高崇一， 杜國(guó)君， 李建雄， 胡發(fā)科

(1. 燕山大學(xué) 河北省重型裝備與大型結(jié)構(gòu)力學(xué)可靠性重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河北　秦皇島　066004;2.燕山大學(xué) 電氣工程學(xué)院自動(dòng)化系，河北　秦皇島　066004)

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慣性邊界下帶鋼的非線性振動(dòng)分析

高崇一1， 杜國(guó)君1， 李建雄2， 胡發(fā)科1

(1. 燕山大學(xué) 河北省重型裝備與大型結(jié)構(gòu)力學(xué)可靠性重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河北秦皇島066004;2.燕山大學(xué) 電氣工程學(xué)院自動(dòng)化系，河北秦皇島066004)

摘要：根據(jù)連軋機(jī)軋制過(guò)程中帶鋼與軋輥的運(yùn)動(dòng)機(jī)理，將相鄰兩機(jī)架間的帶鋼簡(jiǎn)化為軸向運(yùn)動(dòng)的Euler梁，軋輥簡(jiǎn)化為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的慣性元件，建立Euler梁在慣性邊界下的非線性振動(dòng)力學(xué)模型?；诠茴D原理建立軸向運(yùn)動(dòng)Euler梁的縱向和橫向非線性振動(dòng)微分方程，利用Kantorovich時(shí)間平均法簡(jiǎn)化運(yùn)動(dòng)方程和邊界條件，并采用修正迭代法求解運(yùn)動(dòng)方程。最后通過(guò)數(shù)值計(jì)算獲得了Euler梁非線性振動(dòng)的幅頻響應(yīng)曲線，并討論慣性邊界條件下的軸向運(yùn)動(dòng)速度、長(zhǎng)度和軋輥的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)Euler梁振動(dòng)特性的影響。研究結(jié)果可為控制和分析連軋過(guò)程中帶鋼垂直振動(dòng)提供重要的理論參考。

關(guān)鍵詞：Euler梁；慣性邊界；帶鋼；垂直振動(dòng)；修正迭代法

軋機(jī)振動(dòng)普遍存在于軋制生產(chǎn)中，復(fù)雜的振動(dòng)現(xiàn)象是導(dǎo)致帶鋼表面缺陷的重要因素，并且影響設(shè)備關(guān)鍵部件的使用壽命。關(guān)于軋機(jī)振動(dòng)問(wèn)題的研究涉及軋機(jī)系統(tǒng)各個(gè)部件的不同振動(dòng)形式，如軋輥的垂直振動(dòng)、水平振動(dòng)、軸向串動(dòng)、帶鋼的橫向和縱向振動(dòng)、主傳動(dòng)系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)和軸向振動(dòng)等[1]。其中帶鋼的橫向(垂直)和縱向振動(dòng)方面的研究相對(duì)較少，而連軋中帶鋼的振動(dòng)又是軋制過(guò)程中不可避免的。因此，對(duì)帶鋼振動(dòng)的研究成了鋼鐵行業(yè)亟待解決的重要問(wèn)題。

軋制過(guò)程中，帶鋼的垂直振動(dòng)對(duì)軋機(jī)和產(chǎn)品質(zhì)量的影響相對(duì)較大。若忽略軋機(jī)輥系的垂直振動(dòng)，可將帶鋼簡(jiǎn)化為軸向運(yùn)動(dòng)梁[2-4]，帶鋼垂直振動(dòng)可等效為運(yùn)動(dòng)梁的橫向振動(dòng)，從而可以利用運(yùn)動(dòng)梁理論分析帶鋼振動(dòng)。劉明哲等[3]建立了運(yùn)動(dòng)板帶的二維動(dòng)力學(xué)模型和三維動(dòng)力學(xué)模型，并利用數(shù)值方法分析了軋制過(guò)程中運(yùn)動(dòng)帶鋼的固有特性和穩(wěn)定性。Sun等[4]考慮兩機(jī)架間帶有時(shí)變張力的運(yùn)動(dòng)帶鋼的非線性振動(dòng)模型，并采用多尺度法求解。Bor等[5]在冷連軋過(guò)程中分析了含有非線性參數(shù)的自激振動(dòng)現(xiàn)象，并給出了近似解析解。Miranker[6]首次推導(dǎo)出了運(yùn)動(dòng)弦線橫向振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程，并對(duì)Euler梁進(jìn)行了相應(yīng)分析。Mote[7]分析了軸向變速運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的橫向振動(dòng)穩(wěn)定性問(wèn)題。陳樹輝等[8]對(duì)軸向運(yùn)動(dòng)Euler梁非線性振動(dòng)內(nèi)共振進(jìn)行了研究。Suweken等[9-10]研究了考慮兩端邊界條件下的軸向運(yùn)動(dòng)Euler梁的振動(dòng)特性。

帶鋼振動(dòng)的研究大多是基于簡(jiǎn)支、固支或帶有扭轉(zhuǎn)彈簧的邊界條件[11]，而忽略了軋輥轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響，與軋制過(guò)程的實(shí)際偏離較大。本文考慮軋輥的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)帶鋼垂直振動(dòng)的影響，并且基于軸向運(yùn)動(dòng)梁理論[12-13]，在不考慮剪切變形的情況下，可將帶鋼振動(dòng)等效為Euler梁振動(dòng)，建立軋輥與Euler梁相互作用的動(dòng)力學(xué)模型，求解慣性邊界條件下軸向運(yùn)動(dòng)梁的非線性振動(dòng)。本文采用修正迭代法[14-15]求解軸向運(yùn)動(dòng)Euler梁振動(dòng)方程，并利用Matlab對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值仿真，研究系統(tǒng)各參數(shù)對(duì)帶鋼非線性振動(dòng)特性的影響，為帶鋼連軋生產(chǎn)中的優(yōu)化控制提供理論參考。

1模型的建立

圖1　機(jī)架間運(yùn)動(dòng)帶鋼及其等效的Euler梁力學(xué)模型Fig.1 Moving strip between stands and mechanical model of Euler beam

根據(jù)哈密頓原理，對(duì)軋制過(guò)程中的力學(xué)模型進(jìn)行分析，建立數(shù)學(xué)模型。軸向運(yùn)動(dòng)Euler梁的動(dòng)能T1為：

(1)

式中:ρ為帶鋼密度，A為Euler梁的橫截面積，u,t與u,x0分別為函數(shù)u(x0,y0,t)對(duì)變量t與x0的一階偏導(dǎo)。后文中u,x0x0表示u(x0,y0,t)對(duì)x0的二階偏導(dǎo)，依次類推，其他類似符號(hào)表示含義類同。

Euler梁的形變勢(shì)能U為：

(2)

式中:E為彈性模量，I為慣性矩。

軋輥的動(dòng)能T2為：

(3)

式中:r為軋輥半徑。

由哈密頓方程：

(4)

可得出慣性邊界下Euler梁的運(yùn)動(dòng)方程：

EAw,x0w,x0x0=0

(5)

(6)

邊界條件為：

x0=0或x0=l時(shí)，

(7)

w(0)=w(l)=w,x0x0(0)=

w,x0x0(l)=0;wmax=φm

(8)

多數(shù)情況下，帶鋼橫向振動(dòng)引起的軸向運(yùn)動(dòng)動(dòng)能相對(duì)較小，可令u,t=u,tt=0，則式(5)可簡(jiǎn)化為：

(9)

若忽略帶鋼軸向位移對(duì)垂直振動(dòng)的影響，得出的運(yùn)動(dòng)方程與文獻(xiàn)[4]一致。本文數(shù)學(xué)建模時(shí)，將軸向位移與軋輥慣性邊界條件對(duì)帶鋼垂直振動(dòng)的影響加以考慮，所得運(yùn)動(dòng)方程更加精確。

(10)

(11)

邊界條件整理為：

x0=0或x0=l時(shí)，

(12)

(13)

為使以下運(yùn)算簡(jiǎn)便，引入無(wú)量綱量

將上式代入運(yùn)動(dòng)方程(10)、(11)和邊界條件(12)、(13)，進(jìn)行無(wú)量綱化，則Euler梁的運(yùn)動(dòng)方程整理為：

(v02-1)φ,xx-φ,xφ,xx=0

(14)

φ,xxxx+Sv02φ,xx-ω2φ-

(15)

邊界條件為：

x=0和x=1，

(16)

φ(0)=φ(1)=φ,x(0)=

(17)

2非線性方程的解

由于求解方程(14)～(17)過(guò)程較為復(fù)雜，因此，本節(jié)將采用修正迭代法進(jìn)行求解。

2.1一階近似解

首先，將方程(15)中所有非線性項(xiàng)略去后，可寫為

φ1,xxxx-ω2φ1=0

(18)

求出方程(18)的級(jí)數(shù)解：

φ1(x)=a0M0(x)+a1N0(x)+

a2I0(x)+a3K0(x)

(19)

式中:

然后，將φ1(x)代入邊界條件 (17)可解得近似的一階頻率ω1=16.71，可求出系數(shù)

a0=0，a1=0，a2=μ1φm，a3=μ2φm

其中:

從而得出

(20)

接下來(lái)將φ1(x)代入到方程(14)中得出：

(21)

由邊界條件(16)得：

2.2二階修正迭代解

下面進(jìn)行二階迭代，將求得的φ1(x)和φ1(x)代入方程(15)并簡(jiǎn)化后得：

φ2,xxxx-ω2φ2=αφ1,xx+βφ1,x2φ1,xx

(22)

式中:

其中:

(n=2,3…)

(n=2,3…)

(n=3,4…)

由級(jí)數(shù)解的性質(zhì)，方程(22)的解可寫成如下形式：

其中:A0=B0=C0=C1=D0=E0=F0=0

ζ1和ζ2為待定系數(shù)。

將φ2(x)代入邊界條件 (17)，可得：

Dξ=0

(24)

其中:

由detD=0可求出振頻ω2的解析表達(dá)式。由式(24)可求出系數(shù)ζ1和ζ2，從而可求得振幅φ2的解析表達(dá)式，二階修正迭代解得以確定。

3算例與討論

對(duì)文獻(xiàn)[16]中的軋機(jī)系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值模擬，帶鋼厚度h為2 mm；軋制速度為5 m/s，則Euler梁無(wú)量綱軸向速度v0為1×10-3；軋輥轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J無(wú)量綱量為K，當(dāng)K=5，且長(zhǎng)度l分別為1.0 m、1.5 m、2.0 m、2.5 m、3.0 m、3.5 m時(shí)，考慮振幅φm對(duì)振頻ω的影響，其幅頻響應(yīng)曲線如圖2所示，圖中φm為帶鋼振幅無(wú)量綱量φ的最大值。在軋輥轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不變的情況下，Euler梁的長(zhǎng)度對(duì)幅頻響應(yīng)特性影響較大，它將改變振動(dòng)性態(tài)。從圖2中可以看出，當(dāng)l=1.0～3.5 m時(shí)，Euler梁的振動(dòng)性態(tài)逐漸由硬化型過(guò)渡到軟化型，當(dāng)梁長(zhǎng)l取值為1.0 m、1.5 m、2.0 m時(shí)振動(dòng)性態(tài)表現(xiàn)為硬化型，即隨著振幅增大頻率逐漸增大，且隨著梁長(zhǎng)增大，硬化程度逐漸降低；當(dāng)梁長(zhǎng)l取值為2.5 m、3.0 m、3.5 m時(shí)，曲線表現(xiàn)為遞減趨勢(shì)，非線性表現(xiàn)為軟化型，即隨著振幅增大頻率逐漸減小，并呈現(xiàn)出軟化程度增強(qiáng)的趨勢(shì)。隨著長(zhǎng)度的遞增，幅頻響應(yīng)曲線振動(dòng)性態(tài)呈現(xiàn)出較均勻的變化，其中硬化型與軟化型的分界在梁長(zhǎng)l為2.0～2.5 m區(qū)間。基于上述分析，可以得出，在軋制速度和軋輥轉(zhuǎn)動(dòng)慣量一定的情況下，機(jī)架間距對(duì)帶鋼振動(dòng)的幅頻特性具有較大影響。根據(jù)不同機(jī)架間距下帶鋼振動(dòng)幅頻響應(yīng)曲線，可對(duì)相關(guān)參數(shù)進(jìn)行適當(dāng)調(diào)節(jié)，以減小帶鋼振動(dòng)對(duì)產(chǎn)品質(zhì)量的影響。

圖3為不同振幅下K值與頻率的關(guān)系曲線，當(dāng)Euler梁的長(zhǎng)度l=2.0 m時(shí)，軸向速度v0=1×10-3，且振幅分別為0.05、0.10、0.15、0.20、0.25時(shí)，考慮K值對(duì)振頻的影響，其中K值變化體現(xiàn)出軋輥轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的變化。隨著K值的增大，Euler梁的振頻逐漸增大，K值在由0增大到5的過(guò)程中，曲線呈現(xiàn)出大幅度遞增趨勢(shì)，說(shuō)明此區(qū)間的K值對(duì)振頻的影響較大，并且每條曲線在K=1.5附近近似交于一點(diǎn)，此時(shí)對(duì)應(yīng)的振頻(ω=16.71)與基頻一致。而隨著K值繼續(xù)遞增，曲線又趨于平緩。隨著K值的無(wú)限增大，Euler梁的邊界條件無(wú)限趨近于固支狀態(tài)，振頻趨近于固支條件下的頻率，此時(shí)近似為軋輥不轉(zhuǎn)動(dòng)，將帶鋼兩側(cè)軋輥視為固定支架的情況。另外，由圖3可以看出，振幅φm越小，隨K值變化曲線越早趨于平緩，振幅φm越大，K值對(duì)頻率的影響范圍越大，影響越明顯。

圖4為不同K值(軋輥轉(zhuǎn)動(dòng)慣量)下的速度與頻率關(guān)系曲線，當(dāng)梁長(zhǎng)l=2.0 m，振幅φm=0.15，且K值分別為5、10、15、20、25時(shí)，考慮速度v0對(duì)振頻的影響。從圖中可以看出，不同K值下的振動(dòng)頻率隨軸向速度增大而減小，并且，隨著v0的不斷增大，振頻減小率呈現(xiàn)出增大的趨勢(shì)，即軋制速度越大，速度變化對(duì)帶鋼振動(dòng)頻率的影響越大，且頻率減小的越快。當(dāng)K值為15、20、25時(shí)，v0-ω2關(guān)系曲線近乎重合，可以看出軋輥轉(zhuǎn)動(dòng)慣量無(wú)限大的情況下，邊界條件趨近于固支狀態(tài)。

圖2 不同梁長(zhǎng)下的幅頻響應(yīng)曲線Fig.2Theamplitudefrequencyresponsecurvesunderthedifferentlengthsofthebeam圖3 不同振幅下K值與頻率關(guān)系曲線Fig.3Kandfrequencycurvesunderthedifferentamplitudes圖4 不同K值下速度頻率關(guān)系曲線Fig.4VelocityandfrequencycurvesunderthedifferentK

通過(guò)圖3和圖4還可以看出，軋輥的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)帶鋼振動(dòng)的影響尤為突出，在轉(zhuǎn)動(dòng)慣量較小時(shí)，對(duì)帶鋼振動(dòng)影響較大，研究帶鋼振動(dòng)時(shí)需要考慮軋輥轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)其影響；在轉(zhuǎn)動(dòng)慣量較大時(shí)，可以近似忽略其對(duì)帶鋼振動(dòng)的影響。

圖5　不同速度下幅頻響應(yīng)曲線Fig.5 The amplitude frequency response curves under the different velocities

圖5為不同速度下的幅頻響應(yīng)曲線，當(dāng)Euler梁的長(zhǎng)度l=2.0 m，K=5，軸向速度v0分別為0×10-3、1×10-3、2×10-3、3×10-3、4×10-3時(shí)，振幅φm對(duì)振頻的影響。從圖中可以看出，隨著振幅φm的增大，Euler梁的振頻逐漸增大。當(dāng)軸向速度v0為0或1×10-3時(shí)，兩條曲線幾乎重合，可以看出當(dāng)速度很小時(shí)，振幅φm對(duì)頻率的影響較大；而隨著速度v0增大，曲線漸漸趨于平緩，說(shuō)明軋制速度越大，帶鋼振動(dòng)的振幅φm對(duì)頻率的影響越小。

4結(jié)論

模擬軋制過(guò)程中軋輥與帶鋼的運(yùn)動(dòng)，將其近似為慣性邊界條件下的Euler梁，并建立其力學(xué)模型和數(shù)學(xué)模型，采用修正迭代法求解方程，并通過(guò)數(shù)值計(jì)算方法，討論了相鄰兩機(jī)架間帶鋼的振幅、長(zhǎng)度、軋制速度和軋輥的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)帶鋼振頻的影響。

(1) 在軋制速度和軋輥轉(zhuǎn)動(dòng)慣量一定的情況下，機(jī)架間距大小對(duì)帶鋼振動(dòng)性態(tài)的影響。當(dāng)機(jī)架間距較小時(shí)，即l≤2.0 m，隨著振幅的增大，振頻響應(yīng)逐漸增強(qiáng)，非線性表現(xiàn)為硬化型，隨著機(jī)架間距由小逐漸變大，帶鋼振動(dòng)性態(tài)的非線性硬化程度逐漸減弱。隨著機(jī)架間距繼續(xù)增大，幅頻曲線呈現(xiàn)出振頻隨著振幅的增大而逐漸減小的趨勢(shì)，即振動(dòng)性態(tài)表現(xiàn)為軟化型，并且，隨著機(jī)架間距的增大，軟化程度逐漸加強(qiáng)。

(2) 在機(jī)架間距一定的情況下，軋輥轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)帶鋼振頻的影響。軋輥轉(zhuǎn)動(dòng)慣量較小時(shí)，其值的大小對(duì)帶鋼振動(dòng)性態(tài)影響較大，隨著轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的無(wú)限增大，邊界條件趨于固支狀態(tài)，軋輥轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)帶鋼振動(dòng)的影響可近似忽略。

(3) 在機(jī)架間距和軋輥轉(zhuǎn)動(dòng)慣量一定的情況下，軋制速度對(duì)帶鋼振頻的影響。軋制速度較小時(shí)，帶鋼振頻受振幅變化影響較大，隨著軋制速度的不斷增大，振頻受振幅影響逐漸減小。

以上所得結(jié)論均基于所建立的具有慣性邊界條件下Euler梁非線性振動(dòng)模型，可為工程實(shí)際提供一定的理論依據(jù)。

參 考 文 獻(xiàn)

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基金項(xiàng)目：河北省教育廳科學(xué)研究計(jì)劃重點(diǎn)項(xiàng)目(ZD2015077)；河北省高等學(xué)校創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)領(lǐng)軍人才培育計(jì)劃項(xiàng)目(LJRC013);國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61403332)

收稿日期：2014-09-02修改稿收到日期：2014-11-06

通信作者杜國(guó)君 男，博士，教授，博士生導(dǎo)師，1961年12月生

中圖分類號(hào):TH113.1;TG333.11

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.01.002

Nonlinear vibration of strip steel under inertial boundary conditions

GAO Chong-yi1, DU Guo-jun1, LI Jian-xiong2, HU Fa-ke1

(1. Hebei Provincial Key Laboratory of Mechanical Reliability for Heavy Equipment and Large Structures, Yanshan University, Qinhuangdao 066004, China;2. Department of Automation, College of Electrical Engineering, Yanshan University, Qinhuangdao 066004, China)

Abstract:According to the movement mechanism of strip steel and rollers in rolling process of a tandem mill, the strip steel between two neighboring stands was simplified to an axially moving Euler beam and rollers were simplified to inertia components rotating about a fixed axis, the nonlinear vibration mechanical model of the beam under inertial boundary conditions was established. The longitudinal and lateral vibration equations of the beam were derived with Hamilton principle. Kantorovich averaging method was used to simplify the motion equations and the inertial boundaries, and the modified iteration method was employed to solve the motion equations. Finally, based on the results of numerical calculation, the amplitude-frequency response curves of the beam were obtained, and the influences of beam axial velocity, beam length and rotational inertia of roller on the vibration performance of the beam under conditions of inertial boundary were discussed. The results provided an important theoretical reference for controlling and analyzing the vertical vibration of strip steel in a continuous rolling process.

Key words:Euler beam; inertial boundary; strip steel; vertical vibration; modified iteration method

第一作者 高崇一 女，博士生，1986年8月生