)在控制器實(shí)現(xiàn)方面有很多優(yōu)點(diǎn)。文獻(xiàn)[4]對(duì)互質(zhì)因子進(jìn)行了較詳盡的分析，指出了互質(zhì)因子攝動(dòng)與系統(tǒng)魯棒性間的關(guān)系。文獻(xiàn)[5]研究一種系統(tǒng)化的回路成形離散控制器優(yōu)化方法，有效規(guī)避離散化逼近誤差的影響。已有的H∞控制在磁軸承中的應(yīng)用研究方面存在以下問(wèn)題：對(duì)于磁軸承模型強(qiáng)制解耦，沒(méi)有分析其慣性耦合與陀螺效應(yīng)的影響；對(duì)模型的非線性攝動(dòng)估計(jì)不足，模型不夠精確；多數(shù)采用H∞混合靈敏度對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行權(quán)函數(shù)設(shè)計(jì)，較少采用H∞回路成形法對(duì)模型進(jìn)行擴(kuò)展。

鑒于此，下文分析磁軸承轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型和其在高速運(yùn)轉(zhuǎn)下陀螺效應(yīng)的影響，對(duì)模型進(jìn)行簡(jiǎn)化和修正；采用α階逆系統(tǒng)理論對(duì)模型進(jìn)行線性解耦，減少慣性耦合對(duì)系統(tǒng)的影響；研究轉(zhuǎn)子起浮時(shí)的最大非線性攝動(dòng)，使磁軸承的攝動(dòng)模型更加精確；在磁軸承H∞控制基礎(chǔ)上，對(duì)原有模型進(jìn)行回路成形設(shè)計(jì)，從而使魯棒控制器的設(shè)計(jì)更加便捷有效。

1 磁懸浮系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

1.1 系統(tǒng)組成及其工作原理

軸承-轉(zhuǎn)子受力示意圖如圖1所示。fxa,fya分別為轉(zhuǎn)子左端沿x,y軸受到的電磁力；fxb,fyb分別為轉(zhuǎn)子右端沿x,y軸受到的電磁力；xa,ya分別為轉(zhuǎn)子左端沿x,y軸方向位移；xb,yb分別為轉(zhuǎn)子右端沿x,y軸方向位移;xc,yc分別為轉(zhuǎn)子質(zhì)心沿x,y軸方向位移；ixa,iya分別為轉(zhuǎn)子左端x，y軸方向輸入電流；ixb，iib分別為轉(zhuǎn)子右端x,y軸方向輸入電流；θx，θy分別為轉(zhuǎn)子繞質(zhì)心處x,y軸轉(zhuǎn)角；ω為轉(zhuǎn)子繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)角速度；其他相關(guān)參數(shù)見(jiàn)表1。

圖1 軸承-轉(zhuǎn)子受力示意圖

表1 軸承和轉(zhuǎn)子參數(shù)

1.2 轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)分析

通過(guò)對(duì)轉(zhuǎn)子進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析可得狀態(tài)方程為

Y=CX+DU，

控制向量U= [ixa,ixb,iya,iyb]T，

輸出向量Y=[xa,xb,ya,yb]T，

參數(shù)矩陣

C=[I4×4O4×4],D=[O4×4],

2 系統(tǒng)模型分析

2.1 系統(tǒng)耦合分析

根據(jù)上述未解耦的模型可以得到被控對(duì)象標(biāo)稱(chēng)傳遞函數(shù)，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速為30 000 r/min時(shí)傳遞函數(shù)矩陣為

a21中的非對(duì)角元素反映的是同一平面內(nèi)的2個(gè)徑向自由度之間的影響，稱(chēng)為慣性耦合;a22反映的是磁懸浮軸承徑向不同平面各自由度之間的影響，稱(chēng)為陀螺耦合。a22中絕對(duì)數(shù)值最大的項(xiàng)是94.167 8，遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于a21中數(shù)值最小項(xiàng)154 763，因此慣性耦合遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于陀螺耦合。

轉(zhuǎn)子在轉(zhuǎn)速為30 000 r/min時(shí)各個(gè)自由度相互作用時(shí)的頻域響應(yīng)如圖2所示。圖中G11，G22，G33，G44為系統(tǒng)主對(duì)角線分量，在所有頻域上增益最大;G12，G21，G34，G43為同一方向不同位置間的耦合，相對(duì)主對(duì)角線元素，其在低頻段的增益較小，高頻段相差12 dB;G13，G31，G24，G42，G23，G32，G14，G41為不同位置不同方向之間的耦合，相對(duì)系統(tǒng)主對(duì)角元素，其增益較小。

圖2 轉(zhuǎn)速為30 000 r/min時(shí)各自由度相互作用時(shí)的頻域響應(yīng)

將系統(tǒng)簡(jiǎn)化為徑向2自由度的系統(tǒng),不考慮非同一平面之間的耦合，原狀態(tài)方程簡(jiǎn)化為

(1)

(2)

2.2 基于α階逆系統(tǒng)理論的線性解耦

求輸出Y=[ya,yb]T對(duì)時(shí)間的α階導(dǎo)數(shù)，直到Y(jié)的導(dǎo)數(shù)中顯含輸入變量U。求Y的二階導(dǎo)數(shù)即可顯含輸入變量U[6]。

(3)

根據(jù)雅克比矩陣有

(4)

因?yàn)閞ank(?Y/?U)=2 ，矩陣非奇異，所以系統(tǒng)可逆。按照解耦控制的要求，令參考輸入為Φ=[φ1,φ2]T,則有

令

(5)

結(jié)合(3)式，可得控制律

(6)

由(6)式可得輸入變換和狀態(tài)反饋組成的控制律u=RΦ-FX，其中R為輸入變換矩陣；F為狀態(tài)反饋矩陣。解耦后的系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣為

GL(s)=diag(1/s21/s2)。

(7)

解耦過(guò)程如圖3所示。

圖3 2自由度磁軸承系統(tǒng)解耦框圖

2.3 系統(tǒng)非線性攝動(dòng)分析

系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的不確定性包括位移剛度Ks、電流剛度Ki的不確定性，以及各自由度之間的陀螺與慣性耦合引起的動(dòng)態(tài)不確定性[9]。由于已對(duì)系統(tǒng)解耦，只考慮轉(zhuǎn)子在剛起浮時(shí)產(chǎn)生的非線性攝動(dòng)，此時(shí)非線性攝動(dòng)最大。

單自由度電磁力為

(8)

K0=0.25μ0N2A，

式中：xt，it為位移、電流的實(shí)際值；μ0為真空磁導(dǎo)率；N為線圈匝數(shù)；A為氣隙截面積。將上式在平衡位置(X0，I0)附近進(jìn)行前4階Taylor展開(kāi)，忽略高階小項(xiàng)可得

(9)

轉(zhuǎn)子起浮時(shí)，x=0.2 mm，i=0.6 A，由參數(shù)攝動(dòng)引起的乘性不確定性為

(10)

綜上可得攝動(dòng)模型為

。(11)

3 H∞回路成形法設(shè)計(jì)控制器

3.1 H∞回路成形法簡(jiǎn)介

H∞回路成形設(shè)計(jì)方法以結(jié)合經(jīng)典H∞魯棒鎮(zhèn)定為基礎(chǔ)，構(gòu)造回路傳遞函數(shù)來(lái)滿足對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)的性能要求[7-9]。通過(guò)設(shè)置前置或后置補(bǔ)償器對(duì)開(kāi)環(huán)對(duì)象進(jìn)行擴(kuò)展，擴(kuò)展后的系統(tǒng)為

Gp=W2GW1，

(12)

式中：W2，W1分別為前置、后置補(bǔ)償器；G為標(biāo)稱(chēng)對(duì)象模型。對(duì)Gp進(jìn)行H∞標(biāo)準(zhǔn)最優(yōu)控制，反饋控制器為

K=W1KpW2，

(13)

式中：Kp為H∞控制器。利用H∞優(yōu)化技術(shù)，針對(duì)一類(lèi)常見(jiàn)的互質(zhì)因子不確定性，將得到的成形對(duì)象(初始回路形狀)魯棒化。

用互質(zhì)分解描述H∞回路成形的對(duì)象。將被控系統(tǒng)的不確定性分為非結(jié)構(gòu)不確定性和參數(shù)不確定性，考慮G的鎮(zhèn)定問(wèn)題，對(duì)其進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化的左互質(zhì)分解

G=M-1N,

(14)

為簡(jiǎn)化，省略M和N的下標(biāo)。攝動(dòng)對(duì)象模型Gp可以寫(xiě)為

Gp=(M+ΔM)-1(N+ΔN)，

(15)

式中:ΔM，ΔN為穩(wěn)定但未知的傳遞函數(shù)，表示標(biāo)稱(chēng)對(duì)象模型G的不確定性。魯棒鎮(zhèn)定的目標(biāo)不僅要鎮(zhèn)定G，還要鎮(zhèn)定一族由下式定義的攝動(dòng)對(duì)象模型

Gp={(M+ΔM)-1(N+ΔN):‖[ΔNΔM]‖∞<ε}

，(16)

式中：ε為穩(wěn)定裕量，ε>0,其值最大化就是標(biāo)準(zhǔn)化互質(zhì)因子對(duì)象的魯棒鎮(zhèn)定問(wèn)題。

攝動(dòng)反饋系統(tǒng)如圖4所示，當(dāng)且僅當(dāng)標(biāo)稱(chēng)反饋系統(tǒng)穩(wěn)定，且滿足下式時(shí)，其穩(wěn)定性是魯棒的，

(17)

式中：γK為由Φ到[u,y]T的H∞范數(shù)；u，y為控制器K的輸出變量和輸入變量；(I-GK)-1為正反饋結(jié)構(gòu)的靈敏度函數(shù);I為單位矩陣。

圖4 攝動(dòng)反饋系統(tǒng)

3.2 補(bǔ)償器的設(shè)計(jì)

設(shè)計(jì)補(bǔ)償器時(shí)期望對(duì)回路幅值特性的形狀作如下修改：在低頻段增大回路增益以改善系統(tǒng)性能。為了在具有可接受的幅值裕量GM與相角裕量PM的情況下得到較好的瞬態(tài)特性，在穿越頻率附近使L(s)(L(s)=G(s)K(s))的斜率約為-1。為了減少調(diào)節(jié)輸入的使用，要使L(s)在高頻(帶寬之后)更快衰減，使控制器可實(shí)現(xiàn)，并減少噪聲的影響[10-12]。

標(biāo)稱(chēng)系統(tǒng)與攝動(dòng)系統(tǒng)成形前的奇異值曲線如圖5所示。由圖可知，被控系統(tǒng)在低頻段增益最多達(dá)到40 dB，高頻段迅速衰減，但系統(tǒng)在穿越0 dB時(shí)的斜率為-40 dB/dec，穩(wěn)定裕量嚴(yán)重不足，系統(tǒng)處于開(kāi)環(huán)不穩(wěn)定狀態(tài)，魯棒性和動(dòng)態(tài)性能不符合要求。因此選取積分超前環(huán)節(jié)，考慮系統(tǒng)的因果性和可實(shí)現(xiàn)性，在超前補(bǔ)償器的基礎(chǔ)上增加一階積分環(huán)節(jié)，為了加快高頻段衰減，增加“超前-滯后”項(xiàng)，以便在控制器上增加微分作用。經(jīng)過(guò)反復(fù)試驗(yàn)，選取后置、前置補(bǔ)償器分別為

(18)

(19)

圖5 標(biāo)稱(chēng)系統(tǒng)與攝動(dòng)系統(tǒng)成形前的奇異值特性曲線

回路成形前后系統(tǒng)奇異值特性曲線如圖6所示。由圖可知，系統(tǒng)成形后在低頻段增益大于30 dB，具有較好的跟蹤性能和抗干擾能力，奇異值曲線穿過(guò)0 dB時(shí)斜率為-20 dB/dec，保證了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。在高頻段以-60 dB/dec的斜率衰減，系統(tǒng)響應(yīng)速度加快。GM=10，PM=48.3°，GM表示閉環(huán)系統(tǒng)變成不穩(wěn)定系統(tǒng)以前回路增益可以增加的倍數(shù)，是對(duì)穩(wěn)態(tài)增益不確定性(誤差)的直接防護(hù)措施。典型情況下，要求GM>2；PM表示出現(xiàn)閉環(huán)不穩(wěn)定前回路傳遞函數(shù)可以增加的負(fù)相位，典型情況下，要求PM>30°或者更多，因此系統(tǒng)達(dá)到設(shè)計(jì)要求。

圖6 回路成形前后系統(tǒng)奇異值特性曲線

利用MATLAB魯棒工具箱[13]，通過(guò)Loopsyn命令可以得到最終控制器，系統(tǒng)H∞范數(shù)γk為3.276 8。根據(jù)偶極子原理，再對(duì)15階控制器進(jìn)行pode降階。

4 系統(tǒng)仿真與性能分析

設(shè)轉(zhuǎn)子的初始位置x=-0.2 mm，參考位置x0=0 mm，轉(zhuǎn)子由初始位置空載起浮時(shí)x方向的位移曲線如圖7所示。由圖可知，響應(yīng)曲線較平滑，轉(zhuǎn)子經(jīng)30 ms后回到平衡位置，超調(diào)量小于0.03 mm，幾乎無(wú)靜差。

圖7 轉(zhuǎn)子起浮時(shí)x方向的位移曲線

轉(zhuǎn)子發(fā)生最大非線性攝動(dòng)時(shí)系統(tǒng)的階躍響應(yīng)如圖8所示。由圖可知，攝動(dòng)模型超調(diào)0.04 mm，小于軸承保護(hù)氣隙(0.1 mm)，符合設(shè)計(jì)要求；系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生攝動(dòng)時(shí)仍能保持穩(wěn)定。

圖8 轉(zhuǎn)子標(biāo)稱(chēng)模型與攝動(dòng)模型的階躍響應(yīng)

轉(zhuǎn)子在攝動(dòng)狀態(tài)下的階躍響應(yīng)和正弦響應(yīng)分別如圖9、圖10所示。由圖可知，與經(jīng)典PID控制相比，H∞回路成形法的優(yōu)勢(shì)在于：系統(tǒng)輸出量的最大偏差、輸出量的過(guò)渡時(shí)間及振動(dòng)頻率較小，抗干擾能力和處理系統(tǒng)不確性的能力較好。

圖9 攝動(dòng)狀態(tài)下系統(tǒng)的階躍響應(yīng)

圖10 攝動(dòng)狀態(tài)下系統(tǒng)的正弦響應(yīng)

轉(zhuǎn)子位移端受到幅值為0.04 mm、周期為0.1 s的矩形波干擾時(shí)的響應(yīng)如圖11所示。由圖可知，系統(tǒng)在30 ms消除擾動(dòng)干擾，具有較強(qiáng)的抗干擾能力。

圖11 轉(zhuǎn)子位移端受到干擾時(shí)的響應(yīng)

5 結(jié)束語(yǔ)

分析系統(tǒng)內(nèi)部的慣性效應(yīng)和陀螺效應(yīng)，對(duì)徑向4自由度磁懸浮軸承系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)學(xué)化建模并簡(jiǎn)化模型。采用α階逆系統(tǒng)理論對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行線性解耦，然后對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行H∞回路成形設(shè)計(jì)，設(shè)計(jì)了單自由度的魯棒控制器。通過(guò)仿真驗(yàn)證可知，系統(tǒng)受到干擾時(shí)可快速恢復(fù)穩(wěn)定狀態(tài)，系統(tǒng)在攝動(dòng)狀態(tài)下仍能保持良好的動(dòng)態(tài)性能，證明H∞回路成形法設(shè)計(jì)的控制器對(duì)磁懸浮軸承系統(tǒng)中的不確定因素具有良好的魯棒性。