周志勇， 秦衛(wèi)陽

(西北工業(yè)大學 力學與土木建筑學院，西安　710072)

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基于動質量塊和聲激勵共同作用下的各向同性矩形薄板動態(tài)響應分析

周志勇， 秦衛(wèi)陽

(西北工業(yè)大學 力學與土木建筑學院，西安710072)

摘要：針對以往研究過程中忽略質量塊慣性和聲源激勵對板動態(tài)響應的影響，在考慮質量塊慣性對板的影響基礎上，采用哈密頓原理和Kronecke δ函數(shù)建立板在動質量塊和聲源激勵共同作用下的運動微分方程，再采用模態(tài)變換將運動微分方程進行解耦，然后采用微分求積法(DQM)求解系統(tǒng)動態(tài)響應。數(shù)值算例結果表明：相比Runge-Kutta算法，取樣網點較少時，DQM得到的動態(tài)響應值精度更高。動質量塊的質量、移動速度和阻尼系數(shù)及聲激勵的聲頻和聲強對矩形薄板的動態(tài)響應曲線具有明顯的影響。

關鍵詞：動態(tài)響應；邊界條件；動質量塊；DQM

矩形板在動質量塊和外部激勵作用下的動態(tài)響應行為分析已在實際工程領域中被高度重視：在高速公路、鐵路和橋梁等的設計中，眾多研究人員將多數(shù)類型的橋梁近似簡化為各向同性板，即將公路橋梁在外荷載作用下的振動簡化為各向同性板在動質量和外部荷載激勵共同作用下的振動。肖新標等[1]將列車簡化成移動簡諧力模型，對列車過橋時橋梁的振動形態(tài)幅頻特性作了詳細的探討，給出了橋梁在不同速度下的幅頻特性曲線以及TMD控制的質量比影響曲線，為進一步的橋梁振動控制提供詳盡的參考數(shù)據(jù)。劉維寧等[2]以 Duhamel積分為基礎，應用動力互等定理，得到了移動荷載作用下半無限彈性空間體上任意點的動力響應的一般表達式從而得到了軌道結構在移動荷載作用下動力響應的解析解形式。王少欽等[3]基于振型疊加原理， 采用廣義坐標變換的方式建立了移動荷載勻變速通過簡支梁橋時系統(tǒng)的動力平衡微分方程并以一鐵路多跨簡支箱梁橋為例，計算得到車輛勻速運行時橋梁最大撓度隨車速的變化曲線，從車橋共振的角度詳細分析了橋梁最大撓度的變化趨勢以及車輛變速運行對橋梁最大撓度的影響。Wu等[4]利用有限元法(FEM)和Newmark直接積分法對承受各種動載荷的板進行受迫振動分析。Raske等[5-6]對移動荷載作用下各向同性板的動態(tài)響應進行了很好的研究，并且得到了經典的解決方案。Shadnam等[7]采用模態(tài)疊加法，簡化動力學方程，基于Runge-Kutta算法實現(xiàn)了承受動質量塊的簡支矩形薄板近似解。Nikkhoo等[8]研究了四邊簡支矩形薄板在承載動荷載時的動力響應特性。Uzal等[9]得到了圓形薄板在動荷載作用下動態(tài)響應的解析解，但未考慮動載慣量影響。Vaseghi[10]給出了不同邊界和荷載分布條件下剪切變形板振動的半解析模擬，將矩形橋面模型簡化為板單元，將車輛模型近似看作動質量塊。Humar等[11]基于大撓度理論和Galerkin方法，解決了車橋相互作用的問題，并確定了動態(tài)響應的相關參數(shù)。Wang等[12]研究了板自重引起的靜態(tài)響應以及由動荷載耦合的動態(tài)響應。Miha等[13]研究了四邊簡支板在動質量塊作用下的振動響應,并把質量塊的荷載分布形式分別簡化為集中載荷、均布載荷和線性分布載荷,研究發(fā)現(xiàn)質量塊移動速度、荷載分布形式和質量塊的質量大小對板的振動響應影響較大。Gbadeyan等[14]研究了在點聲源激勵下四邊簡支板和四邊固支板的振動響應，并給出時域聲壓分布近似解,并對其進行了試驗研究，其試驗值與理論解有著較高的一致性。

基于以上分析，針對以往研究過程中忽略質量塊慣性和聲源激勵對板動態(tài)響應的影響，本文在考慮了質量塊慣性對板的影響基礎上，采用哈密頓原理和Kroneckeδ函數(shù)建立了板在動質量塊和聲源激勵共同作用下的運動微分方程；再采用模態(tài)變換將運動微分方程進行解耦，然后采用微分求積法(DQM)，求解系統(tǒng)動態(tài)響應。并通過不同邊界條件下的算例驗證了本文所提方法的可行性，著重分析了質量塊質量，移動速度，邊界條件，阻尼系數(shù)，聲頻和聲強對板振動響應的影響效果。

1動質量塊和聲激勵共同作用的各向同性矩形薄板動力學方程

均質材料的各向同性矩形薄板，x向長度為a，y向長度為b，動質量塊與x軸距離為e，動質量塊M在聲激勵作用下以速度v沿x向運動，如圖1所示。

圖1　動質量塊和聲激勵共同作用下的各向同性矩形薄板Fig.1 A thin rectangular isotropic plate under moving mass and sound excitation

系統(tǒng)的動能：

vt)δ(y-e))dxdy

(1)

式中：M為質量塊的質量；ρ，h，c分別為板的密度，厚度和阻尼系數(shù)；w(x,y,t)為板在坐標(x,y)處t時刻的撓度；用δ函數(shù)描述質量塊的位置，δ函數(shù)定義如下：

(2)

板勢能：

(3)

式中：μ是泊松比；D為板的彎曲剛度；

(4)

應用一般完整系哈密頓原理：

(5)

得到基于動質量塊和聲激勵共同作用的各向同性矩形薄板運動方程：

p(x,y,t)+Mgδ(x-vt)δ(y-e)+Y

(6)

其中：

(7)

(8)

(9)

(vt,e)表示為質量塊的坐標；Y表示動質量塊的慣性作用。

由于本文采用單極子聲源作為聲激勵，故p(x,y,t)可表示為坐標(x,y)處t時刻板上的聲壓，即考慮聲源激勵對矩形薄板的作用，如下式所示[15-16]：

(10)

其中：

(11)

根據(jù)以上分析，采用模態(tài)疊加法，板的撓度w(x,y,t)可表示為如下級數(shù)形式：

(12)

式中：Wmn(x,y)為對質量歸一化的第(m,n)階振型函數(shù)，Tmn(t)為相應的模態(tài)坐標函數(shù)。

將式(12)代入式(6)，并在方程兩端同時乘Wηε(x,y)，再對x從零到a積分，對y從零到b積分，假設阻尼在模態(tài)變換中可對角化并令2ωηεζηε=c，可得：

(13)

若η為1…nq，ε為1…mq，則方程(13)可寫成矩陣形式：

(14)

(15)

(16)

(17)

C(t)=Cd+Cu

(18)

其中：

Cd=2Diag[ζ11ω11…ζ1nqωmnζ21ω21…

ζ2nω2nqζmq1ωmq1…ζmqnqωmqnq]

(19)

Cu=

(20)

K(t)=Kd+Ku

(21)

Kd=

(22)

Ku=

(23)

Q(t)=[W11…W1nqW21…

W2nqWmq1…Wmqnq]T×

(24)

(25)

2不同邊界條件下板振型求解方法

根據(jù)上述動力學方程的分析可知，求解矩形薄板的動力學方程時，需要求解板的各階振型函數(shù)，即求解式(12)。本文以四邊簡支矩形薄板和對邊簡支對邊自由的矩形薄板作為例，給出了相應的各階振型函數(shù)求解方法：

(1) 四邊簡支板(SSSS)

四邊簡支板的振型邊界條件[17]：

(27)

(28)

滿足式(27)和(28)的振型解可直接用雙三角函數(shù)來表示：

(29)

相應的第(m,n)階固有頻率ωmn可表示為：

(30)

其中：

(31)

(2) 對邊簡支對邊自由板(SSFF)

平行于x軸兩邊為自由邊界情況下，振型邊界條件為[17]：

(32)

(33)

相應的第(m,n)階固有頻率ωmn可由下式得到：

(34)

相應的振型函數(shù)為：

(35)

其中：

αmn=

β1m,β2m為滿足振動微分方程的特征方程的特征根：

(37)

(38)

平行于x軸兩邊為自由邊界情況下，振型邊界條件為[17]：

(39)

(40)

相應的第(m,n)階固有頻率ωmn可由下式得到：

2β1mβ2m(cosβ1mbchβ2mb-1)=0

(41)

相應的振型函數(shù)為：

Wmn(x,y)=[(β2mnsinβ1mny-β1mnshβ2mny)+

(42)

其中：

(43)

(4) 四邊固支板(CCCC)

對于四邊固支板可采用梁函數(shù)法，振型解可表示為[18]：

Wmn(x,y)=Xm(x)Yn(y)

(44)

式中：

Xm(x)=A1msinαmx+A2mcosαmx+

A3mshαmx+A4mchαmx

(45)

Yn(y)=B1nsinβny+B2ncosβny+

B3nshβny+B4nchβny

(46)

相應的第(m,n)階固有頻率ωmn可由下式得到:

(47)

其中：

A1m=-A3m=1,

(48)

(49)

其中參數(shù)αm,βn可由固支梁彎曲振動特征方程得到：

cosλchλ-1=0

(50)

其中：

λ=aαm或bβn

(51)

3微分求積算法(DQM)

設f(ti)為一任意微分方程的解，選取非均勻網點m個，網點坐標為：

(52)

其中tT所求的時間區(qū)間長度。

(53)

(54)

其中:Aij和Bij分別為一階導數(shù)加權系數(shù)和二階導數(shù)加權系數(shù)。

可利用Lagrange插值函數(shù)得到一階導數(shù)加權系數(shù)：

其中：

(56)

二階導數(shù)加權系數(shù)為：

4微分求積(DQM)近似解

采用DQM法解方程(14)，本文選取非均勻網點N個，網點坐標為：

i=1,2,…,N

(58)

其中:b/v是時間跨度，模態(tài)坐標函數(shù)Tmn(t)的一階導數(shù)，二階導數(shù)為：

l=1,2,…,nq

(59)

在任意網點處的模態(tài)坐標函數(shù)為：

[K(ti)]{T(ti)}={Q(ti)},

i=1,2,…,N

(60)

其中：

(61)

(62)

方程(61)和(62)的級數(shù)形式可分別寫為：

(63)

(64)

將式(63)和(64)代入式(60)可得：

[K(ti)]{T(ti)}={Q(ti)},

i=1,2,…,N

(65)

根據(jù)以上分析，式(65)可寫為如下形式：

(66)

其中：

式(66)可簡化如下：

(68)

5微分求積(DQM)初始條件及方程組求解

給出式(68)的初始條件為：

{T(ti)}={T(0)}={T0}

(69)

(70)

根據(jù)式(69), 式(70)可寫為：

(71)

將方程(69)和(71)代入方程(68)可得：

(72)

(73)

(74)

(75)

根據(jù)以上公式，即可求得式(73)中的動態(tài)響應值。

6數(shù)值算例與分析

算例1采用本文所提方法計算四邊簡支各向同性板在8.894 N的移動荷載下的DMF(Dynamic Magnification Factor)指數(shù)，DMF表示矩形薄板的最大中心動力撓度與最大中心靜力撓度之比，然后與已有參考文獻[15-16,18]的結果做了對比。臨界速度為SP=vcr=1表示移動荷載以板為一階頻率自振周期的時間通過板的速度。板的參數(shù)如下：板長寬a=b=0.101 6 m，板厚h=0.002 54 m，e=b/2，彈性模量E=2.068 4e11 Pa，密度ρ=10 695.790 2 kg/m3，泊松比μ=0.3，選取非均勻網點個數(shù)N=40。

表1　在移動荷載作用下板的DMF

算例2設板的參數(shù)如下：板的長度a=24 m，寬度b=8 m，板厚h=1 m，彈性模量E=50 GPa，密度ρ=2 400 kg/m3，泊松比μ=0.3，動質量塊系數(shù)λ=M/ρabh，聲頻率用sf表示，臨界速度vcr=af，其中f為

板的一階頻率。

圖2～圖11均為對邊簡支對邊自由(SSFF)板。圖2給出基于DQM算法與Runge-Kutta算法得到的動態(tài)響應曲線對比圖。Wdc為移動質量塊引起的板中心撓度，Wsc為相對應靜力荷載作用在板中心時引起的板中心撓度。為了能夠清楚地反映質量塊經過板時，給予板的振動能量。當vt/a(質量塊位置/板跨度)小于1時表示質量塊未離開板，當vt/a大于1時表示質量塊滑出了板的邊界，此時對應于板的自由振動，主要是為了分析一個板的振動全過程。從圖中可以看出，當取樣點數(shù)較多，如N=40時，DQM算法與Runge-Kutta算法均可取得較好的精度；當取樣點數(shù)降低時，相比Runge-Kutta算法，基于DQM算法求解得到的動態(tài)響應值精度較高，亦采用DQM算法可大大減少計算量，原因在于Runge-Kutta算法采用均勻取樣點，DQM算法則采用非均勻取樣點。鑒于此，為減少計算代價，應優(yōu)先考慮DQM算法。

圖2 不同求解方法下板的中心撓度隨質量塊位置變化圖(λ=0.01,ξ=0,Q=0,e=4,v=vcr)Fig.2Thedeflectionoftheplatefordifferentsolvingmethodsundermovingmass圖3 在不同聲壓作用下板的中心撓度隨質量塊位置變化圖(λ=0.01,ξ=0,e=4,v=vcr)Fig.3Thecentredeflectionofplatewithdifferentsoundpressureversusmassposition圖4 不同移動速度下板的中心撓度隨質量塊位置變化圖(λ=0.01,ξ=0,Q=0,e=4)Fig.4Thecentredeflectionofplatefordifferentmovingspeedsversusmassposition

圖5 板在質量塊和移動荷載作用下板的中心撓度隨質量塊位置變化曲線(ξ=0,Q=0,e=4,v=vcr)Fig.5Thecentredeflectionofplatefordifferentmassparametersversusmasspositionundermovingmassormovingload圖6 板在質量塊和移動荷載速度不同時板中心撓度隨質量塊位置變化曲線(λ=0.01,ξ=0,Q=0,e=4)Fig.6Thecentredeflectionofplatefordifferentmovingspeedsversusmasspositionundermovingmassormovingload圖7 板的DMF在不同質量塊作用下隨速度變化曲線(ξ=0,Q=0,e=4)Fig.7TheDMFofplatefordifferentmassparametersversusmovingspeed

圖3給出不同聲壓時，矩形薄板的動態(tài)響應值隨質量塊的位置變化曲線。從圖中可以看出，質量塊位置一定時，隨著聲壓的增大，板的動態(tài)響應曲線不斷上移，即板的撓度不斷增大。

圖4表示質量塊在不同移動速度時，矩形薄板的動態(tài)響應值隨質量塊位置變化曲線。從圖中可以看出, 質量塊位置一定時，隨著速度的不斷增加，動態(tài)響應曲線幅值變化明顯，且最大響應值不斷增大，曲線亦越平滑。

圖5給出矩形薄板在質量塊和移動荷載作用下，動態(tài)響應值隨質量塊位置變化曲線。從圖中可以看出，相比移動荷載而言，由于板的動態(tài)響應受動質量塊慣性的影響，板的動態(tài)響應峰值增加，可見動質量塊的慣性是影響曲線變化的因素之一，隨著動質量塊系數(shù)的不斷增大，曲線的峰值的絕對值不斷上移，即峰值不斷增加。

圖6給出矩形薄板在質量塊和移動荷載速度不同時，動態(tài)響應值隨質量塊位置變化曲線。從圖中可以看出，隨著質量塊移動速度的增加，板的中心撓度曲線變的越來越平滑，隨著速度的增加，板動態(tài)響應幅值越來越大。質量越大，質量塊的慣性作用對板的影響越大。當動質量塊移動速度較大時，曲線的峰值亦較大。

圖7給出矩形薄板在不同質量塊作用時，DMF值隨速度變化曲線。從圖中可以看出，隨著質量塊移動速度的增加，板的DMF值越來越大，當速度達到一定值時，DMF值達到最大，即DMF出現(xiàn)峰值，繼而隨著速度再次增大時，DMF從峰值開始下降。 隨著動質量塊系數(shù)λ的增大，DMF曲線不斷上移，表明隨質量塊質量的增加質量塊慣性對板的DMF影響越大。

圖8給出矩形薄板在不同阻尼作用時，DMF值隨速度變化曲線。從圖中可以看出，隨著速度的增加，板的DMF值越來越大，當速度達到一定值時，DMF值達到最大，即DMF出現(xiàn)峰值，繼而隨著速度再次增大時，DMF從峰值開始下降。因為阻尼力的方向總是與板運動的方向相反，所以隨著阻尼比系數(shù)ξ的增大，DMF曲線不斷下移，表明質量塊的阻尼比系數(shù)對板的DMF影響越大。

圖9給出矩形薄板在不同聲壓幅值作用時，DMF值隨質量塊位置變化曲線。從圖中可以看出，當質量塊位置的不斷增加，但小于0.5時，DMF值曲線會出現(xiàn)不規(guī)則趨勢，這是由于質量塊低速運動時，通過板的時間較長，受聲源影響時間較長，受聲壓影響較大，導致和動質量塊共同作用在板上時使板的動態(tài)響應DMF曲線發(fā)生不規(guī)則變化，當動質量塊移動速度不斷增大時，聲激勵作為外部激勵與質量塊共同作用的時間較短，作用在板上得到的動態(tài)響應DMF曲線則會出現(xiàn)規(guī)則變化。另外聲源激勵對質量塊移動產生了一定的影響，這在后續(xù)工作是研究的熱點，后續(xù)工作可考慮外部激勵與動質量塊的協(xié)同耦合相關作用。隨著聲壓幅值Q的增大，DMF曲線不斷上移，表明聲壓幅值Q對板的DMF影響越大，出現(xiàn)這種情況的原因在于聲壓大，在板上的壓力就越大，進而增加了板的撓度。

圖10給出矩形薄板在不同聲壓頻率作用時，DMF值隨質量塊移動速度變化曲線。從圖中可以看出，在速度小于0.5倍的臨界速度時，當聲壓的頻率等于板的一階自振頻率時，聲壓與板產生共振作用，聲壓對板的DMF影響顯著，當質量塊速度大于0.6倍的臨界速度時，由于速度增大質量塊在板上運動的時間減少，共振對板的影響時間變短，所以對板的DMF影響相對減小。當速度增加，聲壓頻率越小板DMF影響越大。以上分析表明考慮動質量塊和聲激勵共同作用具有重要的研究意義。

圖8 不同阻尼作用下板的DMF隨速度變化曲線(λ=0.01,Q=0,e=4)Fig.8TheDMFofplatefordifferentdampingparametersversusmovingspeed圖9 不同聲壓幅值作用下板的DMF隨質量塊速度變化曲線(λ=0.01,Q=0,e=4,sf=0.5f)Fig.9TheDMFofplatefordifferentsoundpressureversusmovingspeed圖10 不同聲壓頻率作用下板的DMF隨速度變化曲線(λ=0.01,ξ=0,Q=1000,e=4)Fig.10TheDMFofplatefordifferentsoundexcitingfrequencyversusmovingspeed

圖11 不同阻尼作用下板的最大中心加速度隨速度變化曲線(λ=0.01,Q=0,e=4)Fig.11Themaximumcenteraccelerationofplatefordifferentdampingparametersversusmovingspeed圖12 不同邊界條件板的DMF隨移動速度(vcr為相應邊界條件極限速度)變化曲線(λ=0.01,Q=0,e=4)Fig.12TheDMFofplatewithdifferentboundaryplatesvarieswithspeed(vcrisrelativecriticalspeed)圖13 不同邊界條件板的DMF隨移動速度(vcr(CCCC)為四邊固支板極限速度)變化曲線(λ=0.01,Q=0,e=4)Fig.13TheDMFofplatewithdifferentboundaryplatesvarieswithspeed(vcr(CCCC)isthecriticalspeedofallclampedplate)

圖11給出不同阻尼作用下，矩形薄板的最大中心加速度隨速度變化曲線。從圖中可以看出動質量塊速度在0.7和0.9的臨界速度時，阻尼對板的DMF影響顯著, 板的振動幅值受到外界激勵力的頻率影響和阻尼率的影響較大，出現(xiàn)該現(xiàn)象的原因在于阻尼力的方向與板運動方向相反，故阻尼越大，在到達某一速度時，矩形薄板的最大中心加速度受到阻尼率的影響極為顯著，故在那一速度時，板的最大加速度有顯著的變化。當超越那一臨界速度時阻尼率的影響又逐漸變弱。

7結論

本文針對不同邊界條件下各向同性矩形薄板振動研究過程中忽略質量塊慣性和聲源激勵對板的相互作用，提出了基于動質量塊和聲激勵共同作用的各向同性矩形薄板動態(tài)響應分析。該方法采用Kroneckeδ函數(shù)描述動質量塊的位置及其與板的相互作用，同時考慮單極子聲源作為外部激勵，建立了動質量塊和聲激勵協(xié)同作用的運動微分方程?；谖⒎智蠓e法，求解動態(tài)響應值，并通過不同邊界條件下的算例驗證了本文所提方法的可行性，得到如下結論：

(1) 相比Runge-Kutta算法，取樣較少時，DQM算法計算量小，可以用權重系數(shù)表示高階導數(shù)，得到的動態(tài)響應值DMF精度更高，且數(shù)學原理簡單，可操作性強，易于在計算機上實施，精度較高，是一種有效的數(shù)值計算方法。

(2) 采用微分求積法計算板在移動荷載用下板的DMF，并與現(xiàn)有文獻進行了對比，用于保證計算結果的準確性。

(3) 當同時考慮動質量塊和聲源激勵對矩形薄板的作用時，質量塊速度，板的阻尼，聲壓幅值，聲壓頻率，質量塊質量均對矩形薄板動態(tài)響應DMF值有著非常明顯的影響。

(4) 當同一質量塊通過不同邊界條件的板時，對于自振頻率較小的板，其相對應的臨界速度亦較小，其實際撓度值較大。反之，對于自振頻率較大的板，其相對應的臨界速度亦較大，其實際撓度值較小。

參 考 文 獻

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基金項目：國家自然科學基金 (11172234) 資助

收稿日期：2014-09-12修改稿收到日期：2015-01-07

通信作者秦衛(wèi)陽 男，教授,博士生導師，1967年4月生

中圖分類號:O321

文獻標志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.01.022

Dynamic responses of thin rectangular isotropic plates under actions of moving mass and acoustic excitation

ZHOU Zhi-yong, QIN Wei-yang

(School of Mechanics, Civil & Architecture, Northwestern Polytechnical University, Xi’an 710072, China)

Abstract:Aiming at that in the past studies the effects of mass inertia and sound source excitation on dynamic responses of a plate were ignored, here the differential equations of motion for a plate under action of moving mass and sound source excitation were established using Hamilton’s principle and kronecke δ function. The differential equations of motion were decoupled using the modal transformation, then they were solved with the differential quadrature method (DQM). The numerical results showed that DQM has a higher accuracy for the dynamic responses of the plate than Runge-Kutta algorithm does when the number of grid points is small; the moving mass, moving speed, damping, and acoustic excitation frequency and intensity have significant impacts on the dynamic responses of the plate.

Key words:dynamic response; boundary conditions; moving mass; DQM

第一作者 周志勇 男，博士生，1986年9月生