郭曉寧，張曉東，姚立綱

(福州大學(xué)機(jī)械工程及自動(dòng)化學(xué)院，福建福州350116)

一種三轉(zhuǎn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)及解耦性分析與仿真

郭曉寧，張曉東，姚立綱

(福州大學(xué)機(jī)械工程及自動(dòng)化學(xué)院，福建福州350116)

對(duì)一種支鏈含等速萬向節(jié)的R RR－PaRRS－RHJ型三轉(zhuǎn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)及其解耦特性進(jìn)行分析.首先，對(duì)機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)特性分析和自由度計(jì)算.然后，通過構(gòu)件間的幾何關(guān)系對(duì)機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，給出機(jī)構(gòu)位置正、逆解析解，推導(dǎo)出機(jī)構(gòu)在定坐標(biāo)系和動(dòng)坐標(biāo)系下的速度雅克比矩陣，根據(jù)雅可比矩陣分析此機(jī)構(gòu)在不同坐標(biāo)系下表現(xiàn)的不同耦合性.最后，運(yùn)用ADAMS軟件進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真，驗(yàn)證了理論分析的正確性.

三轉(zhuǎn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu);運(yùn)動(dòng)分析;解耦性;ADAMS仿真

0 引言

與串聯(lián)機(jī)構(gòu)相比，并聯(lián)機(jī)構(gòu)由于其強(qiáng)耦合性使其具有結(jié)構(gòu)緊湊、承載能力強(qiáng)、精度高等顯著優(yōu)點(diǎn)，在機(jī)器人領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用.但也正因?yàn)檫@種強(qiáng)耦合性，使其在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)裝配、運(yùn)動(dòng)學(xué)分析以及控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)等方面存在諸多困難，給并聯(lián)機(jī)構(gòu)的應(yīng)用帶來局限.若并聯(lián)機(jī)構(gòu)能實(shí)現(xiàn)完全解耦或各向同性，即輸入與輸出之間存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，則會(huì)解決上述制約并聯(lián)機(jī)構(gòu)應(yīng)用的問題.因此，在承載能力要求不高的領(lǐng)域，解耦或完全各向同性并聯(lián)機(jī)構(gòu)的研究已是當(dāng)前機(jī)構(gòu)學(xué)領(lǐng)域的熱點(diǎn)之一.

Carricato［1］基于螺旋理論綜合了3T1R型完全各向同性并聯(lián)機(jī)構(gòu).Gogu［2－3］通過先綜合出無耦合機(jī)構(gòu)再利用運(yùn)動(dòng)副替換的方法得到3T、2T1R、2T2R、3R等多種完全各向同性并聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)型，其中綜合出的3R完全各向同性并聯(lián)機(jī)構(gòu)都包括一條含有等速萬向節(jié)的支鏈，并且沒有進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析.張彥斌等［4］基于螺旋理論提出了完全各向同性的少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)型綜合方法，并綜合得到具有完全各向同性的3T、2T1R型并聯(lián)機(jī)構(gòu).張帆等［5］基于機(jī)構(gòu)雅可比矩陣的物理含義和支鏈驅(qū)動(dòng)原理，綜合出全R副的3R全局各向同性轉(zhuǎn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)和解耦球面轉(zhuǎn)動(dòng)的并聯(lián)機(jī)構(gòu).但是，Kong X等［6］對(duì)其提出的并聯(lián)機(jī)構(gòu)提出質(zhì)疑，并證明了其并不具有解耦特性，更不具有各向同性.同時(shí)，Legnani G等［7］也提出并證明了對(duì)于動(dòng)平臺(tái)具有兩個(gè)或三個(gè)旋轉(zhuǎn)自由度且只含有一般運(yùn)動(dòng)副的并聯(lián)機(jī)構(gòu)，由于角速度不可積分的特性，要使機(jī)構(gòu)在整個(gè)工作空間內(nèi)保持完全各向同性和解耦是不可能的，只可能在某些特定位置具有各向同性和解耦特性.侯雨雷［8］根據(jù)螺旋理論分析三自由度轉(zhuǎn)動(dòng)解耦并聯(lián)機(jī)構(gòu)型綜合后得出:物體在先后繞三條相互垂直的坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)過程中會(huì)出現(xiàn)伴隨轉(zhuǎn)動(dòng)，從而導(dǎo)致運(yùn)動(dòng)耦合，因此3R并聯(lián)機(jī)構(gòu)只能瞬時(shí)解耦，而無法實(shí)現(xiàn)完全解耦.解耦是完全各向同性的必要條件，由此引出問題:文［3］提出的并聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)型是否具有完全各向同性?

基于此問題，本研究對(duì)文［3］提出的R RR－PaRRS－RHJ型三轉(zhuǎn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行詳細(xì)的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，討論此機(jī)構(gòu)在不同參考坐標(biāo)系下的運(yùn)動(dòng)解耦性.最后利用ADAMS軟件對(duì)機(jī)構(gòu)進(jìn)行仿真驗(yàn)證理論推導(dǎo)的正確性.

1 機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)和運(yùn)動(dòng)特性分析

1.1 機(jī)構(gòu)描述

RRR－PaRRS－RHJ并聯(lián)機(jī)構(gòu)簡圖如圖1所示.每條支鏈上與基座連接的運(yùn)動(dòng)副R1、Pa、R6為主動(dòng)副.第1支鏈的運(yùn)動(dòng)副類型及配置方式為R1⊥R2⊥R3，即3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副的轉(zhuǎn)動(dòng)軸線互相垂直并相交于動(dòng)平臺(tái)的轉(zhuǎn)動(dòng)中心.第2支鏈由1個(gè)平行四邊形鉸鏈Pa、2個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副和1個(gè)球副串聯(lián)而成，其結(jié)構(gòu)組成為:Pa∥R4∥R5－S.第3支鏈由轉(zhuǎn)動(dòng)副R6和等速萬向節(jié)HJ組成.在動(dòng)平臺(tái)的轉(zhuǎn)動(dòng)中心(等速萬向節(jié)的轉(zhuǎn)動(dòng)中心)建立固結(jié)于基座的定坐標(biāo)系O－XYZ，其Y軸重合于第3支鏈中轉(zhuǎn)動(dòng)副R6的軸線，Z軸沿鉛垂方向且與轉(zhuǎn)動(dòng)副R1的軸線共線，X軸可通過右手準(zhǔn)則確定.同樣在動(dòng)平臺(tái)的轉(zhuǎn)動(dòng)中心處創(chuàng)建固結(jié)于動(dòng)平臺(tái)的動(dòng)坐標(biāo)系p－xyz.機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)如下:轉(zhuǎn)動(dòng)副R1到轉(zhuǎn)動(dòng)中心O的距離為l11，轉(zhuǎn)動(dòng)副R2到轉(zhuǎn)動(dòng)中心O的距離為l12，轉(zhuǎn)動(dòng)副R3到轉(zhuǎn)動(dòng)中心O的距離為l13;轉(zhuǎn)動(dòng)副R4的初始位置位于X軸上，轉(zhuǎn)動(dòng)中心O到其軸線的距離為l20，R4與R5之間的距離為l21，R5到球副S的距離為l22，且l22=l20.平行四邊形鉸鏈Pa參數(shù)如圖1所示，其中桿長a=l21;第3支鏈中轉(zhuǎn)動(dòng)副R6到轉(zhuǎn)動(dòng)中心O的距離為l31;動(dòng)平臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)中心O到球副S的距離為l.

1.2 運(yùn)動(dòng)輸出特性分析和自由度計(jì)算

由圖1所示機(jī)構(gòu)的裝配形式可知:第1支鏈和第3支鏈限制了動(dòng)平臺(tái)沿x、y、z軸的移動(dòng)自由度;第2支鏈含有6個(gè)自由度，對(duì)動(dòng)平臺(tái)無約束.因此，該機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)只具有繞x、y、z軸轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)輸出.

機(jī)構(gòu)自由度可通過修正Chebyshev－Grübler－Kutzbach(CGK)［9］公式來計(jì)算，即:

其中:M為機(jī)構(gòu)自由度;d為機(jī)構(gòu)的階數(shù)(d=6－λ，λ為公共約束數(shù));n為包括機(jī)架在內(nèi)的構(gòu)件數(shù)目;g為運(yùn)動(dòng)副個(gè)數(shù);fi為第i個(gè)運(yùn)動(dòng)副的自由度數(shù);ν為冗余約束數(shù);ζ表示局部自由度數(shù).

對(duì)于該并聯(lián)機(jī)構(gòu):第1支鏈和第3支鏈同時(shí)限制了動(dòng)平臺(tái)沿x、y、z軸的移動(dòng)自由度，故冗余約束個(gè)數(shù)ν=3;構(gòu)件數(shù)n=8;運(yùn)動(dòng)副個(gè)數(shù)g=9;不存在局部自由度，即ζ=0.代入式(1)可得機(jī)構(gòu)自由度數(shù)為: M=6×(8－9－1)+12+3=3，與上述機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)輸出特性的分析結(jié)果一致.

2 位置分析

圖1所示機(jī)構(gòu)中，初始位置動(dòng)坐標(biāo)系p－xyz和靜坐標(biāo)系O－XYZ重合，動(dòng)平臺(tái)的空間姿態(tài)由動(dòng)坐標(biāo)系的Z－X－Y型歐拉角(Euler angle)描述，動(dòng)平臺(tái)先繞z軸轉(zhuǎn)α角，再繞x軸轉(zhuǎn)β角，最后繞y軸轉(zhuǎn)γ角，三次旋轉(zhuǎn)都是相對(duì)于動(dòng)坐標(biāo)，則剛體最終的姿態(tài)矩陣OTp為:

其中:

2.1 位置逆解

設(shè)θai、θ·ai(i=1，2，3)分別為第i支鏈主動(dòng)副的轉(zhuǎn)角和角速度.

對(duì)于第1支鏈，分別以矢量u、v、w表示主動(dòng)副R1、中間轉(zhuǎn)動(dòng)副R2以及與動(dòng)平臺(tái)相連的轉(zhuǎn)動(dòng)副R3軸線的單位矢量方向.初始位置時(shí)三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副相對(duì)于定坐標(biāo)系O－XYZ的單位矢量為:

當(dāng)與R1相連的電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)角度θa1時(shí)，R2的單位矢量為:

R3的單位矢量為:

由運(yùn)動(dòng)鏈的幾何關(guān)系:v⊥w，可得:

將式(3)、(4)代入式(5)，可得:

對(duì)于第2支鏈，為便于分析，將其中的平行四邊形鉸鏈等效為導(dǎo)路方向平行于Z軸的移動(dòng)副.首先用D－H方法建立該支鏈的連桿坐標(biāo)系O－x0y0z0(與定坐標(biāo)系O－XYZ重合)、Oi－xiyizi(i=1，2，3)，相關(guān)參數(shù)如圖2所示，則坐標(biāo)系Oi－1－xi－1yi－1zi－1與Oi－xiyizi之間的變換矩陣i－1Ti為:

將圖2中的參數(shù)代入式(7)，即可得到各連桿坐標(biāo)變化矩陣:0T1、1T2、2T3.由此，球副中心坐標(biāo)系O3－x3y3z3在定坐標(biāo)系O－XYZ中的變換矩陣:

由此，球副S的空間位置為:

另外，球副的空間位置也可以用Z－X－Y歐拉角表示.機(jī)構(gòu)處于初始位置時(shí)，球副S在定坐標(biāo)的位置為:P0=(0l210)T.動(dòng)平臺(tái)經(jīng)ZXY歐拉變換后，S在定坐標(biāo)的位置為:

因?yàn)?PDH=P，所以:l21sin θa2=l21sin β，即:

對(duì)于第3支鏈，驅(qū)動(dòng)構(gòu)件直接通過等速萬向節(jié)與動(dòng)平臺(tái)相連.等速萬向節(jié)的輸出軸與動(dòng)平臺(tái)固連，且旋轉(zhuǎn)軸線始終與動(dòng)坐標(biāo)的y軸重合，顯然:

2.2 位置正解

已知三條支鏈中主動(dòng)副的輸入轉(zhuǎn)角θai(i=1，2，3)，求動(dòng)平臺(tái)的空間姿態(tài)角(α、β、γ).根據(jù)式(6)、(10)、(11)，可迅速求得位置正解:

3 速度分析

機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)解耦是各向同性的基礎(chǔ)，傳統(tǒng)意義上的運(yùn)動(dòng)解耦概念是相對(duì)于固定坐標(biāo)系，而象并聯(lián)機(jī)構(gòu)這樣復(fù)雜機(jī)構(gòu)很難實(shí)現(xiàn)諸如此類型的解耦運(yùn)動(dòng);但如果將運(yùn)動(dòng)解耦的概念建立在動(dòng)坐標(biāo)系上，機(jī)構(gòu)主動(dòng)副的輸入速度和動(dòng)平臺(tái)的輸出速度之間容易實(shí)現(xiàn)一一對(duì)應(yīng)的控制關(guān)系［9］.為此，本研究分析機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)在固定坐標(biāo)系(慣性坐標(biāo)系)和動(dòng)坐標(biāo)系(物體坐標(biāo)系)下動(dòng)平臺(tái)的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度.

設(shè)在固定坐標(biāo)系中描述動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)空間角速度［ωzωxωy］T，在動(dòng)坐標(biāo)系中描述動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)的歐拉角參數(shù)空間角速度.將式(12)分別對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，得到在動(dòng)坐標(biāo)系p－xyz下，由歐拉角描述的動(dòng)平臺(tái)空間角速度與主動(dòng)副角速度之間的關(guān)系:

式中:Jp為并聯(lián)機(jī)構(gòu)在動(dòng)坐標(biāo)系p－xyz下的雅可比矩陣.

對(duì)于Z－X－Y型歐拉角描述的動(dòng)平臺(tái)的空間姿態(tài)，固定坐標(biāo)系下動(dòng)平臺(tái)的瞬時(shí)角速度［ωzωxωy］T與動(dòng)坐標(biāo)系下動(dòng)平臺(tái)的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度之間的關(guān)系為:

式中:G^為歐拉轉(zhuǎn)軸坐標(biāo)系到構(gòu)件質(zhì)心坐標(biāo)系的坐標(biāo)變換矩陣，

把式(13)代入式(14)，得到定坐標(biāo)系下，動(dòng)平臺(tái)角速度與主動(dòng)副角速度之間的關(guān)系:

式中:J為并聯(lián)機(jī)構(gòu)在定坐標(biāo)系O－XYZ下的雅可比矩陣.

4 機(jī)構(gòu)的完全各向同性分析

由式(13)可知:在動(dòng)坐標(biāo)系下，雅克比矩陣Jp為單位陣，由此，此并聯(lián)機(jī)構(gòu)在整個(gè)工作空間內(nèi)，雅克比矩陣Jp的條件數(shù):

式中:σmax、σmin分別表示雅克比矩陣Jp的最大、最小奇異值.

由此可知:在動(dòng)坐標(biāo)系下，此并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有完全各向同性.而在定坐標(biāo)系下，由于雅克比矩陣J不是單位陣，所以機(jī)構(gòu)不具有完全各向同性.因det(J)=cos β，機(jī)構(gòu)在β=±π/2時(shí)出現(xiàn)奇異位形.

5 虛擬樣機(jī)仿真

為驗(yàn)證以上分析，在ADAMS軟件中建立了機(jī)構(gòu)的虛擬樣機(jī)模型，并對(duì)其進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真分析.

5.1 位置逆解仿真

在機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)的轉(zhuǎn)動(dòng)中心施加點(diǎn)驅(qū)動(dòng)，使動(dòng)平臺(tái)實(shí)現(xiàn)期望運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)驅(qū)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)激勵(lì)角位移函數(shù)為:繞Z軸disp(time)=5 d*time*time;繞X軸disp(time)=10 d*time*time;繞Y軸disp(time)=15 d*time* time.

設(shè)定仿真類型為Default(運(yùn)動(dòng)學(xué))，仿真時(shí)間為2 s，步數(shù)為100，進(jìn)行仿真分析后，得到動(dòng)平臺(tái)角位移與主動(dòng)副轉(zhuǎn)角關(guān)系曲線:α－θa1關(guān)系曲線、β－θa2關(guān)系曲線、γ－θa3關(guān)系曲線，分別如圖3～圖5所示.

分析圖3～圖5的運(yùn)動(dòng)曲線可知:主動(dòng)副θa1、θa2、θa3分別與動(dòng)平臺(tái)的轉(zhuǎn)角α、β、γ之間存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，仿真結(jié)果與運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解解析式完全一致.

5.2 位置正解仿真

在各支鏈主動(dòng)副添加驅(qū)動(dòng)，通過三個(gè)主動(dòng)副驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng).三個(gè)主動(dòng)副角位移的運(yùn)動(dòng)規(guī)律分別為:

進(jìn)行2 s、100步的仿真，相應(yīng)的角位移關(guān)系曲線:θa1－α關(guān)系曲線、θa2－β關(guān)系曲線、θa3－γ關(guān)系曲線分別如圖6～圖8所示.比較圖6～圖8的變化曲線可知:動(dòng)平臺(tái)姿態(tài)角的變化與主動(dòng)副轉(zhuǎn)角相同，即運(yùn)動(dòng)學(xué)正解表達(dá)式與仿真結(jié)果一致.

5.3 速度仿真

在ADAMS的后處理模塊中對(duì)主動(dòng)副和姿態(tài)角位移曲線求一階導(dǎo)，得到動(dòng)坐標(biāo)系下驅(qū)動(dòng)副和動(dòng)平臺(tái)的角速度關(guān)系曲線:1－關(guān)系曲線、2－關(guān)系曲線3－關(guān)系曲線，分別如圖9～圖11所示.

由圖9～圖11可知:如果在物體坐標(biāo)系下描述動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)，動(dòng)平臺(tái)角速度α·、β·、γ·與主動(dòng)副角速度之間呈一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，即每一個(gè)輸入僅控制一個(gè)輸出，而每一個(gè)輸出也僅受到唯一一個(gè)輸入的影響，驗(yàn)證了機(jī)構(gòu)的完全各向同性.

若在固定坐標(biāo)系下描述動(dòng)平臺(tái)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，則通過ADAMS仿真測(cè)得的動(dòng)平臺(tái)角速度［ωzωxωy］T曲線如圖12(a)所示.

為驗(yàn)證仿真結(jié)果的正確性，對(duì)式(17)求一階導(dǎo)，得到主動(dòng)副轉(zhuǎn)速:=30t;然后將其代入式(15)，則動(dòng)平臺(tái)角速度為:利用Matlab軟件計(jì)算式(18)，并把計(jì)算結(jié)果繪制成曲線，結(jié)果如圖12(b)所示.

由圖12可知:仿真結(jié)果與理論計(jì)算完全一致，速度分析合理.因此，在定坐標(biāo)系下，主動(dòng)副的輸入速度和動(dòng)平臺(tái)的輸出速度之間不存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，機(jī)構(gòu)不滿足傳統(tǒng)意義上的解耦.

6 結(jié)語

本研究對(duì)R RR－PaRRS－R HJ型并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)特性和位置正逆解析解進(jìn)行了詳細(xì)分析與仿真，并研究機(jī)構(gòu)在不同參考坐標(biāo)系下的耦合性和各向同性.研究表明:

1)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)具有3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，結(jié)構(gòu)簡單緊湊，容易制造;

2)此機(jī)構(gòu)在定坐標(biāo)系下存在運(yùn)動(dòng)耦合;在動(dòng)坐標(biāo)系下，全局雅克比矩陣為單位矩陣且條件數(shù)恒等于1，機(jī)構(gòu)表現(xiàn)為完全各向同性，機(jī)構(gòu)在控制和軌跡規(guī)劃等方面較為簡單.本研究所做工作為該機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)分析和控制系統(tǒng)開發(fā)奠定了理論基礎(chǔ)，該機(jī)構(gòu)在微操作機(jī)器人、醫(yī)療機(jī)器人、坐標(biāo)測(cè)量機(jī)等精度要求高而承載能力不高的領(lǐng)域具有廣闊的應(yīng)用前景.

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(責(zé)任編輯:沈蕓)

Kinematics and decoupling analysis along with simulation of a 3－DOF rotational parallel mechanism

GUO Xiaoning，ZHANG Xiaodong，YAO Ligang
(School of Machine Engineering and Automation，F(xiàn)uzhou University，F(xiàn)uzhou，F(xiàn)ujian 350116，China)

This paper analyses the kinematics and decoupling performance of a R RR－PaRRS－RHJ type 3－DOF rotational parallel mechanism with a special chain containing homokinetic joints.Firstly，the motion output characteristic is investigated and the degree of freedom is calculated.Kinematics are analyzed by the geometric relationship between the components of the mechanism.Both the forward and the inverse analytical solutions of the moving platform’s position were obtained，the Jacobian matrixes under the fixed coordinate system and moving coordinate system are derived.According to Jacobian matrix，the coupling performance of mechanism in different coordinate systems is analyzed.Finally，the kinematic simulation of this mechanism was performed by ADAMS.As a result，the correctness of theoretic analysis is proved.

3－DOF rotational parallel mechanism;kinematics analysis;decoupleness;ADAMS simulation

TH112;TP242

A

10.7631/issn.1000－2243.2016.06.0800

1000－2243(2016)06－0800－07

2015－10－12

郭曉寧(1975－)，副教授，主要從事虛擬設(shè)計(jì)以及機(jī)構(gòu)CAD研究，Gxn_yx@163.com

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51275092)