周瑜珍

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探究進(jìn)行時(shí)/實(shí)驗(yàn)方案

什么是無理數(shù)？

周瑜珍

實(shí)驗(yàn)課題

無理數(shù)的概念.

實(shí)驗(yàn)背景

無理數(shù)概念的建立要有一定的抽象思維和初步的極限概念.以往同學(xué)們對(duì)無理數(shù)概念的意義理解不夠，有時(shí)會(huì)有一些誤解，如認(rèn)為“無理數(shù)就是帶根號(hào)的數(shù)”，現(xiàn)“蘇科版”教材在初一實(shí)數(shù)一章中直接給出無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，但這可能也會(huì)讓同學(xué)們體會(huì)不到數(shù)的擴(kuò)充的必要性.

因此現(xiàn)對(duì)無理數(shù)概念的建立做一個(gè)新的設(shè)計(jì)：首先通過活動(dòng)，讓同學(xué)們親身經(jīng)歷無理數(shù)發(fā)現(xiàn)的過程，體會(huì)無理數(shù)概念的意義，再進(jìn)一步通過探索活動(dòng)增進(jìn)對(duì)無理數(shù)概念意義的理解，即無限不循環(huán)的認(rèn)識(shí).

實(shí)驗(yàn)?zāi)康?/p>

通過活動(dòng)，讓同學(xué)們親身經(jīng)歷無理數(shù)發(fā)現(xiàn)的過程，通過探索活動(dòng)增進(jìn)對(duì)無理數(shù)概念的理解.

實(shí)驗(yàn)難點(diǎn)

尋找一個(gè)平方為2的數(shù).

實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備

單位為1的數(shù)軸、單位為1的兩個(gè)正方形、圓規(guī)、刻度尺.

實(shí)驗(yàn)過程

活動(dòng)一：有兩個(gè)邊長為1的小正方形，剪一剪，拼一拼，設(shè)法得到一個(gè)大的正方形.

【活動(dòng)說明】通過剪紙、拼圖等操作，將兩個(gè)正方形組合成一個(gè)大正方形，發(fā)現(xiàn)大正方形的面積為2.

活動(dòng)二：討論：若設(shè)大正方形的邊長為a，則a要滿足什么條件？

活動(dòng)想法記錄：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

【活動(dòng)說明】體會(huì)a2=2的幾何意義，感受正方形邊長和面積之間的關(guān)系，為將a數(shù)值化做準(zhǔn)備.

活動(dòng)三：能否在下面的數(shù)軸上找到表示數(shù)值為a的點(diǎn) （單位長度與小正方形單位長度一致）.

【活動(dòng)說明】可以通過圓規(guī)的量取或是直接將大正方形邊長疊加在數(shù)軸上等試驗(yàn)方式獲得a點(diǎn)，通過動(dòng)手操作及圖形直觀，讓同學(xué)們了解該點(diǎn)能在數(shù)軸上表示，即a是實(shí)數(shù)，為下面的學(xué)習(xí)做鋪墊.

活動(dòng)四：根據(jù)以上的實(shí)驗(yàn)，請(qǐng)猜想這個(gè)數(shù)的值為多少？

1.若a是整數(shù)，請(qǐng)寫出具體的數(shù)值；若不是，請(qǐng)說明理由.

2.若a是分?jǐn)?shù)，請(qǐng)寫出具體的數(shù)值；若不是，請(qǐng)說明理由.

3.你有什么發(fā)現(xiàn)？

【活動(dòng)說明】通過剛才的實(shí)驗(yàn)，同學(xué)們可以確定a顯然不是一個(gè)整數(shù)，是介于1與2之間的一個(gè)數(shù).第二小問是幫助同學(xué)們進(jìn)行思考和討論的，最后可以得出：a既不是整數(shù)也不是分?jǐn)?shù)，它不屬于有理數(shù)，但屬于實(shí)數(shù).a確實(shí)是存在的，但不是有理數(shù)，那是什么數(shù)呢？a又究竟是多少呢？通過反復(fù)計(jì)算、實(shí)驗(yàn)可以發(fā)現(xiàn)a是無限不循環(huán)小數(shù)，可類比除不盡的分?jǐn)?shù)，分?jǐn)?shù)是有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù).這發(fā)現(xiàn)也可糾正分?jǐn)?shù)即有限小數(shù)的錯(cuò)誤判斷.

實(shí)驗(yàn)小結(jié)

1.無理數(shù)定義：

無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù).

2.嘗試畫出實(shí)數(shù)分類的思維導(dǎo)圖：

【活動(dòng)小結(jié)】

數(shù)學(xué)概念具有二重性，即過程性和對(duì)象性，從而決定了數(shù)學(xué)思維、理解的兩步性.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)總是與一定的知識(shí)背景，即“情境”相互聯(lián)系.在實(shí)際情境下進(jìn)行學(xué)習(xí)，可以使同學(xué)們利用自己的原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)“同化”和“索引”出當(dāng)前要學(xué)習(xí)的新知識(shí)，促進(jìn)對(duì)新知識(shí)的意義認(rèn)識(shí).

同學(xué)們的已有經(jīng)驗(yàn)是影響概念學(xué)習(xí)的重要因素之一.有的同學(xué)能夠從過去的經(jīng)驗(yàn)中找出與新概念相關(guān)的概念，在比較它們異同的基礎(chǔ)上建立新的概念，而有的同學(xué)則會(huì)受這種經(jīng)驗(yàn)的干擾，產(chǎn)生錯(cuò)誤的概念理解，認(rèn)為a不是整數(shù)，那么a就是小數(shù)，而小數(shù)就是分?jǐn)?shù)，所以a肯定是分?jǐn)?shù).這就是有理數(shù)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)對(duì)新知識(shí)的學(xué)習(xí)的干擾.

同學(xué)們?cè)趯?shí)驗(yàn)過程中可一起討論和交流，在交流中使數(shù)學(xué)概念得以深入和發(fā)展.這樣的討論和交流不僅可以更正錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)，彼此達(dá)成一致觀點(diǎn)，而且還能建立一個(gè)主動(dòng)探索、自主學(xué)習(xí)、體驗(yàn)數(shù)學(xué)再發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣.

作者單位：（江蘇省太倉市雙鳳中學(xué)）