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        一類線性微分方程的整函數(shù)解

        2016-07-25 01:22:42王曉媛劉雅坤禚彩萍
        環(huán)球市場 2016年22期
        關(guān)鍵詞:石油大學華東二階

        王曉媛 劉雅坤 禚彩萍

        中國石油大學(華東)

        一類線性微分方程的整函數(shù)解

        王曉媛 劉雅坤 禚彩萍

        中國石油大學(華東)

        整函數(shù)解;微分方程;Nevanlinna 理論

        一、背景

        19世紀20年代,Nevanlinna提出了整函數(shù)和亞純函數(shù)值分布理論,為復(fù)微分方程的研究提供了有力工具。1933年,K.Yosida利用該理論對一些微分方程進行了研究,同時給出了J.Malmquist在1913年提出的著名理論的新的證明和推廣。從1950年開始,H.Wittich利用Nevanlinna理論深入系統(tǒng)地研究微分方程[3,4,7]。

        在討論復(fù)域上的微分方程時,證明所給微分方程的整函數(shù)解或亞純解的存在性和唯一性總是很有趣卻又非常困難的。最近,關(guān)于多種類型的微分差分方程的整函數(shù)解和亞純解的存在性、增長性,有很多成果[1,2,6]。

        二、引言

        首先,回顧一些關(guān)于二階齊次線性周期微分方程的結(jié)論:

        f''+P(ez) f'+Q(ez) f=0,其中,P(ez)、Q(ez)均為ez的多項式,且不同時為0。上述方程的所有解均是整函數(shù)。

        近年來,很多作者已經(jīng)探究了二階線性微分方程整函數(shù)解的零點、增長性以及相關(guān)問題[5],主要涉及的線性微分方程的形式為:f''+e-zf'+Q(z) f=0,其中,Q(z)為有限級整函數(shù)。

        三、正文

        1.主要的引理

        定義1.1[4]:設(shè)f是一個非常數(shù)亞純函數(shù),T(r, f )=N(r, f )+m(r, f ),r>0是f的特征函數(shù)。

        引理 1.1[8]:令h是一個非常數(shù)整函數(shù),且f(z)=eh(z),那么就有:(1)當h(z)是一個p次多項式時,ρ( f )=μ( f )=p;(2)當h(z)是一個超越整函數(shù)時,ρ( f )=μ( f )=∞;(3) ρ2( f )=ρ(h)。

        注1.1:從引理1.1和例1.1可以看出,對任意非零常數(shù)c和正整數(shù)p,函數(shù)f(z)=exp(czp)的超級為p,函數(shù)g(z)=exp(cez)的級為無窮大,超級為1。

        引理1.4[8]:令h是一個非常數(shù)整函數(shù),且f(z)=eh(z),那么(1) T(r,h)=o(T(r, f ))(r→∞);(2)T(r,h' )=S(r, f )。

        引理1.5[8]:假定f和g是非常數(shù)亞純函數(shù),使得ρ(f)<μ(g),那么T(r, f )=o(T(r, g))(r→∞)。

        引理1.6[8]:令f和g是亞純函數(shù),使得T(r, f )=O(T(r, g))(r→∞, rE),其中E是有限度量的集合,那么ρ(f)≤ρ(g)。稱為朗斯基行列式。

        2.主要結(jié)果

        那么

        引理 2.1的證明:

        定理2.1的證明:

        (2.9)給出了

        假定f的級有限,由引理 1.3、引理 2.1和(2.10),有

        證畢。

        [1] R.G.Halburd and R.J.Korhonen, Diffenence analogue of the lemma on logarithmic derivative with applications to difference equations, J.Math.Anal.Appl.314 (2006), 477-487.

        [2] R.G.Halburd and R.J.Korhonen, Nevanlinna theory for the difference operator, Ann.Acad.Sci.Fenn.Math.31 (2006), 463-478.

        [3] E.Hille, Ordinary differential equations in the complex domain, Dover publications, Inc.Mineola, New York, 1976.

        [4] I.Laine, Nevanlinna Theory and Complex Differential Equations, Walter de Gruyter, Berlin/New York, 1993.

        [5] J.Langley, On complex oscillation and a problem of Ozawa, Kodai Math.J., 9 (1986), 430-439.

        [6] L.W.Liao, C.C.Yang and J.J.Zhang, On meromorphic solutions of certain type of non-linear differential equations, Ann.Acad.Sci.Fenn.Math., 38 (2013), 581-593.

        [7] H.Wittich, Ganze transzendente L¨osunger algebraischer Differentialgleichungen, Math.Ann., 122 (1950), 221-234.

        [8] C.C.Yang and H.X.Yi, Uniqueness Theory of Meromorphic Functions, Science Press, Beijing/New York, 2003.

        王曉媛(1994年11月12日-),女,漢族,河南三門峽人,中國石油大學(華東)理學院,2013級本科生,數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學專業(yè)

        本文屬大學生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓練計劃資助項目階段性成果(項目編號:201610425064)

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