農(nóng)勝隆，高尚晗

（1.廣西科技大學(xué)鹿山學(xué)院，廣西 柳州 545616；2.廣西科技大學(xué) 機械工程學(xué)院，廣西 柳州 545006）

因摩擦因數(shù)小、承載特性好，角接觸球軸承廣泛應(yīng)用于高速機床電主軸系統(tǒng)。隨著電主軸轉(zhuǎn)速及精度要求的不斷提高，需要對電主軸-角接觸球軸承系統(tǒng)的非線性動態(tài)特性進行更深入的研究。

軸承參數(shù)對系統(tǒng)非線性動態(tài)特性的影響吸引了眾多研究者的注意［1］。文獻［2-3］將Hertz方程引入球軸承-轉(zhuǎn)子整體系統(tǒng)模型中，研究軸承配置對主軸支承剛度的影響，發(fā)現(xiàn)軸承預(yù)緊力越大，支承剛度也越大，系統(tǒng)的固有頻率也相應(yīng)增大。文獻［4-5］對球軸承支承剛性轉(zhuǎn)子的穩(wěn)定性問題進行了系統(tǒng)研究，通過相軌跡、龐卡萊映射及功率譜等描述了系統(tǒng)的周期、擬周期、混沌及分岔等振動響應(yīng)特性，發(fā)現(xiàn)軸承內(nèi)外圈的表面波紋度及鋼球數(shù)量對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性及動態(tài)響應(yīng)均有較大影響，鋼球表面波紋度的影響可忽略不計。游隙是引起系統(tǒng)非線性動態(tài)響應(yīng)的關(guān)鍵因素，通常用于補償主軸高速轉(zhuǎn)動時出現(xiàn)的熱膨脹。文獻［6］對非線性軸承游隙影響下的Jeffcott轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進行研究，發(fā)現(xiàn)其振幅隨軸承徑向游隙增大而減小。

鋼球與內(nèi)外圈之間為點接觸［5］，可采用非線性非光滑的Hertz接觸力進行建模。因此，系統(tǒng)研究了Hertz接觸力作用下，軸承負游隙對系統(tǒng)非線性振動響應(yīng)的影響，為進一步提高主軸-球軸承系統(tǒng)的穩(wěn)定性提供一定的理論基礎(chǔ)。

1 Bernoulli-Euler梁模型及邊界條件

電主軸結(jié)構(gòu)如圖1所示，當主軸高速旋轉(zhuǎn)時，轉(zhuǎn)子的柔性振動響應(yīng)特征明顯?？筛鶕?jù)電主軸結(jié)構(gòu)特點，將轉(zhuǎn)子簡化為連續(xù)梁模型，如圖2所示，軸承1位于第1段轉(zhuǎn)子末端的A點，軸承2位于第1段與第2段轉(zhuǎn)子之間的B點。采用Bernoulli-Euler連續(xù)梁模型對高速電主軸轉(zhuǎn)子-軸承的振動響應(yīng)進行研究，角接觸球軸承及轉(zhuǎn)子的參數(shù)見文獻［7］。

圖1 電主軸結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Structure diagram of motorized spindle

圖2 主軸-球軸承簡化模型Fig.2 Simplified model of spindle-ball bearing

為使系統(tǒng)的研究結(jié)果具有通用性，需要對系統(tǒng)振動響應(yīng)偏微分方程組及其邊界條件進行量綱一化，由此引入以下量綱一的量:為量綱一的轉(zhuǎn)子軸向坐標;為量綱一的轉(zhuǎn)子橫向振幅；x為轉(zhuǎn)子的軸向坐標；y為轉(zhuǎn)子的橫向振幅；e為轉(zhuǎn)子不平衡量；L為轉(zhuǎn)子長度；ω為轉(zhuǎn)動頻率；t為時間；ωs為計算頻率；E為彈性模量；I為轉(zhuǎn)子的橫截轉(zhuǎn)動慣量；ρ為轉(zhuǎn)子密度；A為轉(zhuǎn)子的橫截面積；η為量綱一頻率；δ為轉(zhuǎn)子單位長度截面系數(shù)；r0為轉(zhuǎn)子截面系數(shù)；為量綱一的徑向游隙；Gr為徑向游隙；λ為截面系數(shù)比；下標1，2分別表示圖2所示簡化模型的第1，2段轉(zhuǎn)子；即

若不考慮剪切變形及轉(zhuǎn)動慣量的影響，對于圖2的二階Bernoulli-Euler連續(xù)梁模型，其振動響應(yīng)的偏微分方程組為

則量綱一的偏微分方程組為

根據(jù)Hertz彈性理論［4］，球軸承支承力為

式中：k為鋼球與內(nèi)外圈的接觸剛度；θi為第i個鋼球的相位角；Z為鋼球個數(shù)。由此可知，球軸承支承力具有非線性非連續(xù)特性，而該特性會引起電主軸-球軸承系統(tǒng)產(chǎn)生復(fù)雜的非線性響應(yīng)。

（1）式描述連續(xù)梁所固有的振動特性。而整體轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)則需要引入邊界條件來確定［8］，邊界條件即為轉(zhuǎn)子運動邊界上方程的解應(yīng)該滿足的條件。由（3）式及文獻［8］中連續(xù)梁的邊界條件表達式可知，2階連續(xù)轉(zhuǎn)子在A點的邊界條件為

點B的邊界條件為

式中：Fe為轉(zhuǎn)子的不平衡力。

C點的邊界條件為

2 特征方程

引入

式中：φ為轉(zhuǎn)子響應(yīng)相位角。

將（7）式代入（6）式，消去sin（τ+φ），得

定義系數(shù)如下

通過求解（11）式，可得到不同的頻率η下的函數(shù)H1～H8，進而求得確切的系統(tǒng)方程模態(tài)函數(shù)，最終得到系統(tǒng)的頻率響應(yīng)曲線。

令

特征方程組（11）式可通過平均法求得，即在0～π范圍內(nèi)對α進行積分，得系統(tǒng)特征方程組為

轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)連續(xù)梁模型與有限元模型的頻響曲線如圖3所示。角接觸球軸承的線性剛度表達式與文獻［7］相同，且軸承預(yù)緊力Fa＝200 N。由圖可知，連續(xù)梁模型與有限元模型固有頻率的誤差在1.2%以內(nèi)，其誤差在允許范圍之內(nèi)，說明文中所建立的連續(xù)梁模型是可靠的。有限元模型的固有頻率比連續(xù)梁模型大，是由于連續(xù)梁模型的柔性大，其固有頻率較小。

圖3 連續(xù)梁模型與有限元模型頻響曲線Fig.3 Frequency response curves of continuous beam model and finite element model

由于系統(tǒng)的邊界條件具有非線性非連續(xù)特性，因此，轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的特征方程組（13）式是非線性非連續(xù)方程組，其系統(tǒng)頻響曲線會表現(xiàn)出復(fù)雜的非線性振動響應(yīng)特征。

3 計算結(jié)果

軸承1游隙固定在-5，軸承2游隙變化時，系統(tǒng)第1階固有頻率附近的頻響曲線如圖4所示。由圖4a可知，當系統(tǒng)頻率η較小，并離第1階固有頻率（M1點）較遠，系統(tǒng)的振動響應(yīng)穩(wěn)定，1個η值對應(yīng)1個振幅；當η接近第1階固有頻率時，系統(tǒng)頻響曲線向右彎曲，在M2點處，1個η值對應(yīng)3個幅值，系統(tǒng)響應(yīng)明顯呈現(xiàn)非線性。若減小軸承負游隙值，系統(tǒng)頻響曲線如圖4b所示，右彎曲之前有短暫左彎曲現(xiàn)象，但在其非線性響應(yīng)區(qū)域，1個值仍對應(yīng)3個幅值。繼續(xù)減小軸承負游隙值（圖4c），系統(tǒng)頻響曲線的左彎曲幅度更大，出現(xiàn)了1個值對應(yīng)5個幅值的非線性響應(yīng)區(qū)域。由圖4可知，軸承負游隙值減小，系統(tǒng)的第1階固有頻率會增大，非線性頻響曲線右彎曲的幅度會降低。

圖4 軸承2游隙變化時，系統(tǒng)第1階固有頻率附近的頻響曲線Fig.4 Frequency response curves near the first natural frequency of system with clearance variation of bearing 2

當軸承1與2的游隙都為0時，系統(tǒng)的頻響曲線如圖5所示，其頻響曲線會出現(xiàn)交叉，但圖3中未出現(xiàn)該現(xiàn)象。由此可知，頻響曲線的交叉是由于球軸承的非連續(xù)支承特性引起的。若想避免交叉，則需減小軸承負游隙值，即削弱軸承非連續(xù)特性的影響。

圖5 ＝＝0時，系統(tǒng)的頻響曲線Fig.5 Frequency response curves of system with＝＝0

軸承1游隙固定在-5，軸承2游隙變化時，第2階固有頻率附近的頻響曲線如圖6所示，該曲線同樣表現(xiàn)出明顯的硬剛度特性。與第1階固有頻率處的非線性頻響曲線特性類似，當軸承負游隙值較大時，第2階固有頻率附近出現(xiàn)1個值對應(yīng)3個幅值的非線性響應(yīng)區(qū)域（圖6a）；減小軸承負游隙值，會出現(xiàn)1個值對應(yīng)5個幅值的非線性響應(yīng)區(qū)域（圖6b）。隨軸承負游隙值減小，頻響曲線的多值區(qū)域減小，其背骨線向右彎曲的程度也隨之降低。

圖6 軸承2游隙變化時，系統(tǒng)第2階固有頻率附近的頻響曲線Fig.6 Frequency response curves near the second natural frequency of system with clearance variation of bearing 2

由以上計算結(jié)果可知，當軸承負游隙值較大時，軸承的非線性及非連續(xù)特性較為明顯，背骨線向右彎曲的幅度較大，其響應(yīng)的非穩(wěn)定區(qū)域也較大；減小軸承負游隙值，鋼球及套圈的接觸區(qū)域增加，軸承的非線性及非連續(xù)特性相應(yīng)減弱，背骨線向右彎曲的幅度減小，非穩(wěn)定區(qū)域也同樣減小。

4 結(jié)束語

由于軸承非線性非連續(xù)Hertz支承特性的影響，系統(tǒng)頻響曲線呈現(xiàn)硬剛度特性。隨著軸承負游隙值減小，系統(tǒng)的硬剛度特性相應(yīng)減弱，故可通過減小軸承負游隙值來減小非線性響應(yīng)區(qū)域。由于鋼球與內(nèi)外圈之間的非連續(xù)點接觸，主軸系統(tǒng)的頻響曲線中還會出現(xiàn)交叉現(xiàn)象。分析結(jié)果為角接觸球軸承的設(shè)計分析提供了參考。