張麗

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思維訓練營/題海優(yōu)選

二次根式試題選粹

張麗

二次根式是初中數(shù)學重要的內(nèi)容之一，歷年來也是中考必考知識點，為了幫助同學們更加有效地掌握本章內(nèi)容，下面列舉了一些常見例題應用，分別涉及二次根式的定義、有意義的條件性質、二次根式的化簡、分母有理化等一系列相關知識，最后列舉了一些關于二次根式的綜合應用例題，意在給同學們提供復習方向.

一、二次根式的定義、性質與化簡

【分析】根據(jù)二次根式的性質和分式的意義，被開方數(shù)大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范圍.

【點評】本題考查的知識點有：分式有意義，分母不為0；二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù).

二、最簡二次根式、二次根式的乘除法、分母有理化

A.①②B.③④

C.①③D.①④

【分析】判定一個二次根式是不是最簡二次根式的方法，就是逐個檢查二次根式是否同時滿足最簡二次根式的兩個條件，同時滿足的就是最簡二次根式，否則就不是.

解：選C.

【點評】此題主要考查了最簡二次根式的定義.根據(jù)最簡二次根式的定義，最簡二次根式必須滿足兩個條件：

（1）被開方數(shù)不含分母；

（2）被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式.

例3計算：

【點評】此題主要考查了二次根式的乘法運算和分母有理化，熟悉相關概念是解題的關鍵.

三、同類二次根式、二次根式的混合運算、化簡求值

例4在下列各組根式中，是同類二次根式的是（）.

∴C錯，很顯然，D錯.∴選B.

【點評】本題主要考查的是同類二次根式的概念，要判斷同類二次根式，首先要把二次根式化為最簡二次根式，再看被開方數(shù)是否相同，如果被開方數(shù)相同，則是同類二次根式，如果不同，則不是同類二次根式.

【分析】根據(jù)二次根式的乘除法運算法則以及絕對值的性質和二次根式的化簡方法，分別整理得出即可.

【點評】此題主要考查了二次根式的化簡與混合運算，正確化簡二次根式是解題關鍵.

例6（1）先化簡，再求值：

【分析】根據(jù)分式混合運算的法則先把原式進行化簡，再把x與y的值代入計算即可.

【點評】本題考查的是分式的化簡求值，在解答此題時要注意通分及約分的靈活應用.

例7閱讀下面問題：

試求：

【分析】本題考查的是二次根式分母有理化，確定分母有理化因式是關鍵，本題屬于閱讀理解題，可根據(jù)已有的解題方法來解決問題.

四、二次根式在綜合及實際問題中的應用

例8觀察下列各式及驗證過程：

式①驗證：

式②驗證：

（1）針對上述式①、式②的規(guī)律，請寫出n=4時變化的式子；

（2）請寫出滿足上述規(guī)律的用n（n為任意自然數(shù)，且n≥2）表示的等式，并加以驗證.

【點評】本題考查的也是同學們的閱讀理解能力，讓同學們根據(jù)已有的解題方法來解決問題，從而提高數(shù)學應用能力.

【點評】應用題要解決的是實際問題，而實際問題是豐富多彩的，因此，在解決實際問題的過程中，不但需要二次根式的有關知識，而且需要多方面的能力和廣泛的知識積累.

解：小明的解法不對.改正如下：

例11先閱讀下列的解答過程，然后再解答：

由于4+3=7，4×3=12，

解：由題意可知m=13，n=42，

由于6+7=13，6×7=42，所以

【點評】本題考查的是同學們的閱讀理解能力，要根據(jù)已有的解題技巧來解決問題，提高數(shù)學探究能力.

在初中數(shù)學的學習過程中，二次根式處于相當重要的地位，二次根式是在平方根的基礎上提煉出來的，同學們要會正確運用二次根式的概念和性質解決問題.當然，在學習的過程中經(jīng)常會用到一些常見的數(shù)學思想方法，如數(shù)形結合、方程、轉化等思想，在學習過程中同學們要善于總結歸納，學會應用，這對知識的掌握及解題能力的提高有著至關重要的作用.

作者單位：（江蘇省太倉市第一中學）